從應(yīng)用題到建模問題的回譯
——一種開發(fā)數(shù)學(xué)建模素材的新思路①

黃英芬 顏寶平 龍紅蘭

(銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院 554300)

數(shù)學(xué)建模是聯(lián)接現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁.把數(shù)學(xué)建模作為一門課程可以追溯到20世紀(jì)70年代，英國著名的劍橋大學(xué)率先給研究生開設(shè)了這門課程，后來人們嘗試給大學(xué)本科生上，再后來給中小學(xué)生上.進(jìn)入21世紀(jì)，各國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)紛紛對數(shù)學(xué)建模提出明確要求，如美國、澳大利亞、德國、瑞典、新加坡、中國等，數(shù)學(xué)建模越來越受到世界范圍內(nèi)教育界的關(guān)注和重視.我國的中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)首先在北京、上海等發(fā)達(dá)地區(qū)展開實(shí)踐.2003年，數(shù)學(xué)建模首次被寫進(jìn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》，課標(biāo)要求在高中階段至少為學(xué)生安排一次完整的數(shù)學(xué)建?；顒覽1].這標(biāo)志著數(shù)學(xué)建模成為高中生正式學(xué)習(xí)的內(nèi)容.2018年初由教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》把數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，要求數(shù)學(xué)建模作為課程內(nèi)容主線，并安排了具體課時(shí)[2].這意味著我國高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)又往前邁進(jìn)了一大步.至今，中國高中階段的數(shù)學(xué)建模已經(jīng)有了二十多年的積累，但相對于全國所有高中的基數(shù)來說，仍然處于起步階段，還存在很多亟待解決的問題，教師問題就是其中之一[3].很多教師會將“應(yīng)用題的練習(xí)”等價(jià)于“數(shù)學(xué)建模”[4]，不能理解數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵.另一方面對數(shù)學(xué)建模資源的總結(jié)不夠，用于全員推廣的可操作性有待提高[5].現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容貧乏，缺乏適合學(xué)生學(xué)習(xí)和教師講解的數(shù)學(xué)建模問題，而由于種種原因，許多教師又難找到或提煉出合適的數(shù)學(xué)建模問題，致使他們在數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)有“巧婦難為無米之炊”之感[6].關(guān)于高中數(shù)學(xué)建模素材的開發(fā)，文[6]給出了幾種改編高中數(shù)學(xué)建模素材的途徑，但并未給出具體實(shí)例.由美國數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(COMAP)、美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(SIAM)原著，由梁貫成教授等編譯的《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評估指南》一書中給出了如何從一個(gè)數(shù)學(xué)問題出發(fā)改編成一個(gè)建模問題的例子[7]，但受經(jīng)驗(yàn)的限制，難度較大.本文將給出一種簡單實(shí)用的開發(fā)高中數(shù)學(xué)建模素材的新思路，期望對廣大一線教師有借鑒意義.

1 數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

通俗地講，數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》把“數(shù)學(xué)建模”定義為是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程[2].如果問題沒有得到很好地解決，還需要重復(fù)進(jìn)行建模過程.

2007年，Blum和Leiβ提出建模七階段循環(huán)過程[8]，即把整個(gè)建模過程分為七個(gè)環(huán)節(jié)，六個(gè)狀態(tài)(如圖1)：

圖1 七階段建模循環(huán)模型

(1)理解“現(xiàn)實(shí)問題”構(gòu)造“情景模型”；

(2)簡化“情景模型”構(gòu)造“現(xiàn)實(shí)模型”；

(3)數(shù)學(xué)化，即用數(shù)學(xué)的語言描述“現(xiàn)實(shí)模型”從而構(gòu)造“數(shù)學(xué)模型”；

(4)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法得到數(shù)學(xué)結(jié)果；

(5)根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題解釋數(shù)學(xué)結(jié)果，獲得現(xiàn)實(shí)結(jié)果；

(6)結(jié)合原來的情景驗(yàn)證結(jié)果，如果答案差強(qiáng)人意，則重新進(jìn)行建模過程；

(7)介紹問題解決方案，并與他人交流.

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)過程，而最重要也是學(xué)生感覺最困難的是“現(xiàn)實(shí)問題→……→數(shù)學(xué)模型”這一子過程.為了更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，尋找一個(gè)好的數(shù)學(xué)建模問題是關(guān)鍵.

