由一道中考題中“a的范圍”求解說起*

(正余初級中學(xué),江蘇 海門 226153)

在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)是數(shù)與式的重要組成部分，其中二次函數(shù)更是重中之重.它是學(xué)生從常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)邁進(jìn)的墊腳石，是銜接初高中內(nèi)容的重要紐帶，是學(xué)生應(yīng)該掌握的基本知識.而伴隨二次函數(shù)考查的一個重要考點，即“求‘a(chǎn)’的取值范圍”，近年來成為各地中考數(shù)學(xué)命題者的不二選擇.此類問題往往集函數(shù)、方程和不等式、數(shù)形結(jié)合、分類等于一體，綜合性強，靈活度高,思維難度大,學(xué)生短時間內(nèi)破題實屬不易，為此筆者以2019年江蘇省南通市數(shù)學(xué)中考試題第26題為例，精選考題加以分類、剖析，發(fā)掘問題的內(nèi)涵、外延，以期破解相關(guān)“a的取值范圍”求解問題，如有不當(dāng)之處，敬請批評指正．

類別1“a”是二次項系數(shù)，拋物線圖像與坐標(biāo)軸的交點在一定的取值范圍之內(nèi).

例1關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間(不包括-1和0)，則a的取值范圍是______．

(2015年江蘇省南通市數(shù)學(xué)中考試題第18題)

圖1 圖2

例2如圖2，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于點A(-1，0)，與y軸的交點B在(0，2)與(0，3)之間(不含點A,B)，直線x=2為對稱軸，則a的取值范圍是______．

(2018年四川省達(dá)州市數(shù)學(xué)中考試題第10題改編)

方法總結(jié)本題是明確的二次函數(shù)問題，但難點是想不到把多參數(shù)化為單參數(shù).一旦能抓住確定條件A(-1，0)和對稱軸為直線x=2，接下來的問題就較為簡單了.具體思路為：由x=2，可得b=-4a；由A(-1，0)，可得a-b+c=0，進(jìn)而得c=-5a,于是二次函數(shù)就化簡為

y=ax2-4ax-5a.

類別2“a”是二次項系數(shù)，拋物線圖像與某線段的交點只有一個.

圖3

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P(0，4)，點A在線段OP上，點B在x軸正半軸上，且AP=OB=1，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD,過點C，D依次向x軸、y軸作垂線，垂足為M，N.設(shè)過點O，C的拋物線為y=ax2+bx+c．聯(lián)結(jié)OD，若此時拋物線與線段OD只有唯一的公共點O，求a的取值范圍．

題目條件是“與線段OD只有唯一的公共點O”，但在解題時可以放大線段的條件，用直線的交點來考慮問題，得到

例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C.若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍.

(2018年北京市數(shù)學(xué)中考試題第26題改編)

圖4

方法總結(jié)本題的拋物線是兩參數(shù)過定點的形式并且需要分類討論，思維含量大，學(xué)生非常容易出現(xiàn)束手無策或漏解.這種類型的問題我們通?？梢酝ㄟ^代入定點進(jìn)行消參，然后借助圖像(如圖4)找到極端位置，再用變化的眼光研究找到破題入口.此題稍作處理即得新的拋物線y=ax2-2ax-3a，接下來的處理辦法與例3類似.

類別3“a”是二次項系數(shù)，函數(shù)值大于(或小于)某常數(shù)恒成立.

例5已知二次函數(shù)y=ax2+(2a+1)x+1(其中a≠0)．若對于任意的-1≤x≤1，y≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

圖5

方法總結(jié)本題屬于二次函數(shù)值恒成立問題.如果自變量x的取值范圍是任意實數(shù)，恒成立對學(xué)生就不構(gòu)成困難了，但本題的x是對于任意的-1≤x≤1，這種情況學(xué)生不太會處理.常規(guī)方法還是數(shù)形結(jié)合，考慮利用二次函數(shù)圖像(如圖5)的直觀性來輔助處理．因為a在二次項系數(shù)和一次項系數(shù)上，影響拋物線的開口方向、判別式、對稱軸等，帶來不少麻煩，這時不妨從常數(shù)項為1入手，即拋物線過y軸上定點(0，1)，這樣問題就變得容易多了.

類別4“a”是二次項系數(shù)，拋物線頂點在某個封閉區(qū)域內(nèi)運動.

圖6

例6如圖6，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點A在點(-2，0)和(-1，0)之間(包括這兩點)，頂點C是矩形DEFG上(包括邊界和內(nèi)部)的一個動點，則a的取值范圍是______．

方法總結(jié)本題是動拋物線問題，開口方向已經(jīng)定好.本題中“a的取值范圍”求解，即要找到拋物線開口大小的兩個極端位置.題目中的條件發(fā)掘要充分利用圖像，學(xué)會讀圖，使圖像開口最大，則需要點A經(jīng)過最外點(-2，0)，點C落在點F上與點A的水平距離最大，拋物線在x軸上截得的線段最長，頂點離x軸最近，這樣拋物線的開口最大，因為開口向下，所以a的值也最大.類似地，點A經(jīng)過最內(nèi)點(-1，0)，點C落在點D上與點A的水平距離最小，拋物線在x軸上截得的線段最短，頂點離x軸最遠(yuǎn)，這樣拋物線的開口最小，因為開口向下，所以a的值也最小.當(dāng)這兩個極端位置被找到，問題就很好解決了.

結(jié)合以上實例的解答過程，對此類問題的解法總結(jié)為：充分利用題目中所給的具體點的坐標(biāo)和圖像運動過程中的極限位置，巧妙使用數(shù)形結(jié)合，則解題思路就會“撥開云霧”，豁然開朗．

類別5“a”是常數(shù)項，拋物線圖像在某范圍內(nèi)與定直線有兩個交點.

