“點(diǎn)到直線的距離”教學(xué)實(shí)錄

廣東省珠海市第一中學(xué)(519000)樂銳

關(guān)鍵字 公式推導(dǎo);公式應(yīng)用

1、引言

2018年5月廣東省中學(xué)青年教師數(shù)學(xué)問題講授核心片段展示決賽在廣州拉開了序幕,筆者有幸代表珠海市參加了此次比賽,執(zhí)教了一節(jié)研究課——“點(diǎn)到直線的距離”.由于筆者所在學(xué)校是一所國(guó)家級(jí)示范普通高中,學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí),有較強(qiáng)的邏輯思維,所以筆者將“點(diǎn)到直線的距離”的第一課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)定為學(xué)生能掌握公式的推導(dǎo)過程,通過引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)視角解讀公式的推導(dǎo)過程,啟發(fā)學(xué)生自主探究,不斷優(yōu)化公式的推導(dǎo)過程,提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)、運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).下面將本節(jié)課的核心教學(xué)片段予以展示,與同行交流.

2、教學(xué)實(shí)錄

2.1 課前活動(dòng)

課前十分鐘提醒學(xué)生復(fù)習(xí)“兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)”和“兩點(diǎn)間的距離”的內(nèi)容,預(yù)習(xí)今天上課的內(nèi)容“點(diǎn)到直線的距離”,并提問“回憶之前有沒有學(xué)習(xí)過符合點(diǎn)到直線距離的幾何概念”.一方面是使學(xué)生溫故而知新,對(duì)即將學(xué)習(xí)的知識(shí)有初步的感知;另一方面是激發(fā)學(xué)生的探索精神,主動(dòng)構(gòu)建點(diǎn)到直線的數(shù)學(xué)模型,感受幾何圖形的魅力.

2.2 情境創(chuàng)設(shè)

問題1如果你是一位工程師,現(xiàn)在需要你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,(多媒體演示)如圖1,在鐵路的附近,有一座倉(cāng)庫(kù),現(xiàn)要修建一條公路使之連接起來,那么怎樣設(shè)計(jì)能使公路最短? 最短路程又是多少?

圖1

教師：請(qǐng)同學(xué)們拿出紙、筆、直尺動(dòng)手畫一畫,然后告訴老師你的設(shè)計(jì)方案.

學(xué)生：可以從倉(cāng)庫(kù)向鐵路做垂線,沿垂線段鋪設(shè)公路可使其最短.

教師：把倉(cāng)庫(kù)記為點(diǎn),鐵路記為直線,剛才的方案設(shè)計(jì)就是今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容“點(diǎn)到直線的距離”如何給點(diǎn)到直線的距離下個(gè)定義呢?

學(xué)生：過點(diǎn)做已知直線的垂線,垂線段的長(zhǎng)即點(diǎn)到直線的距離.

教師：課前給同學(xué)們提的問題現(xiàn)在有想法了嗎?

學(xué)生：三角形的高.

教師：同學(xué)們說的很好,三角形的高其實(shí)就是頂點(diǎn)到底邊所在直線的距離.

設(shè)計(jì)意圖1、進(jìn)新概念、新理論時(shí),讓學(xué)生先有準(zhǔn)備,能盡可能地看到這些新概念、新理論的引進(jìn)是很自然的.只有利用這種方法,學(xué)生才能更直觀地理解并有興趣掌握所學(xué)的知識(shí).因此,通過實(shí)際問題,創(chuàng)設(shè)情境,呼應(yīng)數(shù)學(xué)來源于生活,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探討問題的欲望.2、從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述需準(zhǔn)確、精煉、具有高度概括性.此處,為了訓(xùn)練學(xué)生的表達(dá)能力而設(shè)計(jì),同時(shí)為用定義法求點(diǎn)到直線的距離埋下伏筆.

2.3 點(diǎn)到直線公式的推導(dǎo)

問題2已知點(diǎn)P0和一條直線l,求點(diǎn)P0到直線l的距離,讓學(xué)生進(jìn)行分組討論,合作探究,并請(qǐng)各小組選派代表詳細(xì)闡述距離公式的推導(dǎo)過程.

