從一道聯(lián)賽預賽題談廣義Prouhet球面的性質*

(惠州市實驗中學，廣東 惠州 516008)

(2019年內蒙古自治區(qū)高中數(shù)學聯(lián)賽預賽試題第9題)

筆者應用向量方法得到了賽題較為簡潔的證法，并由此得到了四面體A1A2A3A4的廣義Prouhet球面的幾個有趣性質.現(xiàn)整理出來與讀者分享，為敘述方便將上述試題記為性質1，即：

由于G是線段OH的中點，從而

代入上式可得

證明由題意可知

而頂點Ai(其中i=1,2,3,4)在球面S(O,R)上，故

因此

因此

綜合性質1～3，可得：

實際上，在性質4中，當四面體A1A2A3A4為垂心四面體時，令點H為其垂心，就得到了如下命題：

這就是1863年法國數(shù)學家Prouhet將三角形的九點圓定理類比推廣到垂心四面體中得到的結論，由此產生了Prouhet球面的概念.