由博返約,一以貫之*
——一節(jié)《反比例函數(shù)復(fù)習(xí)課》的思考

廣東省東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校(523808)洪文惜

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》指出：“義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計,充分考慮本階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點,符合學(xué)生的認知規(guī)律和心理特征,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考;充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實質(zhì).”[1]初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是將所學(xué)的知識系統(tǒng)化,靈活運用所學(xué)的知識解決問題.

反比例函數(shù)是初中函數(shù)的重要組成部分,中考中主要考查反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),常與一次函數(shù)結(jié)合.筆者做了2011年-2018年廣東中考數(shù)學(xué)考題考點分值的統(tǒng)計(如下表),發(fā)現(xiàn)最近幾年與反比例函數(shù)有關(guān)的考題不斷推陳出新.

表1

由于反比例函數(shù)知識的特殊性和相對獨立性,造成了學(xué)生對此知識點的重視不夠,由此形成知識點欠缺,從而把握不住反比例函數(shù)的中考要求.在學(xué)校教學(xué)開放日中,我參與了一節(jié)《反比例函數(shù)復(fù)習(xí)》一圖一課式的磨課和研討,受益匪淺.

一、還生時空,完成知識的自我梳理

設(shè)計意圖學(xué)生自己課前完成思維導(dǎo)圖,老師留有足夠的空間給學(xué)生將零散的知識內(nèi)容整理,內(nèi)化成自己的認知.老師批改后進行二次備課,并在課堂上展示優(yōu)秀的復(fù)習(xí)結(jié)構(gòu)圖,既完成了知識的梳理,又激勵了學(xué)生.

圖1 學(xué)生的復(fù)習(xí)提綱

二、借題梳理,歸納出本質(zhì)問題

復(fù)習(xí)課覆蓋的“基礎(chǔ)知識”,教師往往都是通過歸納成條文或畫圖表概括來梳理,學(xué)生感覺枯燥乏味,難以激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.因此精選系列簡單的典型練習(xí),通過問題呈現(xiàn)反比例函數(shù)的概念和一般形式以及圖象與性質(zhì),并通過針對性的講解,歸納本質(zhì)問題的解法,以增強知識點之間的融會貫通與理解.

知識點1 反比例函數(shù)的概念

1.下列函數(shù)關(guān)系式中,y是x的反比例函數(shù)的是( )

A.y=B.y=C.y=D.y=

2.一個等腰三角形的面積為12,底邊長為x,底邊上的高為y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是( )

A.y=B.x=C.=24 D.y=

設(shè)計意圖用兩道基礎(chǔ)題復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的概念.第1題是反比例函數(shù)的解析式的辨析,在課上還可以引導(dǎo)學(xué)生說出的另外兩種形式：xy=2 和y=2x-1,復(fù)習(xí)反比例函數(shù)三種三種常用表達式.第2 題是三角形面積公式的考查.

知識點2 用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

3.已知點(2,3)經(jīng)過反比例函數(shù)的圖像,則下列各點中,也在這個圖像上的點是( )

A.(-1,6) B.(-3,2) C.(3,2) D.(6,-1)

設(shè)計意圖復(fù)習(xí)已知一個點坐標求反比例函數(shù)解析式和k的代數(shù)意義：坐標之積不變性.

知識點3反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)

4.對于函數(shù)y=下列說法中錯誤的是( )

A.圖像位于第二、四象限

B.它的圖像既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

C.y隨x的增大而增大

D.當x ＞2 時,-2＜y ＜0

5.已知點A(2,y1),B(4,y2)都在反比例函數(shù)的圖像上,則y1,y2的大小關(guān)系是____.

6.函數(shù)y=ax+a與在同一直角坐標系中的圖像可能是( )

設(shè)計意圖復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

①k ＞0,圖象位于第一、三象限,在每一個象限內(nèi),y隨x的增大而增大;k ＜0,圖象位于第二、四象限,在每一個象限內(nèi),y隨x的增大而減小.

