高中數(shù)學(xué)如何在“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力

廣東省江門市新會(huì)第一中學(xué)(529100)王學(xué)文

現(xiàn)在我們經(jīng)常聽到的大熱門詞大數(shù)據(jù)處理,阿里巴巴購物平臺(tái)集團(tuán)經(jīng)常通過電腦進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析,得出不同地區(qū),不同年齡組,不同性別等因素對(duì)不同商品的購買情況,以便更好指導(dǎo)商家運(yùn)作,數(shù)據(jù)分析已在企業(yè)中隨處可見.現(xiàn)實(shí)世界中,人類的很多活動(dòng),都與數(shù)據(jù)有關(guān),離不開數(shù)據(jù)的分析與處理,數(shù)據(jù)分析在現(xiàn)在的日常生活中顯得越來越重要.高中數(shù)學(xué)教育的六大核心素養(yǎng)分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.數(shù)據(jù)分析作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)內(nèi)容之一,它的提出,適應(yīng)教育發(fā)展需要,能更好培養(yǎng)學(xué)生抽取樣本,利用數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù),進(jìn)而對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)的能力.數(shù)據(jù)分析是人類不斷創(chuàng)新和獲得新知的重要工具,對(duì)推動(dòng)人類進(jìn)步有重要意義.高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)活動(dòng)都離不開數(shù)據(jù)分析,高中教材也設(shè)有專門的章節(jié)進(jìn)行學(xué)習(xí),如人教版教材必修3 和選修2—3 的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容就是數(shù)據(jù)分析之一.如何更好地在高中數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力? 下面我結(jié)合2017年高考全國(guó)卷1 卷的第19 題談一下自己的看法.

(2017年全國(guó)卷1 卷高考第19 題)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16 個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16 個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;

(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;

(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16 個(gè)零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ ＜Z ＜μ+3σ)= 0.9974,0.997416= 0.9592,

概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題,自從2005年走進(jìn)新高考后,就以嶄新的姿態(tài)在高考中占有極其重要的地位,每年出現(xiàn)一道大題,題目都有一定的命題背景,來源于生活,相當(dāng)于原來的應(yīng)用題.題目多為一題多問,前面考統(tǒng)計(jì),相當(dāng)于對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,后面考概率,相當(dāng)于對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.這些高考題的概率統(tǒng)計(jì)題題目較長(zhǎng),閱讀量大,對(duì)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析處理的能力要求很高.如上面的概率題的第1 問,要求學(xué)生要分析出每一個(gè)零件尺寸在的概率是0.9974,所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416=1-0.9592=0.0408,第2 問的第(i)小問利用小概率事件基本不發(fā)生結(jié)合數(shù)據(jù)分析去說明操作的合理性;第2 問的第(ii)小問也是數(shù)據(jù)分析問題,要求對(duì)數(shù)據(jù)重新處理,對(duì)所得的新數(shù)據(jù)重新求數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差,能力要求更高.

關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì),必修3 主要介紹了隨機(jī)抽樣的概念,隨機(jī)抽樣的方法,用樣本估計(jì)總體,求概率的方法——古典概型與幾何概型;選修2-3 主要介紹了用排列組合的方法去求事件的總數(shù)及介紹了幾個(gè)重要的概率分布模型.下面我結(jié)合上面的高考題,談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)在“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.

一、要讓學(xué)生切身感受到數(shù)據(jù)分析的重要性,提高其學(xué)習(xí)興趣

數(shù)據(jù)分析的一個(gè)很重要的作用是可通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體情況,當(dāng)總體個(gè)數(shù)很大,不可能一一記錄數(shù)據(jù)或記錄數(shù)據(jù)有困難時(shí),通過樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)總體就顯得更加必要,這種抽樣的思想要讓學(xué)生首先理解好.我們?cè)谥v解必修3 的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的時(shí)候,為了讓學(xué)生充分理解好這一思想,可采用遞進(jìn)的方式向?qū)W生提出一些日常生活的例子,如：

(1)如果我要了解你們班1 號(hào)至10 號(hào)同學(xué)的平均身高,可怎樣解決?

(2)如果我要了解你們班同學(xué)的平均身高,可怎樣解決?

(3)如果我要了解高一整個(gè)年級(jí)同學(xué)的平均身高,可怎樣解決?

(4)如果我要了解整個(gè)地區(qū)所有高一級(jí)同學(xué)的平均身高,可怎樣解決?

這種遞進(jìn)的設(shè)問,把學(xué)生的人數(shù)范圍不斷擴(kuò)大,到最后想要記錄下全部數(shù)據(jù)已變得工作量極大.所以要采用一些抽樣方法去抽取樣本數(shù)據(jù),通過樣本估計(jì)總體情況.生活中這些例子太多,在教學(xué)中,教師可設(shè)問,也可讓學(xué)生自己舉出一些例子.學(xué)生理解好了抽樣的思想,能激發(fā)其學(xué)習(xí)的興趣,從而學(xué)習(xí)抽樣方法以致后面的通過樣本估計(jì)總體就順理成章了.

