淺析如何培養(yǎng)高中生數(shù)形結(jié)合思想的研究

仇彬

【摘 要】數(shù)形結(jié)合思想可將問(wèn)題化抽象為具象，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，成為解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法和手段。數(shù)形結(jié)合思想不僅能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解和研究，鍛煉增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，還可以促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的穩(wěn)步向前推進(jìn)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;高中生

數(shù)形結(jié)合思想始終貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史。在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將事物之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)之間的關(guān)系，這樣能夠有效降低解決實(shí)際問(wèn)題的難度。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)將數(shù)形結(jié)合與教學(xué)相結(jié)合，教授學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

一、數(shù)形結(jié)合與函數(shù)問(wèn)題的結(jié)合

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，以研究函數(shù)單調(diào)性、最值、零點(diǎn)、定義域、值域等性質(zhì)為主。函數(shù)問(wèn)題往往來(lái)源于生活，主要用來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，因此其地位不言而喻，然而這部分內(nèi)容對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)最為抽象，學(xué)習(xí)難度最大。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中，需要用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用解決問(wèn)題。

函數(shù)最值問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中出現(xiàn)頻率高，通常作為考試重點(diǎn)內(nèi)容，面對(duì)求最大值問(wèn)題時(shí)通常有以下方法：配方法、局部換元法、三角代換法、均值不等式、三角函數(shù)有界法、單調(diào)性法、求導(dǎo)法等都屬于求最值問(wèn)題的常用方法，應(yīng)做到具體問(wèn)題具體分析。有以下題目：求函數(shù)y=（4*sin（x）-1）/（3*cos（x）-6）的最值。面對(duì)這樣的問(wèn)題，通常思路是判斷該函數(shù)的單調(diào)性，有兩種傳統(tǒng)方法：一種是根據(jù)定義，通過(guò)判斷（f（x1）-f（x2））/（x1-x2）的符號(hào)來(lái)判斷其單調(diào)性;另一種方法為直接求其導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來(lái)求最值。經(jīng)嘗試發(fā)現(xiàn)，采用上述兩種方法，都會(huì)使計(jì)算量變大，最終可能導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。但此題還有更為簡(jiǎn)單的方法：數(shù)形結(jié)合法。即將函數(shù)式變形為y=4*（sin（x）-1/4）/3*（cos（x）-2），會(huì)發(fā)現(xiàn)，可以將成作為兩點(diǎn)a（2，1/4），b（cos（x），sin（x））連線的斜率，b點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求過(guò)點(diǎn)a與單位圓切線的斜率問(wèn)題，然后令y-1/4=k*（x-2），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得k為3/4或-5/12，則最值為1，-5/9。在做題時(shí)，教師可做出其大致圖形，將示例圖與題目結(jié)合為學(xué)生進(jìn)行講解，即數(shù)形結(jié)合，從而使學(xué)生能夠了解數(shù)形結(jié)合方法，在面臨類似問(wèn)題時(shí)，能夠舉一反三。當(dāng)訓(xùn)練強(qiáng)度足夠大，教師應(yīng)嘗試著讓學(xué)生不畫(huà)圖也能解決問(wèn)題，即僅僅在頭腦中構(gòu)思出一幅題目所需圖像，真正做到熟練。除最值問(wèn)題外，數(shù)形結(jié)合方法在不等式、方程中也有很好的應(yīng)用，對(duì)于提高解題效率和準(zhǔn)確率具有重要作用。

二、數(shù)形結(jié)合與解析幾何問(wèn)題的結(jié)合

面對(duì)函數(shù)問(wèn)題，往往將其與具體圖像相結(jié)合，而當(dāng)面對(duì)解析幾何問(wèn)題時(shí)，往往可以將其與“數(shù)”相結(jié)合，通常的方法有，坐標(biāo)系法（平面直角坐標(biāo)系，空間直角坐標(biāo)系），向量法（平面向量，空間向量）。將抽象復(fù)雜的圖像轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)字或符號(hào)，使其變得更加一目了然，容易理解。對(duì)于部分高中生來(lái)說(shuō)，其空間想象能力、立體思維能力的水平有限，對(duì)復(fù)雜的圖形理解困難。因此，教師需要采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)幫助學(xué)生解決問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)此類題目的理解，以便于快速掌握。例如：在求解關(guān)于立體幾何的問(wèn)題時(shí)，若只是憑想象力在頭腦中構(gòu)造各種圖形，以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，但這種方式僅僅對(duì)于部分能力較強(qiáng)的學(xué)生適用，大多數(shù)學(xué)生用起來(lái)是相當(dāng)困難的。一般的方法是將其與空間向量相結(jié)合，將邊、角、面之間的關(guān)系用向量表示，或直接構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，列出方程組、不等式組直接求解。甚至還可以將圖形、向量、坐標(biāo)系三者結(jié)合起來(lái)，會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題變得是如此簡(jiǎn)單清晰。以2017年課表3卷19（2）為例：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為X軸正方向，OB為Y軸正方向，OD為Z軸正方向，設(shè)AC=a，建立直角坐標(biāo)系，然后寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，再構(gòu)造空間向量，設(shè)出平面AED、AEC的法向量，根據(jù)邊、角、面之間的關(guān)系列出方程組便可求解得出二面角D-AE-C的余弦為sqrt（7）/7。

三、數(shù)形結(jié)合與概率問(wèn)題的結(jié)合

概率作為高考必考題目之一，主要考察學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力、語(yǔ)言理解能力，學(xué)生如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。其中“會(huì)面問(wèn)題”經(jīng)常作為重點(diǎn)考察內(nèi)容。有以下題目：兩人事先談好在19：00到20：00期間會(huì)面，而且先到的必須等待遲到者30分鐘才可以離開(kāi)，假設(shè)二者出發(fā)的時(shí)間是各自獨(dú)立的，在19：00到20：00時(shí)間會(huì)面的可能性是一樣的，那么求兩人在約定時(shí)間相見(jiàn)的概率。應(yīng)對(duì)此題有一最佳方法：數(shù)形結(jié)合法。設(shè)兩人為A、B，A到達(dá)的時(shí)間為X，B到達(dá)的時(shí)間為Y，則可以列出不等式組：19<=X<=20，19<=Y<=20，|X-Y|<=40，然后畫(huà)出其相應(yīng)的函數(shù)圖像，則可以發(fā)現(xiàn)此題本質(zhì)是幾何概率問(wèn)題，只需求出圖像中圍成的圖形相應(yīng)面積的比值，即可求出兩人在規(guī)定時(shí)間能夠相見(jiàn)的概率。觀察題目發(fā)現(xiàn)，此題的求解方法中又運(yùn)用到了數(shù)形結(jié)合的方法。因此，數(shù)形結(jié)合法往往可以應(yīng)用于某些概率問(wèn)題求解，尤其是幾何概率問(wèn)題。教師在講本節(jié)內(nèi)容時(shí)，需重點(diǎn)注意該方法，對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，既能掌握該題的解題技巧與方法，又可以加深對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的理解，從而有助于實(shí)現(xiàn)高中生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

四、結(jié)語(yǔ)

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)結(jié)合思想貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終，作為教學(xué)者，需要重點(diǎn)把握這一點(diǎn)，將其與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，讓學(xué)生在潛移默化中理解數(shù)形結(jié)合，以便進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)基本概念，輔助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而激發(fā)起高中生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種方法，更是一種思想，對(duì)于學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高綜合素質(zhì)具有重要作用。

參考文獻(xiàn)：

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