2 建模問題與應(yīng)用題

90年代初期，我國高考題中開始出現(xiàn)應(yīng)用題，并延續(xù)至今.長期以來，我國已有豐富的應(yīng)用題資源.談起應(yīng)用題，一線教師可謂如數(shù)家珍.不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用題的特點(diǎn)：(1)抽象性.有實(shí)際背景，但已經(jīng)對現(xiàn)實(shí)進(jìn)行過度簡化、提煉和抽象.(2)確定性.問題表述清楚，條件不多也不少，所需數(shù)據(jù)明確給出，答案唯一.(3)封閉性.學(xué)生完成這個(gè)問題不需要考慮實(shí)際情況，只需要理解題目中的數(shù)量關(guān)系或空間形式，恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)學(xué)知識便可以解決問題，不需要反復(fù)修正.

與應(yīng)用題相比，建模問題沒有明顯的數(shù)據(jù)和關(guān)系可用，給出的條件也不一定有用，學(xué)生需要自己做出假設(shè)，并篩選數(shù)據(jù)和有用的條件，得出的結(jié)論往往不唯一.建模問題具有現(xiàn)實(shí)意義，學(xué)生得到數(shù)學(xué)結(jié)果后，必須考慮實(shí)際，若結(jié)果不符合實(shí)際，則需要返回到最初并重新做出假設(shè).因此，建模問題具有現(xiàn)實(shí)性、模糊性、開放性.

從建模七循環(huán)過程，可以看出應(yīng)用題應(yīng)該介于“現(xiàn)實(shí)問題”與“數(shù)學(xué)模型”之間，即“現(xiàn)實(shí)問題→……→應(yīng)用題→……→數(shù)學(xué)模型”.應(yīng)用題是對現(xiàn)實(shí)問題的抽象和簡化，只包含問題的基本要素，從而更易于數(shù)學(xué)處理.現(xiàn)實(shí)問題就是指來自現(xiàn)實(shí)世界的建模問題.我們要把一個(gè)應(yīng)用題改編成一個(gè)建模問題，就是對上述過程的回譯，即需要隱藏某些數(shù)據(jù)，降低應(yīng)用題的抽象層級，重拾被應(yīng)用題拋棄的細(xì)節(jié)，把提煉的條件重新放回現(xiàn)實(shí)中，從而改變應(yīng)用題的三個(gè)特性，實(shí)現(xiàn)從應(yīng)用題到建模問題的華麗轉(zhuǎn)身.

3 實(shí)例

應(yīng)用題1城市居民購置一輛小轎車需一次性投入12萬元.使用期間每年還需支付保險(xiǎn)、維修、汽油、養(yǎng)路費(fèi)等維持費(fèi)：第一年需8000元，以后每年遞增12%(假設(shè)維持費(fèi)在每年年初支付).車輛使用10年后報(bào)廢.問：在這10年內(nèi)，相當(dāng)于每年投入多少資金(設(shè)銀行年利率為3%)？(上海市1999年決賽)[9]

經(jīng)過分析，不難發(fā)現(xiàn)“數(shù)據(jù)明確且不多不少，問題清楚”是導(dǎo)致其封閉的關(guān)鍵因素.想要破壞應(yīng)用題的這一特性，首先需要觀察并調(diào)整數(shù)據(jù).

第一步：調(diào)整數(shù)據(jù).題目不僅給出需要考慮的因素，還做出假設(shè)如維持費(fèi)的逐年遞增率，車輛使用的年限.題目還提示要考慮銀行存款年利率.學(xué)生做題時(shí)，不需要考慮實(shí)際情況，只需要根據(jù)題目給出的條件找到數(shù)據(jù)之間的關(guān)系即可解決問題.為了讓題目具有開放性，現(xiàn)在我們隱藏?cái)?shù)據(jù)“8000、12%、3%”，讓學(xué)生去調(diào)查并估算這些數(shù)據(jù).我們暫時(shí)把它稱為“開放應(yīng)用題”.

