立足認知結構 探究變式策略

■李琳琳

對于數學變式問題的分類，有許多不同的分法，筆者這里傾向于常州市特級教師潘建明老師的界定，將變式分為概念變式和過程變式，過程變式又分為水平變式和垂直變式。變式既是一種重要的思想方法，又是一種重要的教學策略，在教學過程中要合理運用不同的變式策略，立足學生的認知結構，逐步推進，層層深入。

一、巧用概念變式，促進知識內化

初中數學中有大量的概念，它是數學知識的重要組成部分，也是導出數學定理和法則的邏輯基礎。學生對數學概念的掌握會受許多因素的影響，其中的變式至關重要。概念變式不變的是概念的本質屬性，變的是概念的非本質屬性。概念變式的目的是為了讓學生經歷概念形成過程，即概括、抽象、具體化，從而使學生獲得的概念更加準確、更加深刻。這里的概念變式我們分為標準概念變式（即概念外延的變化）和非概念變式（即舉反例）。

[案例1]在學習蘇科版八年級下冊“11.1反比例函數”時，筆者給出了三個實際問題情境，用函數關系式表示下列情境中兩個變量之間的關系:

（1）小明家距離學校5000m，他到校的時間y（h）隨騎車速度x(m/h)的變化而變化；

（2）已知菱形的面積為24cm2,一條對角線長n（cm）隨另一條對角線長m（cm）的變化而變化；

（3）實數a與b的積為-10，a隨b的變化而變化。

師：很好，請同學們觀察這三個式子有什么共同特征？你能用一個一般的式子表達出來嗎？

生2：都有兩個變量。

生3：都是函數。

生4：函數的右邊都是一個分式。

生6：k≠0，自變量x≠0。

師：你能否對這種函數下個定義呢？

師：請判斷哪些是反比例函數？

學生開始辨析反比例函數的形式，師生共同總結反比例函數的另外兩種形式。

此案例屬于標準概念變式，這里通過三個實際背景的問題情境，變換反比例函數的非本質屬性，引導學生抽象出反比例函數的本質屬性。在概念的教學中我們既要注重對概念的傳授，也不能忽視概念的背景介紹，要讓學生先抓住事物的本質屬性，再給學生創(chuàng)造從多個側面、多個角度去理解概念的機會。

[案例2]在學習蘇科版七年級上冊“6.3余角、補角、對頂角”時，對頂角的概念學生比較容易混淆。我們可以通過非概念變式來進行辨析，使學生輕松掌握對頂角的概念。

概念圖像

非概念變式圖像

在概念形成以后，應針對概念的內涵和外延設計辨析型題目，可以列舉具有本質屬性的事物或不具有該本質屬性的事物的辨析，達到深化概念理解的目的。另外，概念變式的運用要掌握時機，如果在學生沒有形成初步概念時就運用變式，將會干擾學生對概念的理解，所以我們要關注對概念變式教學的合理運用。

二、活用過程變式，聯(lián)系知識結構

過程變式是指，學生通過概念、定理、命題等的學習過程，獲得多層次的活動經驗。在概念、定理、命題形成的過程中，過程變式反映了它們形成的歷史過程和邏輯過程，在這樣一個過程中，學生的新舊知識之間的聯(lián)系得以建立，解題的經驗和策略得以積累和提升。

過程變式中最具代表性的是水平變式和垂直變式。水平變式通常變更問題的背景，在同一思維水平上解決同一類問題。我們在教學中常用的策略有：（1）變換背景；（2）特殊到一般；（3）基本圖形變式；（4）條件結論變式；（5）實際應用。垂直變式是思維逐步深入的過程，由表層學習轉向結構學習，問題逐漸升華，進而加深對數學深層次價值和數學本質的體會。

[案例3]在學習蘇科版九年級下冊“6.4探索三角形相似的條件（2）”時，給出例題:

已知：如圖1，∠A=∠E=∠BCD=90°，圖中存在相似三角形嗎？并說明理由。

變式1.已知：如圖2，∠A=∠E=∠BCD=70°，圖中存在相似三角形嗎？并說明理由。

變式2.已知：如圖3，∠A=∠E=∠BCD=130°，圖中存在相似三角形嗎？并說明理由。

圖1

圖2

圖3

以上的源問題與兩個變式問題中，給出的度數不同，圖形也不同，但解決問題的方法是相同的，思維量是相當的，學生能感受到多題可以一解。實際上這是我們總結的相似問題中的“一線三等角”模型，水平變式有助于學生對數學模型的認識和解題策略的認識，改變學生孤立、靜止地看待問題的思維習慣，幫助他們把握數學的內在規(guī)律，形成“以不變應萬變”的能力。

數學教學中結構性變式的設計遵循認知的連續(xù)性，通常是從源問題到變式題，從水平變式到垂直變式，水平變式發(fā)展學生思維的廣度，垂直變式發(fā)展學生思維的深度。但在教學中還要注意合理安排水平變式的“量”和垂直變式的“度”，才能達到既有量的積累，又有質的飛躍。