簡談思維的培養(yǎng)

江蘇啟東市南苑中學(226200)李衛(wèi)星

江蘇啟東市折桂中學(226200)顧向紅

思維是人腦對客觀現(xiàn)實的概括和間接的反映,反映的是事物的本質及內(nèi)部的規(guī)律性.是一個長期積累的過程.因此分析問題解決問題的思維方法,是很難通過一兩道題就掌握的,需要很長時間的鍛煉和反思、數(shù)學學習中需要進行判斷與決策的地方遠遠多于我們的想象,可以說,數(shù)學學習的過程就是解決問題的過程.而大腦是解決這些問題的唯一工具.要正確利用這個工具,這就涉及思維的某些概念,諸如本質,方法和運作.正確的思維方方法,是一切高效學習的基礎.解決問題的核心就是思維方法靈活自然地運用.人類在思考問題的過程中,自身的思維習慣、性格、知識積累無不都在悄悄地影響著思維的過程,要克服某些不良影響,得到積極影響.這就要求我們在平時的教學當中,我們進行具有足夠深度的總結和提煉.根據(jù)筆者多年的教學經(jīng)歷,發(fā)現(xiàn)如果只是練一題講一題,或者講一題用多種方法,而不再一個問題上縱向深入,是很難達到好的效果的.順著這個教學思路,筆者將思維的培養(yǎng)分成個運作的方向分成3 個,這3 個不同的思維方式,既是相互獨立,也是相互聯(lián)系的.筆者將以兩道典型題為例,闡述如何根據(jù)這3 個不同的方式解決具體問題.同時也會通過這兩道題闡述四種思維方式之間的對立統(tǒng)一關系.

第一點：尋找邏輯立足點,多角度思考,殊途同歸,開拓視野

很自然地,問題出現(xiàn)了,那就是我們應該怎樣思維? 從最不嚴謹?shù)慕嵌日f,思維是一系列問題我們曾經(jīng)出現(xiàn)的想法,從這個角度來說,任何人任何時刻都在思維.但是僅僅是一些類孤立而且毫無頭緒的思索,是無法成為有意義的思維活動的.因此從思維的實用性來說,有序連貫,帶有目的性,有立足點的思考才是真正的思維活動,否則僅僅是“想”而已.但是每個學生的邏輯出發(fā)點是不同的,學生的知識掌握程度也存在客觀差距.所以,每個人的思維活動也是多樣性的,這種多樣性即來自于邏輯的立足點的不同.既然每個人對問題都有不同角度的看法.那么利用邏輯出發(fā)點的不同解答疑惑,將是一種良好的方法.

如圖,AB為⊙O直徑,D是弧BC的中點,DE⊥AC交AC的延長線于E.

(1)求證：DE是⊙O的切線;

(2)若DE=3,⊙O的半徑為5,求AD的長.

學生A：連接DO,并過D點作DF⊥AB.因為是BC中點,所以∠EAD= ∠DAB,所以AD是角平分線,所以ED=DF,所以DF= 3.因為半徑為5,所以OD= 5.因為∠DFO=90°,所以DF2+OF2=DO2,32+OF2=52,OF= 4.因為AO= 5,OF= 4,所以AF= 9,因為∠DFA= 90°,所以DF2+AF2=AD2,32+92=AD2,AD=

解析學生A 從角平分線上出發(fā),目的是讓各個分散的條件整合起來,使其能夠在我們的解題范圍內(nèi).由角平分線引發(fā)“角平分上的點到角兩邊的距離相等”,過D點做垂線,在利勾股定理即可證得.

學生B：連接OD,并過O點作OG⊥EA.因為ED為DO切線,所以ED⊥OD,所以∠EDO= 90°.因為DG⊥EA,所以∠AED= 90°.因為四邊形EGOD是矩形,所以ED=OG= 3,EG=OD= 5.因為∠AGD= 90°,所以AG2+GD2=AD2,AG2+32= 52,AG= 4.因為AG= 4,EG= 5,所以AE= 9.因為∠AED= 90°,所以AE2+ED2=AD2,92+32=AD2,AD=

解析學生B 同樣是為了將條件整合在一起,但出發(fā)點不同.他從90°出發(fā),利用矩形巧妙的實現(xiàn)轉換,一樣達到了目的,采用勾股定理即可證得.