開放應(yīng)用題1城市居民購置一輛小轎車需一次性投入12萬元.使用期間每年還需支付保險(xiǎn)、維修、汽油、養(yǎng)路費(fèi)等維持費(fèi).假設(shè)車輛使用10年后報(bào)廢.問：在這10年內(nèi)，相當(dāng)于每年投入多少資金？

學(xué)生為了解決問題會去調(diào)查一輛價(jià)值12萬的小轎車一年的維持費(fèi)需要多少，最初可能并沒有考慮到維持費(fèi)可能會逐年遞增，但調(diào)查的過程中，車主可能會無意中說到維修費(fèi)用等會逐年增加，但是“12%”這樣的數(shù)據(jù)卻是需要自己去估算的.缺少了“銀行利率3%”的提示，大多數(shù)同學(xué)可能會忽略這一點(diǎn).學(xué)生在討論中，會逐漸完善這些信息.同時(shí)，他們也明白了現(xiàn)實(shí)生活中的問題不像書上的應(yīng)用題那么清晰、明確.這個(gè)問題雖然開了一扇窗，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了搜集、估算數(shù)據(jù)的過程，但是還缺乏更加實(shí)際的意義.現(xiàn)在我們給它尋找一個(gè)更加貼近實(shí)際的情景.

第二步：現(xiàn)實(shí)化.想一想對于收入一般的家庭，準(zhǔn)備買車的時(shí)候在思考什么？他可能很糾結(jié)買車以后方便了出行，但是增加了開支.

建模問題1假如你的父母是該市的普通上班族，現(xiàn)在決定買一輛家用汽車，請你綜合考慮汽車的價(jià)格，以及使用期間所要支付的保險(xiǎn)、維修、汽油、養(yǎng)路費(fèi)等，為你的父母測算適合買一個(gè)什么價(jià)位的汽車.

經(jīng)過改編，問題變得開放了，學(xué)生想要完成這個(gè)問題，必須去了解父母的收入，家庭開支，以及養(yǎng)一輛汽車所需的費(fèi)用等.學(xué)生在做調(diào)查的同時(shí)，也能感受到買車不是越貴越好，有利于消除攀比心理，這使問題變得更加有意義.

第三步，延伸.為了把問題做得更深入，除了從經(jīng)濟(jì)上，還應(yīng)綜合考慮汽車的配置、舒適、美觀等因素，做出綜合決策方案.

第四步，發(fā)散.除了買車，還可以考慮買房.假設(shè)你的父母購買住房時(shí)需要貸款30萬元，他們希望盡可能少付一些利息即盡量縮短貸款年限，又希望每個(gè)月還完房貸后對家庭生活質(zhì)量不要產(chǎn)生太大影響.現(xiàn)在請你為父母設(shè)計(jì)一個(gè)合理的貸款方案.

還可以考慮貸款時(shí)，采用“等額本金”還是“等額本息”的方式來還款.過了幾年以后，你父母的月收入增加了，想要提前還貸，你還可以為他們計(jì)算已還多少本金和利息，還剩多少本金和利息，為他們的決策提供參考……

應(yīng)用題2設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離.測量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，現(xiàn)測得AC=55 m，∠BAC=101°，∠ACB=55°(如圖2).求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到1 m).

圖2

第一步：調(diào)整數(shù)據(jù).由于題目中已經(jīng)測得相關(guān)數(shù)據(jù)，學(xué)生只要聯(lián)想到正弦定理，問題便迎刃而解.為了達(dá)到讓學(xué)生自己體驗(yàn)的目的，我們應(yīng)該隱藏“AC=55 m,∠BAC=101°,∠ACB=55°”這些數(shù)據(jù)，留給學(xué)生自己去測量.經(jīng)過這樣的改編，題目具有了一定的開放性，我們暫時(shí)把它稱為開放應(yīng)用題.

開放應(yīng)用題2為了測得河岸兩點(diǎn)A、B間的距離，在A的同一測選擇一點(diǎn)C(如圖3)，并測量AC的長度，∠BAC，∠ACB的度數(shù)，求AB的長(精確到0.1 m).

圖3

經(jīng)過改編，題目具有一定的開放性.學(xué)生不同的選擇會導(dǎo)致AC過長或過短，經(jīng)過計(jì)算會發(fā)現(xiàn)過長或過短可能導(dǎo)致誤差過大，于是會重新調(diào)整.還有的學(xué)生為了減少誤差可能會選擇多測兩次，取平均值.另外就是角度的測量，合適的測量工具可能顯得很重要.總之，在這樣的過程中，學(xué)生能夠體會到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用.但是這個(gè)問題的開放程度還不夠，因?yàn)轭}目給出了測量方案，包含明確的數(shù)學(xué)提示，這樣會限制學(xué)生的發(fā)散思維.