二、要讓學(xué)生掌握好記錄數(shù)據(jù)的工具和分析數(shù)據(jù)的方法

得到樣本后,我們必須要對(duì)樣本的數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄,記錄數(shù)據(jù)的方法有很多,以前小學(xué)初中學(xué)過的有頻數(shù)條形圖,扇形統(tǒng)計(jì)圖等,高中階段主要介紹頻率分布直方圖,莖葉圖.這些圖的差別在什么哪里? 他們都有哪些優(yōu)缺點(diǎn)? 為什么到了高中要引入頻率分布直方圖與莖葉圖? 這些圖有哪些內(nèi)在聯(lián)系與優(yōu)缺點(diǎn)? 這些都應(yīng)要讓學(xué)生搞清楚.如頻率分布直方圖與頻數(shù)條形圖的區(qū)別是頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率除以組距,而頻數(shù)條形圖的縱坐標(biāo)是頻率;為什么會(huì)引入一個(gè)頻率除以組距的頻率分布直方圖,原因就是頻率分布直方圖的每個(gè)條形的面積等于該組的頻率,所有條形的面積之和等于1,這樣建立起了頻率與概率之間的聯(lián)系,并且與總體密度曲線有關(guān).頻率分布直方圖與莖葉圖的優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)比：優(yōu)點(diǎn)：頻率分布直方圖比較直觀形象反映樣本的分布情況,缺點(diǎn)：不能反映出原始數(shù)據(jù);莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)據(jù)記錄方便,缺點(diǎn)是當(dāng)數(shù)據(jù)較多時(shí),不太適用.區(qū)分清楚各種圖的功能和優(yōu)缺點(diǎn),讓學(xué)生在處理數(shù)據(jù)時(shí),能根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行處理,記錄好數(shù)據(jù),以方便下面的數(shù)據(jù)分析.

三、要讓學(xué)生理解好樣本的幾個(gè)重要的數(shù)字特征

必修3 介紹了樣本的數(shù)字特征有眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù),方差與標(biāo)準(zhǔn)差.這幾個(gè)量都有一定自身的意義.眾數(shù)是樣本中數(shù)據(jù)出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù);中位數(shù)是把數(shù)據(jù)按照一定的順序排列,順序可從小到大,也可從大到小,把處于最中間或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù);平均數(shù)學(xué)生較易理解,但加權(quán)平均的計(jì)算方法也要向?qū)W生介紹,并要區(qū)分好直接計(jì)算與加權(quán)平均的異同,最后要揭示兩種計(jì)算方法本質(zhì)是相同的;標(biāo)準(zhǔn)差是方差的開方,反映數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定,反之,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小,數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.樣本的數(shù)字特征能估計(jì)總體的數(shù)字特征,所以數(shù)字特征的計(jì)算方法與表示的意義,學(xué)生要理解好.我們要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行一些運(yùn)算是必須的,反觀課本的例題和練習(xí)題提供的樣本數(shù)據(jù),普遍計(jì)算起來都比較煩.主要原因是課本的題目樣本數(shù)據(jù)大部分來自于現(xiàn)實(shí)的生活,數(shù)據(jù)較大或帶小數(shù).現(xiàn)在高考題也類似這種情況,如上面提到的2017 年全國(guó)卷1 卷的概率題,數(shù)據(jù)較多且煩.為了能更好處理好數(shù)據(jù),這就需要學(xué)生具備更高的處理分析運(yùn)算數(shù)據(jù)的能力.如2017 年全國(guó)卷1 卷的概率題(2)問的第(ii)小問由?= 9.97,s ≈0.212,得? = 9.97,σ 的估計(jì)值為? = 0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件9.22 的在之外,因此先把9.22剔除, 剔除之外的數(shù)據(jù)9.22, 需怎樣去求平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差呢? 這就需要抓住平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法, 結(jié)合題目提供的運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行處理, 如： 剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為因此μ的估計(jì)值為= 16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為因此σ 的估計(jì)值為有了較強(qiáng)的運(yùn)算能力,才能為數(shù)據(jù)分析提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),才能更好揭示數(shù)據(jù)分析的魅力.

四、要讓學(xué)生提高運(yùn)算能力,揭示數(shù)據(jù)分析的魅力

數(shù)據(jù)分析處理能力的提高是將來社會(huì)發(fā)展人必備的能力.高中階段,學(xué)生數(shù)據(jù)分析處理能力的提高,依靠的是對(duì)內(nèi)容“概率與統(tǒng)計(jì)”理論知識(shí)和操作的熟練掌握,依靠的是較強(qiáng)的運(yùn)算能力.高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程要結(jié)合實(shí)際,數(shù)據(jù)最好來源于生活,貼近生活,不斷培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)的敏感度和喜愛,這樣才能更好提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析的處理能力.