■華云鋒
教學(xué)案例
對于圖形中的計算問題,很多學(xué)生感到比較棘手,因為這類問題都離不開幾何結(jié)論的證明??梢哉f,幾何圖形中的計算問題是基于“證明”之上的數(shù)量關(guān)系研究,對學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)要求較高。要想幫助學(xué)生渡過難關(guān),教師就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,并嘗試解決問題,努力打造讓學(xué)生思維自由生長的成長課堂。
添加輔助線可以對圖形進(jìn)行模型再構(gòu)建,形成與已知信息相關(guān)聯(lián)的全新圖形,從而找到新的突破口,這就是所謂的“一線生機(jī)”。在教學(xué)中,教師要一步步啟發(fā)學(xué)生沿著解題脈絡(luò)不斷思考、探索,這樣,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才會漸進(jìn)漸深,數(shù)學(xué)能力才會漸生漸長。下面,筆者試以兩道圖形中的計算問題的課堂教學(xué)為例,展示一下成長課堂的做法。
【問題1】如圖1,半徑為1的⊙O沿著△ABC的內(nèi)部邊緣滾動一周,回到起點D后,停止運動。已知AB=15,AC=13,BC=14,求圓心O的運動路徑長。
圖1
圖2
圖3
師:解決路徑長的問題,我們首先需要做什么呢?
生:畫出動點的運動路徑。
師:如圖2,我們發(fā)現(xiàn)圓心的運動路徑長就是△O1O2O3的周長。那么如何求這個三角形的周長呢?
生:我想到2017年鹽城市中考卷中一道類似的題目,那道題是以特殊角為切入口,運用三角函數(shù)分別算出相關(guān)線段的長。
師:聯(lián)想是解決問題的重要方法之一,值得稱贊!可是本題沒有特殊角,怎么辦呢?
生:根據(jù)圓與三角形三條邊相切的條件,可以添加過切點的半徑。已知三角形的三條邊長,只需再想方法求出6條切線BG、BL、CK、CM、AP、AN的長度或長度和即可。
師:你的思路完全正確。那么如何求切線的長度或長度和呢?
生:可以考慮整體求值,如圖3,畫A1C1∥AC且與圓O相切,這樣6條切線長度之和就等于△A1BC1的周長,可是我不知道如何求△A1BC1的周長。
師:出現(xiàn)思維“斷檔”現(xiàn)象,可能是思考方向有問題,誰有其他思路嗎?
生:我發(fā)現(xiàn)△A1BC1的內(nèi)切圓半徑為1,我想求出△ABC的內(nèi)切圓半徑再試試。根據(jù)圖4,運用勾股定理先求出AH的長度為12,再運用面積法求出△ABC的內(nèi)切圓半徑IE=4。由圖3的△A1BC1∽△ABC,容易證得圖3的△OBC1與圖4的△IBC相似,得到,所以路徑長為15+14+13-10.5=31.5。
師:這位同學(xué)的思路清晰流暢,解法自然,一氣呵成,這是經(jīng)常積極參與、深刻思考所獲得的學(xué)習(xí)能力。受這位同學(xué)的啟發(fā),有沒有同學(xué)能提供新的解題思路?
生:由題意可知△O3O1O2與△ABC有相同的內(nèi)心I,分別作出它們的內(nèi)切圓。
如圖5,易證O1O2∥ BC,O2O3∥ CA,O3O1∥AB,所以△O3O1O2∽ △ABC,得到13)=31.5。
圖4
圖5
師:這位同學(xué)沿著“前人的足跡”,靈活運用相似三角形的周長比等于相似比,輕松求解。還有不同的解法嗎?
