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    多項式函數(shù)f(x)取值情況的探討

    2019-10-18 02:30李佳鑫
    數(shù)學學習與研究 2019年16期
    關鍵詞:恒等式行列式整數(shù)

    李佳鑫

    【摘要】本文以Lagrange插值公式為基礎對多項式函數(shù)分別從整值多項式、含變系數(shù)的實多項式、含變系數(shù)的復多項式進行了討論,得出了三種情況下多項式函數(shù)f(x)的取值情況.

    【關鍵詞】Lagrange插值公式;多項式函數(shù);f(x)取值情況

    首先,我們介紹Lagrange插值公式,在x1,x2,…,xn兩兩不同時Lagrange插值公式可表示為:

    f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)·f(x0)+

    (x-x0)(x-x2)…(x-xn)(x1-x0)(x1-x2)…(x1-xn)·f(x1)+…+

    (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)(xn-x0)(xn-x1)…(xn-xn-1)·f(xn).

    問題1當x取連續(xù)n+1個整數(shù)時,多項式函數(shù)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0都取整數(shù)值,則對任一整數(shù)x,f(x)均取整數(shù)值(這樣的多項式稱為整值多項式).

    事實上,設當x取n+1個連續(xù)整數(shù)k0,k0+1,…,k0+n(k0∈Z)時,f(k0),f(k0+1),…,f(k0+n)都是整數(shù).又對任一整數(shù)k,取xi=k+i(0≤i≤n),則由Lagrange插值公式知,f(x)可唯一表示為f(x)=∑ni=0aif(k+i)·∏0≤j≤nj≠i(x-xj).

    比較xn的系數(shù),得an=∑ni=0(-1)n+in!·Cinf(k+i).

    即n!an=∑ni=0(-1)n+iCinf(k+i).

    在上式中,令k=k0,則n!an是整數(shù).

    在f(k+n)=n!an-∑n-1i=0(-1)n+iCin·f(k+i)取k=k0+1,k0+2,…,k0+t,…(t∈N*),則f(k0+n+t)(t=1,2,…)都是整數(shù).

    在f(k)=(-1)nn!an-∑ni=1(-1)iCinf(k+i)取k=k0-1,k0-2,…,k0-t,…(t∈N*),則f(k0-t)(t=1,2,…)都是整數(shù).

    因k0+n+t和k0-t(t=1,2,…)合起來可取遍集合Z-{k0,k0+1,…,k0+n},故f(x)是整值多項式.

    問題2設含參變量a0,a1,…,an的實多項式f(x)=a0+a1x+…+anxn滿足:對給定的兩兩不同的實數(shù)x0,x1,…,xn有bi≤f(xi)≤ci(i=0,1,2,…,n),則對任意給定的實數(shù)x,存在兩組實數(shù)(a0,a1,…,an)和(a0′,a1′,…,an′)使f(x)分別取到最大值和最小值.記最大值為Mx,最小值為mx,則f(x)的取值范圍是[mx,Mx].

    事實上,由Lagrange插值公式知,對任意給定的實數(shù)有f(x)=∑ni=0∏nj=0j≠ix-xjxi-xj·f(xi),由于bi≤f(xi)≤ci(i=0,1,2,…,n),故在上式中用放縮法可導出:存在兩實數(shù)Mx,mx使得mx≤f(x)≤Mx.

    f(x)=Mx成立的條件是f(xi)取ci或bi.可得出關于a0,a1,…,an的方程組為

    a0+x0a1+…+xn0an=f(x0),a0+x1a1+…+xn1an=f(x1),…a0+xna1+…+xnnan=f(xn),

    其系數(shù)行列式為n+1階Vandermonde行列式

    Δn+1=1x0…xn-10xn01x1…xn-11xn11xn…xn-1nxnn=∏n0≤i

    故方程組有唯一解,由這組解(a0,a1,…,an)確定的多項式使f(x)取到最大值Mx.同理,存在唯一的實數(shù)組(a0′,a1′,…,an′),由它確定的多項式使f(x)取到最小值mx.即f(x)的取值范圍是[mx,Mx].

    問題3設f(x)=a0+a1x+…+anxn(an≠0),x0,x1,…,xn兩兩不同,則n+1個數(shù)|f(x0)|,|f(x1)|,…,|f(xn)|中至少有一個不小于|an|∑ni=0|ai|,

    其中ai=∏0≤j≤nj≠i(xi-xj)(-1)(i=0,1,2,…,n).

    事實上,由Lagrange插值公式可知:

    f(x)=∑ni=0aif(xi)∏0≤j≤nj≠i(x-xj)≡a0+a1x+…+anxn.

    比較xn的系數(shù)得an=∑ni=0aif(xi),

    即|an|≤∑ni=0|ai|·|f(xi)|≤∑ni=0|ai|max0≤i≤n{|f(xi)|}.

    ∴max0≤i≤n{|f(xi)|}≥|an|∑ni=0|ai|.

    【參考文獻】

    [1]胡小平,盛登.幾個命題的Lagrange插值恒等式證法[J].綿陽師范學院學報,2011(11):12-15,24.

    [2]張曉華.Lagrange插值恒等式在求變系數(shù)多項式取值范圍中的應用[J].中學數(shù)學研究,2011(10):44-45.

    [3]劉國祥.用插值方法得到的幾個恒等式[J].赤峰學院學報(自然科學版),2005(4):6.

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