這道題的兩種解題角度,并不是想說明這兩種思維方式水平高低,而是顯示這樣一個道理：思維是立足于某種根據(jù)的東西.在數(shù)學題中,這個根據(jù)可能是一個直角,一個定理.如果我們在解題陷入誤區(qū)和障礙,并且花費大量時間時,我們要做的就是快速的轉換角度.從其他條件入手,重新審題.假設在選取角平分線法(方法A)解答問題時,陷入障礙無法解答,那么他可以重新審題,將目光轉到直角上,快速切換思路.這里還是要強調,并不是每個學生在將注意轉移到直角上就能得出B 的結論,我們承認學生間知識掌握程度的客觀差距,任何解決問題的過程都是以先驗的東西為前提,經(jīng)大腦整合提煉的.但是知識掌握程度不好的同學,還是可以嘗試此法,用以開拓思路.

第二點：脫離問題本身,引導思維向更深處發(fā)展

心理學認為,人都不可避免的受著各種各樣的偏見的影響,這些偏見就是我們常說的“思維定勢”.思維定勢并非完全有害無用,從思維定勢的形成來說,他來自于我們的生活經(jīng)驗,因為具有一定的實際意義,才逐漸被我們接受,以至于成為一種定勢約束我們的思維.

我們接著看上面那道題第三問.有學生C 的解答如下,他從方程思想的角度出發(fā),得到正確的解答.在這里學生已經(jīng)跳出幾何題的束縛,高屋建瓴地看待問題,尋找普適方法：方程思想.這也是數(shù)形結合思想的另一體現(xiàn).要做到這點,跳出幾何的舒服,破除思維定勢,與學生的自我調節(jié)和教師的傳道授業(yè)都有關.教師的任務是傳遞各種信息,在平時的教學和評獎中,注意提示各種有效甚至有效但也許無用的信息,促進學生的獨立思考,而學生要做的就是,在經(jīng)過長期自我調節(jié)與約束,控制大腦的思考方式,這也符合思維形成的規(guī)律.自主提取信息并分析信息,結合學生自己的經(jīng)驗,接下讓學生進行比較,逐步對比,分析依據(jù),并同時展開討論,“在死胡同中進行多次迂回探索,痛苦探索并快樂”.如果學生沒有AB 的思路,大可以不要糾結于幾何本身,而從大腦里尋找新信息.我們從這里可以得到一個結論：如果問題本身無法給我們突破,那么我們可以從問題之外尋找突破.

圖2

學生C：連接DB.因為D是CB中點,所以∠EAD=∠DAB.因為AB是直徑,所以 ∠ADB= 90°,所 以∠AED= ∠ADB.因 為∠AED= ∠ADB,∠EAD=∠DAB,所以△EAD～△DAB.設AD=x,因為∠ADB=90°,所以AD2+DB2=同乘x2,可得x4+ 900 = 100x2,x4-100x2=-900,x4-100x2+2500=1600,(x2-50)2=1600,x2-50 =±40,x21= 10,x22= 90,所以因為當時,∠EAB ＞45°,超出圓的范圍,所以不符合,所以所以

第三點：從殊途不歸在挖掘兩點,反饋再思,積累方法

但是從人的習慣上來說,人類都是傾向于已經(jīng)習慣的東西,經(jīng)驗的東西通常是人的第一選擇.同時人的大腦的思維方式又存在多種路徑,在習慣的驅使下,人就會下意識地選擇經(jīng)驗,抵觸細致的分析.從這個角度來說,思維如果存在多種捷徑,將是有利也有弊.一方面,他提高了人的工作效率.而另一方面,籠統(tǒng)的看一個問題要比細致的分析簡單得多,選擇捷徑也將降低人對問題的認知程度.也就是說,有時候時候,我們會殊途不歸.這包括三種情況：邏輯立足點本身的錯誤,論據(jù)的缺乏與不足,以及解答者知識水平的限制.我們將通過下題繼續(xù)說明這點.

(14 分)正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個動點,當M點在BC上運動時,保持AM和MN垂直,

圖3

(1)證明：Rt△ABM～Rt△MCN;

(2)設BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關系式; 當M點運動到什么位置時,四邊形ABCN面積最大,并求出最大面積;

(3)當M點運動到什么位置時Rt△ABM～Rt△AMN,求x的值.

