HPM視角下等差數(shù)列前n項(xiàng)和的教學(xué)設(shè)計(jì)

吳首飛 鐘芳 魏佳

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反應(yīng)數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)……幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀(guān).”[1]由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)課程改革的需要，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的重要途徑.

然而由于高考的壓力以及一線(xiàn)教師對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)缺乏足夠的了解，數(shù)學(xué)史鮮少出現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂.在眾多關(guān)于“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)用較多的是高斯巧算故事，但其中所蘊(yùn)含的思想方法卻很少被學(xué)生真正領(lǐng)悟，以至于一段時(shí)間過(guò)后，學(xué)生對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式模糊不清，甚至不知如何利用倒序相加法進(jìn)行公式的推導(dǎo).針對(duì)這些問(wèn)題，筆者從HPM的角度，結(jié)合日常教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和這一內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以期取得更好的教學(xué)效果并滲透相關(guān)的思想方法.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

數(shù)列是一個(gè)古老的話(huà)題，考查數(shù)列的歷史，可以發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列是數(shù)學(xué)史上最早出現(xiàn)，并引起人們興趣的數(shù)列之一.在蘇格蘭埃及學(xué)家萊茵德于1858年購(gòu)自埃及，時(shí)間屬于約公元前1650年的草紙上就載有等差數(shù)列問(wèn)題.無(wú)獨(dú)有偶，在中國(guó)的古代文物或文獻(xiàn)中，相關(guān)內(nèi)容也是十分豐富，如《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《張丘建算經(jīng)》等等.[2]其中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)史知識(shí)和歷史名題，因此，HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)可從這類(lèi)問(wèn)題入手.

（一）教材分析

數(shù)列在整個(gè)高中階段占有重要地位，也是高考?？贾R(shí)點(diǎn)之一.本節(jié)課是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的第一課時(shí)，是學(xué)生在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)后，對(duì)等差數(shù)列知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí).

（二）學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，高一學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，有了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).但數(shù)列這一章涉及較多的思想方法，本節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)困難主要是倒序相加法求和的理解.

（三）教學(xué)任務(wù)

本節(jié)課的核心任務(wù)是從數(shù)學(xué)史的角度來(lái)創(chuàng)設(shè)不同的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生理解倒序相加法，尤其是倒序求和思想方法的引導(dǎo)與啟發(fā)，并掌握求和公式及其推導(dǎo)過(guò)程.

教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及公式的推導(dǎo)過(guò)程，會(huì)應(yīng)用等差數(shù)列求和公式去解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（2）經(jīng)歷等差數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)、探究過(guò)程，體會(huì)倒序求和、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、歸納類(lèi)比等思想方法.（3）通過(guò)歷史名題，體會(huì)古人的思想智慧，再一次感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀(guān)察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的掌握.

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）課題引入

通過(guò)小學(xué)學(xué)習(xí)加法時(shí)經(jīng)常會(huì)碰到的一個(gè)問(wèn)題：“求1+2+3+…+100的和”，引出高斯巧算故事，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.（結(jié)合多媒體課件向?qū)W生展示高斯算法）故事拋出的同時(shí)，盡可能多地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)故事背后的思想方法.當(dāng)然，如果學(xué)生對(duì)高斯較為好奇，也可適當(dāng)?shù)亟榻B高斯的生平軼事.這樣不僅能激發(fā)學(xué)生對(duì)新授課的興趣，也向?qū)W生滲透了數(shù)學(xué)文化，更重要的是，在數(shù)學(xué)史故事中讓學(xué)生對(duì)倒序相加法有初步的感知.

（二）探究新知

探究1在公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖.問(wèn)織幾何？（通過(guò)學(xué)生讀題，將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和的數(shù)學(xué)問(wèn)題）

原書(shū)的解法是：“并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得.”（引導(dǎo)學(xué)生思考書(shū)中這一解法背后的思想方法）

分析：假設(shè)另有一女善織，日益功疾，初日織一尺，末日織五尺，三十日織訖.則兩女織布數(shù)無(wú)異.

根據(jù)原書(shū)中假設(shè)的兩個(gè)情境，引導(dǎo)學(xué)生得出：

S30=a1+a2+a3+…+a28+a29+a30.

S30=a30+a29+a28+…+a3+a2+a1.

從而得到：S30=（a30+a1）2×30=（5+1）2×30.

設(shè)計(jì)意圖：揭示原書(shū)中所給出解法背后的思想方法.在此過(guò)程中一方面，能讓學(xué)生體會(huì)到古代數(shù)學(xué)家的智慧，另一方面，通過(guò)題中假設(shè)的兩個(gè)情境，能讓學(xué)生更加真實(shí)地體會(huì)倒序相加法求和的思想.

探究2如圖所示，建筑工地上有一堆圓木，從上到下每層的數(shù)目分別為1，2，3，…，10.問(wèn)共有多少根圓木？如何用簡(jiǎn)便的方法來(lái)計(jì)算？（結(jié)合多媒體課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)圖形進(jìn)一步直觀(guān)地說(shuō)明倒序相加法，從數(shù)與形的角度啟發(fā)學(xué)生對(duì)這一思想方法的理解與掌握.