例7設(shè)函數(shù)y=x2-4x+3a+2(其中a為常數(shù)).

1)請寫出二次函數(shù)的3條性質(zhì)；

2)在同一直角坐標(biāo)系中，若該二次函數(shù)的圖像在x≤4的部分與一次函數(shù)y=2x-1的圖像有兩個交點，求a的取值范圍.

(2019年江蘇省南通市數(shù)學(xué)中考試題第26題)

圖7

方法總結(jié)本題是江蘇省南通市數(shù)學(xué)中考試題第26題，其第2)小題屬于壓軸題，對學(xué)生而言是有一定難度的.“二次函數(shù)的圖像在x≤4的部分與一次函數(shù)y=2x-1的圖像(如圖7)有兩個交點”的問題，從知識點考查來看，是屬于函數(shù)與方程及不等式的問題，是二次函數(shù)與方程的解都小于等于4的問題，但若真從這個角度去破題，則其運算及計算難度不是一般的大.其實本題拋物線的開口方向、開口大小以及對稱軸都是定的，不定的是常數(shù)項，它將影響拋物線圖像的上下位置，同時一次函數(shù)的直線圖像又是定的.

消去y得

x2-6x+3a+3=0，

由此可知對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)之重要性，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步感悟和強化它.數(shù)學(xué)結(jié)合對于數(shù)學(xué)問題的解決具有強大的功效，而本題對于這一數(shù)學(xué)思想考查之妙，就是考試者心中有“形”而題中則無圖，最終解題又得依賴圖形直觀輔助思考.

每年此類型的中考試題都會給人以耳目一新之感，深感命題者的功底和用心.但站在學(xué)生角度再看此類問題，實質(zhì)都是一種對自身思維能力的挑戰(zhàn).筆者多年來一直對此類問題給予關(guān)注，通過收集試題類比、歸納和整理，概括出以上5個類別并形成3點破題心得.

1)函數(shù)、方程、不等式有關(guān)系，要在心中常聯(lián)系.

函數(shù)是初中階段“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，也是初中學(xué)生比較難以理解與掌握的數(shù)學(xué)概念之一.課標(biāo)中對其教學(xué)是呈螺旋式上升的，在第三階段的教學(xué)重點就是引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)與方程之間、與不等式(組)之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生打通知識之間的壁壘，真正形成融會貫通之態(tài)[1].當(dāng)a是二次項系數(shù)時，a的正負(fù)決定拋物線開口方向，當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下；a的絕對值決定拋物線開口大小，|a|越大，拋物線開口越?。@時拋物線圖像的不確定，主要是由開口方向與大小的不確定所致，在分類討論之后利用極端位置形成破題思路，化為方程或不等式(組)即可實現(xiàn)變“不確定”為“確定”，從而分散問題的難點使問題獲得解決．

2)數(shù)形結(jié)合要奏效，畫出草圖不可少.

中考試卷中很多類似的二次函數(shù)題都是有“形”無圖題(如例1，4,5,7都如此)，在做題時要求能洞察問題的本質(zhì)，將內(nèi)隱的圖形顯性化.拋物線圖像有其典型的簡潔美和對稱美，圖像的直觀呈現(xiàn)在一定程度上可以誘發(fā)解題思路，再結(jié)合條件把數(shù)、式和圖像結(jié)合起來進(jìn)行思考，相互解釋、相互補充，配上有理有據(jù)地思考和推理，就能形成破題思路.而這種以形助數(shù)、以數(shù)解形的思想，對整個中學(xué)數(shù)學(xué)乃至以后的學(xué)習(xí)，愈發(fā)的重要[2].平時教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生積累一些常見的關(guān)于“a的取值范圍”的類別，尤其是與特殊條件關(guān)系密切的解法模型，致使學(xué)生手中有“數(shù)”，眼中有“形”，心中有“法”.

3)以靜制動能破題，極限位置要找準(zhǔn).

通過對此類中考試題的深入研究，問題的難點是拋物線圖像的位置不確定，而不確定的原因又是“a”的取值是一個范圍，而“a”的取值范圍的求解又得求助于拋物線圖像的位置，看似循環(huán)論證下的無解之境，實質(zhì)在圖形輔助之下，尋找已知的、固定的條件元素，挖掘條件的本質(zhì)(如例1看似方程解的問題，實質(zhì)是函數(shù)圖像與x軸在一定范圍內(nèi)的交點問題；例7看似曲線與直線在一定范圍內(nèi)的交點問題，實質(zhì)是方程與不等式問題等等)，這時就需要借助數(shù)形之間的關(guān)聯(lián)，用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行審視，找到極端位置即是問題的破解之道.在平時的教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生體驗不同思考方式的問題情境，其中用“極限法”思想來作為破解動態(tài)幾何問題的解題策略，也是符合“從特殊到一般”認(rèn)知規(guī)律的，極限位置也是眾多動態(tài)位置中的一種，對極限情況下的研究思路和所得結(jié)果，對一般位置的研究同樣有著積極的輔助作用[3]．

本文例題數(shù)量不多，誠如數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過:“一個專心、認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠用一個有意義但不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域．”此類問題若能教會學(xué)生借助所畫的圖像，挖掘題目中的隱含關(guān)系，用發(fā)展變化的眼光去觀察、研究圖形，抓住極端位置以靜制動，捕捉到此類問題的固定模型，尋找到“數(shù)”與“形”的奇妙聯(lián)系，從而能有效解決“a”的取值范圍問題．