執(zhí)果尋因 巧證線面平行

華棟 劉加寶

【摘要】證明直線與平面的平行，是文科數(shù)學(xué)立體幾何學(xué)習(xí)中的一個重點(diǎn).一共有兩個思路，一是用直線與平面平行的判定定理，另一個是用平面與平面平行的定義.直線與平面平行的判定定理指出：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.定理是證明線面平行的依據(jù)，也是證明面面平行的基礎(chǔ).用定理證明直線與平面平行主要有兩步.第一步是“找”，在平面內(nèi)找一條直線.第二步是“證”，證明找出的直線與已知直線平行.

【關(guān)鍵詞】線面平行;立體幾何;高中數(shù)學(xué)

前段時(shí)間，我校舉行了青年教師匯報(bào)課.劉老師在一節(jié)高三文科復(fù)習(xí)課“直線與平面的判定”上通過一題多解的方式對該內(nèi)容進(jìn)行了探究，大致內(nèi)容如下.

劉老師完成了知識梳理、預(yù)習(xí)檢測部分后投影出典型例題.

每一名學(xué)生講完，同學(xué)們都給以熱烈的掌聲.教師高高興興的聽完后，也給了展示的學(xué)生鼓勵.最后教師展示的課堂練習(xí)題，學(xué)生完成得也較好.

課后組內(nèi)交流時(shí)，很多教師認(rèn)為這節(jié)課教學(xué)過程設(shè)計(jì)合理，師生交流探討充分，是一節(jié)好課.筆者認(rèn)為，師生雙邊教學(xué)活動的“量”已經(jīng)足夠，解題“本質(zhì)”的探討做得不夠.在本節(jié)課中，要證明直線MN∥平面PAD，根據(jù)判定定理，第一步是在平面PAD內(nèi)找一條直線，第二步是證明找出的直線與直線MN平行.而第一步的“找”是往往是解題的難點(diǎn).如果我們先假設(shè)直線MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)，則經(jīng)過MN的平面與平面PAD的交線與直線MN是平行的.而為了證明直線MN∥平面PAD，根據(jù)判定定理，我們又需要在平面PAD內(nèi)找一條直線.所以“找”的關(guān)鍵明確為找“交線”.為了找交線又必須找出一個平面，一個經(jīng)過直線MN的平面.這樣引導(dǎo)后，學(xué)生們就會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生2找的是直線MN與A點(diǎn)確定的平面.學(xué)生3找的是直線MN與C確定的平面.學(xué)生4找的是直線MN與B點(diǎn)確定的平面.這樣在判定直線與平面平行時(shí)就會很容易找到的這條線，就是“果”.我們只要根據(jù)這個“果”，再去證明它與直線MN平行，也就是“執(zhí)果尋因”.我們還可以進(jìn)一步思考，這么多方法中要選擇哪一種呢？在學(xué)生3的做法里，直線MN與C點(diǎn)確定的平面，實(shí)際上就是直線MN與直線PC確定的平面.顯然點(diǎn)P就是交線上的一個點(diǎn)，我們只要再找交線上的一個點(diǎn)就可以了.經(jīng)過分析，我們也可以看出學(xué)生2和學(xué)生4找出的交線是同一條.當(dāng)然，我們也可以選擇面面平行的定義，將此題轉(zhuǎn)化為新的直線與平面的判定，比如，學(xué)生1.

茫茫線海，線在何方？筆者在教學(xué)時(shí)采用的這種“執(zhí)果尋因”法收到了很好的效果.今年青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文科）第18題的第二問考查的就是判斷直線與平面平行.筆者在市里統(tǒng)批試卷的時(shí)候，正好負(fù)責(zé)這道題.批閱的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)有很多的學(xué)生做得不好.講評試卷的時(shí)候，筆者統(tǒng)計(jì)自己班里的學(xué)生這個知識點(diǎn)做得卻是非常的好.班里很多學(xué)生都說，學(xué)習(xí)了“執(zhí)果尋因”法以后，猛然發(fā)現(xiàn)，原本是“憑感覺”找到了那條線，也有很多時(shí)候根本找不到的那條線原來就在那里.