第一小組：要求點(diǎn)要線的距離,已知P0的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可轉(zhuǎn)化為已知點(diǎn)到垂足的兩點(diǎn)距離,這就需要求垂足Q的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)間的距離公式即可求出距離,垂足Q是由直線與其垂線相交形成的,那么只要把兩條直線的方程聯(lián)列,解方程組就可以得到Q的坐標(biāo),這么現(xiàn)在就需要已知直線的垂線方程,根據(jù)垂直的判定定理可以求出垂線的斜率,而此垂線是經(jīng)過已知點(diǎn)的,再根據(jù)點(diǎn)斜式求出垂線方程即可.

第二小組：將證明思路整理成為流程圖如下

第三小組：給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)證明

證明根據(jù)定義,點(diǎn)P0到直線l的距離是點(diǎn)P0到直線l的垂線段的長(zhǎng),設(shè)點(diǎn)P0到直線l的垂線為l′,垂足為Q,由l′⊥l可知l′的斜率為所以l′的方程為：y-y0=與l聯(lián)列方程組解得交點(diǎn)則根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式

第四小組：以上幾組都沒有考慮特殊情況,即直線l和其垂線l′兩條直線有一條斜率不存在的情況,所以證明是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?應(yīng)該先從特殊情況入手,直線l平行于x軸時(shí),距離為直線l平行于y軸時(shí),距離為但觀察得到當(dāng)A= 0 或B= 0 時(shí)點(diǎn)到直線的距離也可以適用于此公式,比如當(dāng)A= 0 時(shí),所以,得到結(jié)論點(diǎn)P0到直線l:Ax+By+C= 0 的距離公式統(tǒng)一為

第五小組：由之前的討論,角形的高其實(shí)就是頂點(diǎn)到底邊所在直線的距離,可以從幾何角度出發(fā)構(gòu)造直角三角形模型,通過面積相等推導(dǎo)得出點(diǎn)到直線的距離公式,證明如下：

證明過點(diǎn)P0作P0N平行于x軸交l于N點(diǎn),過 點(diǎn)P0作P0M平 行 于y軸 交l于M點(diǎn),求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為所以|P0M|=同理求得點(diǎn)N的坐標(biāo)為所以|P0N|=在R t△MP0N中,P0Q是斜邊上的高,所以得證.

教師：同學(xué)們充分利用所學(xué)知識(shí),比如流程圖、分析法、代數(shù)法和幾何法得到點(diǎn)到直線的距離公式的統(tǒng)一形式,觀察可以發(fā)現(xiàn)：公式的分子部分的絕對(duì)值里面的多項(xiàng)式是將點(diǎn)P0(x0,y0)代入直線l:Ax+By+C= 0 方程的左邊得到的;分母部分的開方里面的多項(xiàng)式是直線方程x系數(shù)的平方加上y系數(shù)的平方.公式具有結(jié)構(gòu)美、和諧美、容易記憶的特點(diǎn).第四小組的同學(xué)發(fā)言完善了其他小組的證明過程,得到了公式的統(tǒng)一形式,進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.那么,請(qǐng)問第二小組的同學(xué),你們用代數(shù)法給出了詳細(xì)的證明,在推導(dǎo)過程中有怎么樣的感覺?

第二小組：1、Q點(diǎn)坐標(biāo)很難求; 2、即使求出Q點(diǎn)坐標(biāo),使用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算|P0Q|時(shí)計(jì)算量太大;3、需要多人合作探究,很難獨(dú)立完成公式的推導(dǎo).

問題3同學(xué)們感受到求Q點(diǎn)坐標(biāo)后帶入兩點(diǎn)間的距離公式求距離的計(jì)算量很大之后,這時(shí)候能不能設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)Q(x1,y1)而先不去求該點(diǎn)坐標(biāo),只是作為中間變量呈現(xiàn),此時(shí),已知P0(x0,y0),結(jié)合Q點(diǎn)在直線l上也在垂線l′上,構(gòu)造出兩點(diǎn)間距離公式中的(x0-x1)和(y0-y1)呢? 請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考后嘗試給出推導(dǎo)過程,是否減少了計(jì)算量呢?