探究3等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，如何求等差數(shù)列前n項(xiàng)和？（鼓勵(lì)學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在黑板上與學(xué)生一起完成公式的推導(dǎo)）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)前面兩個(gè)探究活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)理解了倒序求和的思想方法.放手讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，自己嘗試推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，培養(yǎng)了學(xué)生觀(guān)察分析、獨(dú)立思考的能力.同時(shí)由特殊到一般，也培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.

接著再通過(guò)課前準(zhǔn)備好的數(shù)學(xué)史小閱讀，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，體會(huì)數(shù)學(xué)文化的博大精深.

閱讀材料

數(shù)列的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，在中國(guó)古代文獻(xiàn)中，記載了許多有趣的數(shù)列問(wèn)題.出土的春秋至戰(zhàn)國(guó)時(shí)代楚國(guó)的銅環(huán)權(quán)，其重量大致都按等差或等比數(shù)列配置.等差數(shù)列求和問(wèn)題最早見(jiàn)于約成書(shū)于公元前1世紀(jì)的《九章算術(shù)》，其中的衰分章、均輸章、盈不足章中就有許多關(guān)于等差數(shù)列的問(wèn)題.值得我們驕傲的是，劉徽在《九章算術(shù)注》中創(chuàng)造了等差數(shù)列的求和公式和兩個(gè)通項(xiàng)公式.這一創(chuàng)舉比其他國(guó)家至少領(lǐng)先300年，可以說(shuō)劉徽在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的貢獻(xiàn)是空前巨大的！此外《孫子算經(jīng)》《前漢書(shū)》《舊唐書(shū)》《張丘建算經(jīng)》中也記載了很多有趣的數(shù)列問(wèn)題，在公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中通過(guò)了5個(gè)例子給出了求公差、總和、項(xiàng)數(shù)的一般步驟.[2]

探究4等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的幾何解釋

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究2可用圖形來(lái)解釋倒序相加法，思考并理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的幾何解釋?zhuān)由顚?duì)求和公式的理解與記憶.

梯形的面積=（a1+an）·n2

梯形的面積=n（n-1）2d

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合梯形的面積公式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比記憶，加深對(duì)公式的理解.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)填表理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式中涉及5個(gè)基本量，利用已知量求未知量，這一環(huán)節(jié)的思想主要為方程思想和轉(zhuǎn)化思想.通過(guò)填表讓學(xué)生牢固掌握等差數(shù)列的相關(guān)公式的同時(shí)也學(xué)習(xí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.

（三）新知應(yīng)用

例1在我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含著許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖所示），最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開(kāi)始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈.請(qǐng)問(wèn)：

（1）第9圈共有多少塊石板？

（2）前9圈一共有多少塊石板？

例2在新城大道一側(cè)A處，運(yùn)來(lái)20棵新樹(shù)苗.一名工人從A處起沿大道一側(cè)路邊每隔10 m栽一棵樹(shù)苗，這名工人每次只能運(yùn)一顆.要栽完這20棵樹(shù)苗，并返回A處，植樹(shù)工人共走了多少路程？

設(shè)計(jì)意圖：這兩道題目均選自北師大版教材的例題，主要是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用新知解決實(shí)際問(wèn)題的能力.其中例1是以北京天壇圓丘為背景，在數(shù)學(xué)課堂中滲透了數(shù)學(xué)文化及中國(guó)傳統(tǒng)文化.例2主要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，拉近了數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際生活的距離.

三、總結(jié)與反思

（一）公式教學(xué)重在揭示其本質(zhì)

本節(jié)課是“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，重點(diǎn)在于揭示求和公式背后的思想方法——倒序相加法.其教學(xué)設(shè)計(jì)是從HPM的角度來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，從情境到問(wèn)題，從數(shù)到形，從具體到抽象，從特殊到一般，并在各個(gè)環(huán)節(jié)融入了不同的數(shù)學(xué)史知識(shí).它不僅能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，還能使學(xué)生在體會(huì)數(shù)學(xué)文化的同時(shí)理解倒序求和的思想方法.

（二）數(shù)學(xué)文化的滲透是潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的

數(shù)學(xué)文化的滲透不是對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行全盤(pán)照搬，也不是簡(jiǎn)單地講幾個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，而是對(duì)歷史的傳承與創(chuàng)新.雖然有些一線(xiàn)教師在課堂上會(huì)融入數(shù)學(xué)史，但只是匆匆?guī)н^(guò)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)幾乎起不到實(shí)質(zhì)性的幫助.數(shù)學(xué)文化的滲透應(yīng)該是潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲，不是輕描淡寫(xiě)，更不是嘩眾取寵.

因此，有必要進(jìn)一步開(kāi)發(fā)HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)，為一線(xiàn)教學(xué)提供新的思路，讓數(shù)學(xué)史融入課堂變?yōu)榭赡?

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