學生A：因為Rt△ABM～R t△AMN,所以同 理由勾股定理得,所以

學生B：M為中點若相似X= 2.因為△AMN～△ABM,所以又△ABM～ΔMCN,所以所以所以BM=MC,所以BM=MC=2,所以M在中點.

解析利用三角形相似將兩對三角形常規(guī)思維從角出發(fā),利用垂直及角平分線的性質得出邊的,求出點M.

學生C：過M作MF⊥AN于F,因為△ABM～△AMN,所以∠3 = ∠4,∠1 = ∠5.又因為△ABM～△MCN所以∠1 = ∠6,所以∠3 = ∠4,∠5 = ∠6,所以BM=MF,CM=MF,所以BM=MC=2,所以M在中點.

解析這種方法一度從邊考慮常角形的中間△ABM抓住關系,通過的等效替換,得出各邊的比等得出關系式求出M的位置M為中點,若相似X=2.

關于學生B 和C 的解答方法的不同,已經(jīng)在第一點中闡明.學生A 建立方程但形成無理方程化成整式方程確實高次方程,是基于思維方法2 的跳出思維定勢.然而無法解決,學生A 的方法確實不能解嗎? 顯然,從教師的角度來說,當然是可解的.因此學生A 的問題在于自身知識的限制.既然幾何方法可以得到結論,學生A 代數(shù)方法也是可解的,我們是不是應該回顧解題過程,再次從代數(shù)方法中挖掘新的東西.

抓住思維的撞擊點銜接點轉接點,打破思考問題的封閉性,深化對知識理解,加深知識與方法的聯(lián)系的認識,再次反饋原題,積累了新的方法,在本題就是整體思想.在別的題目中,可能是其他方法,足見沙漠中也是可以有綠色,殊途不歸中也可以找到亮點.

總結培養(yǎng)“聯(lián)系”的思考方式.

這里不再舉新題目闡述,也不再闡述具體的方法.解題的方法和指導思想是多種多樣的,任何一道題可能對應著很多解題方法,也對應著很多的解題思想,比如數(shù)形結合思想,分類討論思想,方程思想等.同樣的,思維方法也是種類繁多,比如逆向思維法,發(fā)散思維方法、收斂思維方法、求異思維方法、逆向思維方法、缺點列舉思維方法、檢核思維方法、縱向思維方法、橫向思維方法、縱橫向思維方法.然而這些讓然離不開“聯(lián)系”兩個字,在解題中我們發(fā)現(xiàn),任何方法的應用,不外乎是將幾個知識點的聯(lián)系后的優(yōu)化.從中國古代的思想上來說,萬物都處在相互的聯(lián)系中,并非孤立存在.這個思想同樣也在馬克思主義哲學中提到,即任何事物都處于普遍聯(lián)系之中,這就是聯(lián)系的普遍性.聯(lián)系的觀點,不僅在自然科學,比如德布羅意發(fā)現(xiàn)物質的波粒二象性.也在人文社科領域有著重要的作用,比如銀行利率的變動將導致人們消費意識的變化.

回到數(shù)學這個話題本身,學生要在數(shù)學上有一定的進步,學會“聯(lián)系”的觀點是必須的.任何學業(yè)上有所進步的人,總是有意識或者無意識地學會了“聯(lián)系”.實施上,當我們解答完一道難題時,我們?nèi)绻仡欘}目,我們將發(fā)現(xiàn),我們是不是將A 知識點和B 知識點結合起來,才得到了C 結論.雖然單獨從A 或者B 我們也可以得到某些孤立的結論,比如C1 和C2,但是如果我們僅僅得到孤立的結論,我們是遠遠不能解決問題的.從命題者的角度來說,一道難題并不是簡單的從A 到B 的邏輯推理,而是多種知識點的整合,也就是聯(lián)系,才能讓學生多角度調動知識點,全面考察學生能力.“聯(lián)系”觀點的建立,其重要性不言而喻.美國著名哲學家和教育理論家杜威認為,好的思維習慣的培養(yǎng),取決受教育者的背景性格已經(jīng)生活環(huán)境,同時也取決于施教者的引導.因此無論是前面三種具體的方法,還是“聯(lián)系”觀點的培養(yǎng),都離不開這兩個個條件.這也是培養(yǎng)好的思維方式的唯一途徑.