生:我們小組的意見是構(gòu)造半角的三角函數(shù)。
師:很好!請你代表小組,到臺前說說解題思路。
生:為便于觀察關(guān)系量,可以分解圖形如下:
圖6
圖7
圖4中,BC邊上的高AH將△ABC分割成兩部分,得到直角三角形AHB、AHC。設(shè)∠ABH=α,6、圖7,此時易得
師:這組同學(xué)通過構(gòu)圖,將半角的三角函數(shù)巧妙地“創(chuàng)造”出來,這種“圖形智造”產(chǎn)生的效果是明顯的,更是神奇的。這就是思維的延展性和生長性,我們必須為這個小組點贊!以上我們欣賞到了三種不同的解法,都很精彩。下面我們換一道題,再試試好嗎?
生(齊):好的。
【問題2】如圖8,O是半圓的圓心,半徑為4,C、E是圓上的兩點,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO,∠COA=60°,則FG= 。
圖8
師:這道題初看無從下手,再看你一定會有所發(fā)現(xiàn)。
圖9
生:我們可以運用特定的解法——特殊圖形法。如圖9,假定點E運動到某一位置,使得點G與點O重合,即EO⊥CO,此時有EO=CO,△OEF≌△COD,可得EF=2,CD=FG=23 。
師:很好!還能試試其他特殊位置嗎?
生:如圖10,當(dāng)點E運動到某一位置,使點F與點O重合,即EO⊥AO,此時EO=CO,△OEG≌△COD,可得FG=CD=2。
圖10
生:如圖11,當(dāng)點E運動到與點A重合的位置時,此時點F也與點A重合,便能求出FG的長度。
圖11
師:特殊圖形法就是將圖形特殊化,對動點運動到特殊位置(包括臨界位置)的圖形進(jìn)行研究,相當(dāng)于代數(shù)中的“特值法”。假如這是一道解答題而不是填空題,大家有更高明的解法嗎?
生:老師您說過,大戰(zhàn)可以搬救兵,讓我們多想輔助線。
師(微笑):是的,輔助線可以改變圖形的“格局”,對圖形進(jìn)行創(chuàng)新。
圖12
生:根據(jù)圖中線段垂直關(guān)系的條件,可以聯(lián)結(jié)半徑OE,得到兩個直角三角形;兩個直角三角形有公共斜邊,可以聯(lián)想到四點共圓。如圖12,由題意可知∠OGE=∠OFE=90°,因為∠COD=60°,所以∠COB=120°,∠GEF=60°,聯(lián)結(jié)OE,取OE中點 I,聯(lián)結(jié) IG、IF,可得 IG=IF=OE=IE=2,所以∠GIO=2∠GEI,∠FIO=2∠FEI,即∠GIF=120°,作IH⊥FG,根據(jù)“三線合一”可得GH=HF=直角三角形IGH中,有cos30°=
生:我們小組討論后認(rèn)為,要想求線段FG的長,可添加輔助線,構(gòu)造以FG為一條邊的直角三角形,再運用勾股定理解決問題。
圖13
如圖13,根據(jù)“一中同長”得出G、O、F、E四點共圓,可得∠GFO=∠GEO,作 GH⊥OA,有△GHF∽△OGE,得出CD,有△GHO∽△CDO,得到
師:有沒有小組能再一次錦上添花呢?
生:我們小組認(rèn)為,G、O、F、E四點共圓,圓的直徑為OE,直角三角形CDO的外接圓直徑為OC,因為OE=OC,所以這兩個圓是等圓,由∠COD=∠FEG可得弧CD與弧FG度數(shù)相等,所以FG=23。
師:果真厲害!你們小組繁花似錦,你就是其中最為奪人眼球的一朵!
一題多解,解法同源;一題多圖,殊“圖”同歸。在平時的學(xué)習(xí)中,如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn),善于歸納,數(shù)學(xué)思維之花就能永不凋謝?!蔼殞W(xué)而無友,孤陋而寡聞。”課堂需要每個人的獨立思考,但更需要集思廣益,需要小組合作的頭腦風(fēng)暴。這樣,學(xué)生的思考才會更深刻,思維才能更自由,這也是成長課堂的價值所在——讓每一個生命個體都能健康、快樂地成長。