非線性二階脈沖微分方程解的正性的缺失

汪婷婷， 范虹霞

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

脈沖微分方程描述的是系統(tǒng)狀態(tài)在某一時(shí)刻突發(fā)改變的過程，對(duì)其基礎(chǔ)理論進(jìn)行研究的文章已有很多，期間脈沖微分方程邊值問題的研究也受到越來越多的關(guān)注[1-6]。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，大多數(shù)學(xué)者致力于討論脈沖微分方程正解的存在性，如文獻(xiàn)[1]中，F(xiàn)eng和Xie利用錐壓縮與錐拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理討論了二階脈沖微分方程m點(diǎn)邊值問題的多個(gè)正解的存在性。而對(duì)脈沖微分方程邊值問題非零解存在性的研究，卻很少有學(xué)者關(guān)注。

2009年，文獻(xiàn)[7]研究了二階常微分方程邊值問題

非零解的存在性，其中α和β是正參數(shù)。

受文獻(xiàn)[7]的啟發(fā)，本文主要研究下列二階脈沖微分方程邊值問題

(1)

本文的主要工作是討論當(dāng)參數(shù)α或β增大時(shí)，相應(yīng)積分方程的核函數(shù)的符號(hào)改變情況，并結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)定理給出問題(1)非零解的存在性，推廣了文獻(xiàn)[7]的結(jié)果。其他有關(guān)脈沖微分方程解的研究可參見文獻(xiàn)[8-14]。

以下列出本文要用到的假設(shè)條件：

(H1) 1+βη>β；

(H2) 1-αξ>0；

(H3) 1+βη<β；

(H4) 1-αξ<0；

(A1) 1+βη≥β；

(A2) 1-αξ≥0。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)J′=J{t1,t2,…,tn}。定義空間

本文主要結(jié)果的證明要用到以下的定理和相關(guān)引理。

(ⅰ) ‖Au‖≤‖u‖，?u∈P∩?Ω1，‖Au‖≥‖u‖，?u∈P∩?Ω2；

(ⅱ) ‖Au‖≤‖u‖，?u∈P∩?Ω2，‖Au‖≥‖u‖，?u∈P∩?Ω1；

引理1 設(shè)Δ=α(1+βη)+β(1-αξ)，f∈C([0，1]×(-∞，+∞)，[0，+∞))，Ik∈C((-∞，+∞)，[0，+∞))，則u∈PC1[0，1]∩C2(J′)是問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u是下列脈沖積分方程

(2)

的一個(gè)解，其中

(3)

證明必要性。

設(shè)u∈PC1[0，1]∩C2(J′)是問題(1)的解，對(duì)問題(1)中的方程兩端積分可得：

(4)

對(duì)上式再次積分，可以得到：

(5)

在(4)式中，令t=1，并結(jié)合邊值條件易得：

(6)

在(5)式中，分別令t=ξ，t=η，并結(jié)合(6)式有：

(7)

(8)

將(7)式和(8)式代入(6)式中化簡可以得到：

(9)

從而

(10)

結(jié)合(5)、(9)和(10)式化簡易得：

其中

充分性。

設(shè)u(t)是脈沖積分方程(2)的解，則當(dāng)t≠tk時(shí)，直接對(duì)(2)式求導(dǎo)得

引理2[7]設(shè)條件(H1)和(H2)成立，則k(t，s)在[0，1]×[0，1]上為正，并且滿足下列性質(zhì)(P)：存在一個(gè)可測(cè)函數(shù)φ：[0，1]→[0，+∞)，子區(qū)間[a，b]?[0，1]和常數(shù)c，使得|k(t，s)|≤φ(s)，t、s∈[0，1]，并且

|k(t,s)|≥cφ(s)，t∈[a,b]，s∈[0,1]。

注1 由文獻(xiàn)[7]引理2.2的證明知，這里

引理3[7]設(shè)條件(H3)和(H4)成立，則k(t，s)在[0，1]×[0，1]上改變符號(hào)，并且滿足性質(zhì)(P)。

注2 由文獻(xiàn)[7]引理2.3的證明知，這里

引理4[7]如果條件(A1)和(A2)成立，那么k(t，s)在[0，1]×[0，1]上是非負(fù)的，并且滿足性質(zhì)(P)；如果條件(A1)或(A2)之一不成立，那么k(t，s)在[0，1]×[0，1]上改變符號(hào)，并且滿足性質(zhì)(P)。

引理5 設(shè)條件(H3)和(H4)成立，則存在可測(cè)函數(shù)Ψ(s)：[0，1]→[0，+∞)，使得

證明由(3)式，有

其中

情形1s≤η。若s≤ξ，s≤t，則

若s≤ξ，s>t，則

若s>ξ，s≤t，則

若s>ξ，s>t，則

情形2s>η。若s>ξ，s≤t，則

若s>ξ，s>t，則

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)(H3)和(H4)成立，f∈C([0，1]×(-∞，+∞)，[0，+∞))，Ik∈C((-∞，+∞)，[0，+∞))，且在[0，1]的任意子區(qū)間上f(t，u)?0。此外，設(shè)f和Ik滿足下列條件：

則邊值問題(1)至少存在一個(gè)解u(t)，滿足u(t)>0，t∈[a，b]。

定義算子A：P→P

(11)

顯然，問題(1)的解u(t)是算子A的不動(dòng)點(diǎn)，可以驗(yàn)證A：P→P是全連續(xù)算子。

事實(shí)上，?u∈PC1[0，1]，有Au∈PC1[0，1]。由引理3和(11)式容易得到

且

由引理3、引理5和(11)式可求得

因此，?u∈P，Au∈P，A是P→P的保錐算子。下面說明A是全連續(xù)算子。

顯然算子A連續(xù)，容易驗(yàn)證算子A映射P中的有界集為有界集且A在每個(gè)區(qū)間(tk，tk+1)(k=0,1,2,…,n)上等度連續(xù)，由廣義的Arzela-Ascoli定理可知A是全連續(xù)算子。

令Ω1={u∈PC1[0,1]：‖u‖PC1

從而‖Au‖≤‖u‖PC1。

又

則有‖Au′‖≤‖u‖PC1。所以

‖Au‖PC1≤‖u‖PC1，u∈P∩?Ω1。

(12)

因此‖Au‖≥‖u‖PC1。于是，

‖Au‖PC1≥‖u‖PC1，u∈P∩?Ω2。

(13)

所以‖Au‖≥‖u‖PC1，從而‖Au‖PC1≥‖u‖PC1，u∈P∩?Ω2。

定理2 設(shè)(H3)和(H4)成立，f∈C([0，1]×(-∞，+∞)，[0，+∞))，Ik∈C((-∞，+∞)，[0，+∞))，且在[0，1]的任意子區(qū)間上f(t，u)?0。此外，設(shè)f和Ik滿足下列條件：

則邊值問題(1)至少存在一個(gè)解u(t)，滿足u(t)>0，t∈[a，b]。

類似定理1和定理2的討論，由引理2可知，問題(1)至少存在一個(gè)解u(t)，且滿足u(t)>0，t∈[a，b]。同理，由引理4可以分別得到兩個(gè)解的存在性定理，此處不再贅述。

3 應(yīng)用

例考察下列二階脈沖微分方程邊值問題

(14)