妙用函數(shù)思想，巧解數(shù)學難題

陳奕冰

【摘要】解題是運用數(shù)學知識的重要途徑，也是高考對數(shù)學知識考查的主要形式，但是高中數(shù)學知識的抽象性和復雜性決定了數(shù)學問題具有一定的難度，只有運用科學的思想和方法才能快速、準確地解題.函數(shù)思想是數(shù)學思想方法的重要內容，我們可以充分利用函數(shù)思想來解決數(shù)學難題.本文從利用函數(shù)思想解決方程式問題、不等式問題和數(shù)列問題三方面出發(fā)，總結和歸納了利用函數(shù)思想解決數(shù)學難題的有效方法，希望能夠為廣大高中生提供有益的經驗借鑒.

【關鍵詞】高中數(shù)學;函數(shù)思想;數(shù)學難題

解決數(shù)學問題是我們學習數(shù)學的重要內容，也是實現(xiàn)知識運用的有效方式，而能夠快速、準確的解題還取決于我們是否擁有清晰的解題思路、解題技巧和科學的解題思想.但是目前我們在數(shù)學解題的過程陷入了“題?！敝?，走入了盲目做題的誤區(qū)，卻并沒有掌握科學的解題思想和正確的解題思路.函數(shù)思想作為數(shù)學科學思想方法的重要內容，有利于我們解題思路的形成和解題效率的提升.因此，我們必須理解函數(shù)思想、掌握函數(shù)思想本質，并將其運用到數(shù)學難題的解決過程中，從而為數(shù)學學習提供不竭的動力.

一、妙用函數(shù)思想，解決方程式問題

方程式問題是我們在高中數(shù)學學習過程中所常見的數(shù)學問題之一，當遇到存在多個未知數(shù)的情況，往往便會使整個問題變得復雜.這時，我們便可以巧妙利用函數(shù)思想來解決方程式問題.具體來說，我們首先可以根據題目來寫出解析式，當?shù)贸鰯?shù)式的類型后，利用函數(shù)思想對方程式進行相應的解析，首先可以把函數(shù)式當作一個已知是零的數(shù)量，然后將其轉化為方程式，或者對方程式的兩端進行相應的簡化.當遇到較為復雜的方程式問題時，便可以先對方程式進行移項，然后根據數(shù)式來建立函數(shù)圖像，從而根據圖像來實現(xiàn)問題的解決.

例如，以“設二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

二、巧用函數(shù)思想，解決不等式問題

不等式直觀反映了事物在量上的區(qū)別，是研究數(shù)量關系的重要途徑，也是數(shù)學問題的基本內容之一.不等式問題也可以通過函數(shù)思想來解決，所以，我們在不等式的解題過程之中，要利用函數(shù)思想仔細分析問題的內容和給出的條件，進一步地利用已知條件來分析整個函數(shù)不等式的問題內容，從而實現(xiàn)不等式或者等式之間的聯(lián)想轉換，并利用函數(shù)圖像來直觀表示出根的分布區(qū)間，從而降低不等式的解題難度，節(jié)省大量的計算時間，提高解題的效率和正確率.

例如，以“設a>0，求函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）（x∈（0，+∞）的單調區(qū)間），”這道題為例，當我看到這道題后，我首先對這道題題干中的信息展開了分析，我發(fā)現(xiàn)這道題實際是考查導數(shù)的概念和計算，使用導數(shù)研究函數(shù)的性質.找到解題思路后，我便開始對這道題進行求解，根據函數(shù)思想，想要求解函數(shù)的單調區(qū)間，我們必須求出函數(shù)中不等式的解，即f′（x）≥0（遞增）以及f′（x）<0（遞減），然后在分部對不等式進行分析，如當a>0，x>0時，分析f′（x）的取值范圍;當a>1，對所有x>0時，分析f′（x）的取值范圍.然后再將所有分析結果進行整合，求出最終結果.

三、利用函數(shù)思想，解決數(shù)列問題

數(shù)列問題通常需要我們去發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，如果不能準確把握其中所蘊含的規(guī)律就很難解決問題，這便為我們解決數(shù)列問題帶了一定的難度.因此，我們可以利用函數(shù)思想來解決數(shù)列問題，將數(shù)列中的每一個項都看作是項數(shù)的函數(shù)，在求解的過程中將數(shù)列的變化和分布圖用函數(shù)圖像展示出來，從而更加直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)列的變化和求解規(guī)律，從而大大節(jié)省了計算和尋找數(shù)列規(guī)律的時間，提高數(shù)列求解的速度.

例如，以“設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=an+122，n∈N，若bn=（-1）n×Sn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn”這道題為例，這道題是以“等差數(shù)列”這一條件為線索，運用函數(shù)方程思想來求解數(shù)列{an}的通項an，在求解數(shù)列{bn}的前n項和時，我們可以通過化簡、變形把一般數(shù)列的求和問題轉化成等差數(shù)列的求和問題，以提高我們的解題效率.

總之，函數(shù)思想是數(shù)學思想方法的重要內容，是能夠幫助我們理清解題思路、提高解題效率的有力武器.因此，作為高中生我們要理解函數(shù)思想并掌握函數(shù)思想的本質，利用函數(shù)思想來解決方程式問題、不等式問題和數(shù)列問題等各種數(shù)學難題，從而有效拓寬我們的解題思路、優(yōu)化解題思想、提高解題技巧，使數(shù)學難題都能夠迎刃而解.

【參考文獻】

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