基于歷史發(fā)生原理下的初中函數(shù)概念教學(xué)*

江蘇省揚州大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)院(225000)徐理宜 陳算榮

1 初中函數(shù)概念教學(xué)現(xiàn)狀

函數(shù)是對變化過程中兩個變量之間依賴關(guān)系的刻畫,是一種常見的數(shù)學(xué)模型,很多數(shù)學(xué)知識都是以函數(shù)概念為基礎(chǔ)而發(fā)展的.因此函數(shù)在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中起著十分重要的作用,而函數(shù)概念本身十分抽象,初中函數(shù)概念是初中遇到的第一個用“數(shù)學(xué)關(guān)系概念定義法”給出的概念,要懂得它的本質(zhì)(對應(yīng)關(guān)系)對于初中生來說是比較困難的,正因為如此,現(xiàn)在很多初中生在學(xué)完函數(shù)概念后并不清楚函數(shù)的本質(zhì)是什么.對“函數(shù)是不是數(shù)”、“函數(shù)是不是一定有解析式”等問題,很多學(xué)生在學(xué)過函數(shù)概念后根本給不出正確的回答.

2 歷史發(fā)生原理

事實上,學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的個人認知障礙與科學(xué)知識的發(fā)展過程中所遇到的障礙具有很高的相似度[1].讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗數(shù)學(xué)概念、公式、定理的發(fā)展、發(fā)現(xiàn)過程的重要環(huán)節(jié),有助于學(xué)生跨越學(xué)習(xí)中的思維障礙,更好地掌握和理解概念的本質(zhì),這也是基于歷史發(fā)生原理的教學(xué)的初衷和內(nèi)涵.

3 函數(shù)概念發(fā)展簡史

著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨是最早使用“函數(shù)”一詞的人,他當(dāng)時僅用函數(shù)表示曲線上的點或線,經(jīng)過半個世紀的發(fā)展,到18世紀中期,數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了變量之間有相互依賴的變化關(guān)系,于是他指出函數(shù)可以用解析式表示,到18世紀后期,人們都沒有跳出函數(shù)一定有解析式的思維圈.直到1821年,法國的數(shù)學(xué)家柯西重新給函數(shù)下了定義,他說當(dāng)給定某個變量一個值,其他變量的值就被確定的時候,我們可以想象這些其他被確定的量都跟最開始的變量是有關(guān)的,于是他就給最開始變化的量取名為自變量,而隨著自變量的確定而隨之確定的其他量叫做這個自變量的函數(shù)[1].這時候他指出函數(shù)并一定要有解析式.他所給出的定義與我們今天初中教科書的函數(shù)概念就極為相似了,20世紀初布爾巴基學(xué)派用集合論的語言重新描述了函數(shù)的定義,與我們今天高中教科書上的函數(shù)概念對應(yīng).函數(shù)概念先后經(jīng)歷了“幾何說”、“變量說”、“對應(yīng)說”、集合說”的發(fā)展.

4 基于歷史發(fā)生原理下的初中函數(shù)概念教學(xué)(片斷)設(shè)計

4.1 引入環(huán)節(jié)

用幾何畫板動態(tài)展示在直角坐標系中的曲線上找一點,只要給出這個點的橫坐標,這一點就會在曲線上被確定下來,也就是說這一個在曲線上的點的縱坐標會隨著橫坐標的確定而確定.通過展示PPT,闡述函數(shù)一詞,最初是在德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨1673年的手稿里使用的,但它僅表示關(guān)于曲線上的點的橫坐標和縱坐標,以及一些線段(如弦、切線、法線等).接下來設(shè)置懸念：經(jīng)過幾個世紀的發(fā)展,我們今天所要學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念是到底是怎么樣定義的呢? 接下來我們一起來探究.

設(shè)計意圖用幾何畫板動態(tài)展示要在直角坐標系中的曲線上找一點,只要給出這個點的橫坐標,這一點就會在曲線上被確定下來的現(xiàn)象是為了給學(xué)生函數(shù)的初體驗,并不要求學(xué)生完全理解.但是可以由這一活動引出函數(shù)概念的發(fā)展史,并引發(fā)學(xué)生對函數(shù)概念的產(chǎn)生的強烈的好奇心.