②雙曲線關(guān)于原點成中心對稱,且關(guān)于直線y=x和直線y=-x成軸對稱.

知識點4 比例系數(shù)k的幾何意義

圖2

①若四邊形BFOE的面積為6,則反比例函數(shù)的解析式是____;

②三角形ADO的面積是____.

設(shè)計意圖復(fù)習(xí)比例系數(shù)k的幾何意義：S矩形=2S△=|k|,教材上沒有任何說明,但在平時的練習(xí)中出現(xiàn)較多,幫助學(xué)生歸納總結(jié),做題時可以事半功倍.通過這兩個練習(xí),讓學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”實現(xiàn)抽象思維與形象思維相結(jié)合,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而優(yōu)化解題途徑.

三、關(guān)注學(xué)情,尋找課堂生成點

孔子曰：因材施教! 其實質(zhì)就是關(guān)注學(xué)情! 凡事預(yù)則立,不預(yù)則廢,無論是在自己熟悉的班級上課還是借班上課,首先要做的事情就是學(xué)情診斷與預(yù)設(shè).比如,本節(jié)課課前預(yù)習(xí)的設(shè)計是根據(jù)反比例函數(shù)的各知識點設(shè)置一道基礎(chǔ)題目合成一份學(xué)習(xí)單,在課前發(fā)放讓同學(xué)們做,幫助梳理知識,鞏固解題方法,照顧到了每位同學(xué).老師收上來批改后,再進行二次備課,將問題變式,逐步提高難度,拓展提升,讓學(xué)有余力的同學(xué)得到挑戰(zhàn)并收獲成功的體驗,避免優(yōu)生出現(xiàn)“這些我都會了還用聽嘛”的尷尬局面.

四、自主編題,完善學(xué)生思維方式

愛因斯坦曾說過：“提出問題比解決問題更重要”.讓學(xué)生自主編題,實質(zhì)上是讓學(xué)生提出問題.在學(xué)生編題的過程中,一方面,要對所學(xué)的知識深入理解并靈活運用;另一方面,要求學(xué)生有敏銳的眼光、勤于思考的習(xí)慣和創(chuàng)新的精神,并能通過現(xiàn)象看出問題的本質(zhì),有助于培養(yǎng)思維的獨立性和創(chuàng)造性.

教學(xué)案中的探究性學(xué)習(xí)部分呈現(xiàn)以下題目,讓學(xué)生自己添加一條直線后提出問題并求解,從課堂的反應(yīng)來看,學(xué)生熱情高漲,高質(zhì)量地完成編題作業(yè).

探究學(xué)習(xí)如圖3,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過點A(1,4).

圖3

(1)求出反比例函數(shù)的解析式;

(2)如果在上圖中,要求添加一條過點A的直線,請思考：可以如何添加?對于新圖,試著提出一些數(shù)學(xué)問題? 并寫出所提問題的解答過程.(參閱做過的相關(guān)練習(xí),鼓勵多種不同方法的嘗試)

2012年至2018年間,廣東省數(shù)學(xué)中考中,反比例函數(shù)考點中主要考查反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)、不等式和原點三角形或原點矩形面積.老師收集學(xué)生自編題目,總結(jié)成以下兩個變式題目,涵蓋了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合考查.批改之后,可將這兩類問題在課堂上小組合作探究并講評.

變式一如圖4,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過點A(1,4),過點A的直線與曲線交于點B(-4,b),

(1)求直線AB的解析式;

(2)反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時x的取值范圍是____;

圖4

(3)連接OB和OA,求△AOB的面積.

變式二如圖5,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過點A(1,4),過點A的直線與曲線交于點B(a,1),

(1)求直線AB的解析式;

(2)一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時x的取值范圍是____;

圖5

(3)連接OB和OA,求△AOB的面積.