五分鐘后請(qǐng)學(xué)生板書如下：

垂線方程：(x0-x1).

設(shè)Q(x1,y1),則將兩式分別平方并相加,得A2+B2(x1-x0)2+(y1-y0)2]=(Ax0+By0+C)2,所以

教師：這種設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)但又不直接求出來的方法稱為“設(shè)而不求”,在使用過程中還往往伴隨著“整體代換”思想,大大減少了計(jì)算過程,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美,結(jié)構(gòu)美,實(shí)在是妙!

這種方法在今后學(xué)習(xí)解析幾何知識(shí)時(shí)會(huì)經(jīng)常應(yīng)用到.觀察出現(xiàn),使得點(diǎn)到直線距離公式時(shí),直線要先化成一般式方程,這一點(diǎn)尤其重要.接下來,我們通過例題來熟悉一下公式,請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手動(dòng)腦,快速做出答案.

設(shè)計(jì)意圖這一部分應(yīng)該是本節(jié)課的亮點(diǎn),由于計(jì)算量過大,同學(xué)們?cè)谟?jì)算過程中也意識(shí)到“求出垂足的坐標(biāo)后再帶入兩點(diǎn)的距離公式”這部分過程應(yīng)該可以簡(jiǎn)化,但確不知該如何簡(jiǎn)化,這時(shí)候引入解析幾何中較為重要的“設(shè)而不求”的思想方法最為合適,大量降低了計(jì)算量,在學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)踐之后,經(jīng)歷對(duì)比,極大的引起學(xué)生的興趣,而且構(gòu)造的多項(xiàng)式對(duì)稱美觀,感受數(shù)學(xué)的魅力.通過對(duì)知識(shí)的及時(shí)升華,學(xué)生有意識(shí)的進(jìn)行創(chuàng)新,教師的啟發(fā)會(huì)促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移,進(jìn)而解決其它同類型的問題.

2.4 學(xué)以致用

例1求點(diǎn)P(-1,2)到下列直線的距離：

(1)3x=2; (2)2x+3y-1=0;

(3)y=-2x+10.

教師：請(qǐng)同學(xué)們來回答一下.

三位同學(xué)回答正確.

例2已知點(diǎn)A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面積.

教師：我們通過多媒體展示某同學(xué)的解答,該同學(xué)提供了兩種解法：1、將△ABC補(bǔ)成矩形再減去三個(gè)小的三角形面積得到答案;2、將線段AB作為底邊,運(yùn)用距離公式求出點(diǎn)C到直線AB的高,再通過三角形面積公式求出面積.

2.5 鞏固提升

1.點(diǎn)(0,5)到直線y=2x的距離是( )

2.若點(diǎn)P在直線3x+y -5 = 0 上,且點(diǎn)P到直線x-y-1=0 的距離為則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )

A.(1,2)B.(2,1)

C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)

3、點(diǎn)P(2,3)到直線ax+(a-1)y+3=0 的距離等于3,則a的值等于____.

教師：第一小題大家一起說出答案.

學(xué)生：第二小題設(shè)點(diǎn)P(x0,-3x0+5),通過點(diǎn)到直線的距離得到關(guān)于x0的方程,進(jìn)而可以解出x0,得到P的坐標(biāo),第三小題同樣是構(gòu)造關(guān)于a的方程解出a的值.

教師：同學(xué)們回答的很好,能運(yùn)用距離公式解決有關(guān)距離的綜合問題,能解決含參數(shù)的問題,非常好!

2.6 課堂小結(jié)

教師：回顧本節(jié)課,同學(xué)們學(xué)到了哪些知識(shí)?

學(xué)生：(1)學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離公式以及推導(dǎo); (2)解析幾何的學(xué)習(xí)要加強(qiáng)計(jì)算能力的培養(yǎng); (3)學(xué)習(xí)了“設(shè)而不求”法、“數(shù)形結(jié)合”和“整體代換”的思想.

教師：大家總結(jié)的很好.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅需要善于思考,更需要大膽探索的精神,要敢于表達(dá)自己的想法,善于和別人合作.