4.2 探究環(huán)節(jié)

在數(shù)學(xué)史上,數(shù)學(xué)家們對函數(shù)認識經(jīng)歷從“幾何說”到“解析式說”再到“對應(yīng)說”的發(fā)展,根據(jù)函數(shù)的歷史發(fā)生過程,設(shè)置如下三個問題探究：

問題一氣象站測得某市某日氣溫變化圖如圖1所示,請學(xué)生思考：

(1)在這個變化過程中,哪些量是變量?

(2)你能說說這些變量之間有什么關(guān)系嗎?

圖1 某市某日氣溫隨時間變化圖

問題二汽車以100km/h 的速度在一條筆直的公路上行駛,

(1)1 小時后,汽車行駛的路程為____;

(2)2 小時后,汽車行駛的路程為____;

(3)t小時后,設(shè)汽車行駛的路程為y千米,則y=____.

思考：

(1)行駛路程隨____的變化而變化,即y隨____的變化而變化;

(2)當(dāng)行駛時間t取定一個確定的值時,對應(yīng)的行駛路程y的取值是否唯一確定?

問題三下面表1是近幾年某市某一中學(xué)的入學(xué)人數(shù)統(tǒng)計表,請根據(jù)前面兩題的解法,回答：

(1)在這個變化過程中,哪些量是變量?

(2)你能說說這些變量之間有什么關(guān)系嗎?

表1 某市一中學(xué)近六年來入學(xué)人數(shù)統(tǒng)計

設(shè)計意圖選取來自于實際生活中的三個例子有多重意圖.首先,這些貼近學(xué)生生活實際的例子很容易將學(xué)生帶入課堂并且能使其迅速進入思考狀態(tài),通過挖掘和利用實際生活中與變量有關(guān)的問題,讓學(xué)生經(jīng)歷探索具體情境中兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系的過程,直接獲得探索變量關(guān)系的體驗.其次,學(xué)生對于函數(shù)概念認識的初級階段跟當(dāng)年大多數(shù)數(shù)學(xué)家一樣,以為函數(shù)必須要有解析式,否則就不是.而問題一中的圖,問題三中的表的例子就給了學(xué)生直觀的沖擊,雖變量間寫不出解析式,但仍有依賴關(guān)系,這些也都是函數(shù),由此更加深刻地揭露了函數(shù)概念中對應(yīng)的本質(zhì)思想.再者,只要教師稍做引導(dǎo),學(xué)生就能從上述的三個實例發(fā)現(xiàn)函數(shù)的表示方法有解析式法、圖象法、列表法三種,讓學(xué)生這樣有依據(jù)地發(fā)現(xiàn)歸納知識更加有利于學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的良好建構(gòu).

4.3 生成環(huán)節(jié)

教師可以利用PPT 再現(xiàn)以上三個問題,并提問,上述三個問題都取材于我們的生活,根據(jù)我們剛剛的探究,想一想它們有什么樣的共同特征? 多數(shù)學(xué)生會發(fā)現(xiàn)以上三個問題中都是含有兩個變量,并能指出兩個變量之間的關(guān)系是當(dāng)一個變量變化時,另外的一個量都有唯一的值與之對應(yīng).教師可以順著學(xué)生的回答引出函數(shù)的概念,生活中還有許許多多存在著這樣的規(guī)律的例子,我們可以用函數(shù)來刻畫它們的共同特征,一般地,在一個變化過程中的兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應(yīng),那么我們稱y是x的函數(shù),x是自變量.

通過這樣一個探究—發(fā)現(xiàn)—歸納概括的過程,讓學(xué)生體驗到函數(shù)概念的核心就是在刻畫兩個變量之間的關(guān)系,所以函數(shù)并不是一個數(shù).三個實例也從側(cè)面讓學(xué)生了解到函數(shù)三種表示方式,因此并不一定都有解析式.通過上例不難看出,基于歷史發(fā)生原理下的概念教學(xué),一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵,另一方面,讓學(xué)生了解概念的歷史發(fā)展過程,體驗到數(shù)學(xué)家們一步步解決困境的智慧和科學(xué)概念發(fā)展的艱難曲折,可以增進學(xué)生數(shù)學(xué)情感體驗,促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.中學(xué)中有許許多多抽象的概念都有其“成長歷程”,了解概念背后的歷史,將“它的故事”帶入數(shù)學(xué)概念教學(xué)的課堂,能使概念的種子深入人心,并能生根發(fā)芽.