在教育改革不斷深入的今天,通過自主編題開啟學(xué)生自我思考之門,變被動做題為主動編題,變被動接受知識為主動獲取知識,從而進一步自覺學(xué)習(xí)和感悟數(shù)學(xué),真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人,是對所學(xué)知識的靈活運用,是創(chuàng)新思維的提煉和升華,是新課堂所追求的至高境界.

五、歸納方法,促進學(xué)生經(jīng)驗積累

變式一與變式二兩問題類似,區(qū)別在于一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩交點位置的不同.兩個問題是學(xué)生自主編的題目,所以完全交由學(xué)生小組合作探究并展示交流.

兩個變式的第二問考查一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值大小的比較,此問題是易錯點.對于這類問題,可以教學(xué)生“三線四區(qū)”的劃分方法.以變式一為例,用x= 1,x=-4,y軸三條直線分割平面成 ①- ④四個區(qū)域,在每個區(qū)域中依次觀察,圖象在上方的函數(shù)值較大,方法直觀,學(xué)生容易操作并運用,讓復(fù)習(xí)達到事半功倍.

圖6 “三線四區(qū)”

再如,變式問題中的第三問都是求△OAB的面積.學(xué)生在合作交流時,老師可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出求面積的多種方法,并在講臺上投影展示,以變式二為例,有以下的四種方法可求出△OAB的面積.

圖7

六、拓展訓(xùn)練,提升學(xué)生的思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課注重知識的拓展,拓寬解題思路,幫助學(xué)生培養(yǎng)思維的發(fā)散性,努力提升學(xué)生的思維品質(zhì),最終使學(xué)生掌握試題的精髓,抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì).如本次復(fù)習(xí)課設(shè)計了以下的拓展提升題目,讓學(xué)有余力的同學(xué)進行研究.此題在原有的基礎(chǔ)上增加了難度,對學(xué)生來說,是一種思維不斷提升的過程,具有一定的挑戰(zhàn)性.

拓展提升在矩形AOBC中,OB= 6,OA= 4,分別以O(shè)B,OA所在直線為x軸和y軸,建立平面直角坐標系,F是BC邊上一點,過點F的反比例函數(shù)圖像與AC邊交于點E,連接BE,EF.

圖8

(1)當點F為BC的中點時,求該函數(shù)的解析式;

(2)當k為何值時,△BEF的面積為最大,最大面積是多少?

(3)在(2)的條件下,在x軸上是否存在一點P,使S△P OE=S△BEF? 若存在請求出點P坐標.若不存在,請說明理由.

七、關(guān)注思想方法,提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新課程改革的重要目標之一.數(shù)學(xué)課程改革向縱深處發(fā)展的過程中,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)被視為“方向標”,數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是數(shù)學(xué)思想方法的滲透.《課標》(2011年版)提醒我們數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識的行程、發(fā)展和應(yīng)用過程中,是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括.例如,在本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)中,以一個反比例函數(shù)的圖形為基礎(chǔ),通過添加一條直線生成新問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.變式問題中,對于“反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時x的取值范圍是____.”這一問題,運用“三線四區(qū)”方法依次做出判斷,用到數(shù)形結(jié)合(畫出滿足條件的圖形和直線)、分類討論(對不同區(qū)域進行討論)的思想.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓,它蘊含于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程之中.教師應(yīng)以數(shù)學(xué)知識為載體,充分挖掘和滲透數(shù)學(xué)的思想方法,讓學(xué)生不斷地積累、不斷地感悟、不斷地運用,促進學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展,從而不斷提高思維能力和創(chuàng)新能力,全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中,教師可從一個基本圖形或一道題目(一般是課本例、習(xí)題和中考試題)出發(fā),以一貫之,開放性地設(shè)計問題,鼓勵學(xué)生從多角度解決問題,并嘗試讓學(xué)生自主編題,提出問題,為后續(xù)進一步挖掘題目作鋪墊.同時關(guān)注學(xué)情,動態(tài)生成,讓課堂更加自然、流暢,滲透數(shù)學(xué)思想方法,讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課成為學(xué)生的主陣地.