第二步：現(xiàn)實(shí)化.為了構(gòu)建更加貼近實(shí)際，更加開放的建模問題，我們需要還原真實(shí)情景.第一，我們可以把“測量地面上兩個(gè)不可到達(dá)的地點(diǎn)的距離”作為問題，給建模者留出自由發(fā)揮的空間.第二，給這個(gè)問題尋找一個(gè)理由，并還原到真實(shí)場景.

于是，我們可以得到：

建模問題2某市有一不規(guī)則湖泊(如圖3)，居住在D區(qū)的人想要到過E區(qū)需要繞很遠(yuǎn)的路.鑒于此，市政府決定在D、E兩區(qū)(即A、B兩點(diǎn))之間建立一座橋.請你運(yùn)用所學(xué)知識設(shè)計(jì)一個(gè)方案來測量一下A、B兩點(diǎn)之間的距離，以方便估算建橋所需的材料.

經(jīng)過改編，學(xué)生感覺自己做這道題目是有意義的，并且可以根據(jù)自己所掌握的知識選擇不同的測量方案.如果學(xué)生對正弦定理的內(nèi)容比較熟悉，就可以選擇應(yīng)用題2中的方案，利用正弦定理來解決問題.也有學(xué)生對初中學(xué)過的全等三角形的知識印象深刻，于是想到利用全等三角形的知識把測量A、B的距離轉(zhuǎn)化到測量岸邊上某線段的長度.即在AB的垂直線上取兩點(diǎn)C、D，并使得CD與AC的長度相等，做DE⊥AD，并使得E與B、C在同一直線上(如圖4)，根據(jù)三角形全等的知識，可知測得DE的長度就能知道AB的長度.類似地，當(dāng)CD與AC的長度不相等時(shí)，可以利用相似三角形的知識求得AB.最后，小組間進(jìn)行交流，可以拓寬知識，感受運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的可行性與靈活性.同時(shí)，也說明經(jīng)過回譯得到的題目是一道真正的建模問題，它的開放性決定了可適用于不同層次的中學(xué)生做.

圖4

第三步：延伸.在建模題2中，我們事先選定了A、B兩點(diǎn).而在實(shí)際問題中，我們關(guān)心的是怎樣選擇A、B兩點(diǎn)，才能使得AB最短.

第四步：發(fā)散.現(xiàn)實(shí)生活中，關(guān)于測量的問題不止這一個(gè).有的時(shí)候，我們還需要測量不能到達(dá)的河對岸兩點(diǎn)之間的距離.

我們不僅可以測量平面上兩點(diǎn)的距離，也可以測量空間中某個(gè)物體的高度，比如旗桿，市內(nèi)某個(gè)很高的建筑物……

通過上面兩個(gè)例子，我們可以發(fā)現(xiàn)把一道應(yīng)用題回譯成一道或若干道建模題，需要經(jīng)歷以下四個(gè)步驟：

(1)調(diào)整數(shù)據(jù)：隱藏那些適于學(xué)生調(diào)查或測量的數(shù)據(jù)，給學(xué)生留出親身體驗(yàn)的機(jī)會.

(2)現(xiàn)實(shí)化：重新組合題目的要素，并還原真實(shí)場景，使問題更加有意義.

(3)延伸：考慮解決這個(gè)問題更多、更實(shí)際的因素，以使問題得到更好的解決.

(4)發(fā)散：聯(lián)系類似的情景，以便找到更多的建模問題.正如波利亞指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長……當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇.”

圖5 從應(yīng)用題到建模問題的回譯過程

新課標(biāo)對數(shù)學(xué)建模的要求，表明了下一階段將在高中階段全面推進(jìn)數(shù)學(xué)建模的教學(xué).數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活的過程，非常值得教師在數(shù)學(xué)課堂引入相應(yīng)教學(xué)以加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機(jī)和興趣.然而，到目前為止，還有很多高中學(xué)校并未實(shí)際開展數(shù)學(xué)建?；顒樱€有相當(dāng)數(shù)量的數(shù)學(xué)教師并不知道數(shù)學(xué)建模的涵義.本文所給出的開發(fā)數(shù)學(xué)建模素材的方法正是為這些教師準(zhǔn)備的，教師可以通過這種方式感受什么是簡單的建模問題，也可以用“延伸”、“發(fā)散”的思維方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.