教之道在于“度” 學(xué)之道在于“悟”*

(福州華僑中學(xué)，福建 福州 350004)

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)指出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體[1].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升是一個循序漸進、細雨潤物的系統(tǒng)過程，不是一朝一夕、一蹴而就所能完成的，必須貫徹到高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)的始終，貫徹到數(shù)學(xué)教學(xué)的每一節(jié)課，貫徹到每一個數(shù)學(xué)問題的解決過程之中.課堂是陣地，問題是載體，如何通過問題的解決把培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)落實到位，是當(dāng)今每一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師必須面對和思考的問題.

“教之道在于度，學(xué)之道在于悟”，這是中學(xué)數(shù)學(xué)教育家章建躍博士對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中兩個最關(guān)鍵問題——“教”與“學(xué)”給出的發(fā)人深省的忠告，但是回到中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實踐過程尤其是數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師的教學(xué)“失度”以及學(xué)生的學(xué)習(xí)“被誤”現(xiàn)象仍屢見不鮮，最直接的后果是自然美麗的中學(xué)數(shù)學(xué)在學(xué)生面前呈現(xiàn)得越來越“面目猙獰”，以至于讓學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)產(chǎn)生“恐懼”“無奈”，部分學(xué)生喪失對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心.

下面筆者舉例說明.

案例1方法雖多，思想?yún)T乏.

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數(shù)學(xué)考試中的選擇題是一類非常重要的題型，要求學(xué)生只需選出正確答案，而無需提供具體的解答過程.也正因為這樣的特點，使得選擇題具有很強的考查學(xué)生邏輯思維能力和解決問題能力的功能.

方向1滲透“特殊與一般”與“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

首先根據(jù)已知條件，選取特殊值x=0,y=1，即點(0,1)在圓x2+(y-2)2=1上，從而

亦即

圖1 圖2

方向2滲透“數(shù)形結(jié)合”與“化歸與轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.

本題是一個“解析幾何”問題，文獻[2]給出問題的多種構(gòu)造法解題,但都在尋求與其他相關(guān)知識的綜合，忙于“弦外之音”, 并沒有發(fā)現(xiàn)問題的真正本質(zhì)源于問題本身.由方向1的分析不難發(fā)現(xiàn)以下事實：點P(x0,y0)在圓x2+(y-2)2=1上，從而

所以d∈[1,2],故選B.

案例2本質(zhì)模糊,劍走偏鋒.

(2018年5月江蘇省南通、揚州等7市高三三檢聯(lián)合考試題第14題)

文獻[3]對這道“新穎”的試題進行了詳盡分析.當(dāng)a<0時，顯然函數(shù)

的圖像過第一、二、三象限.當(dāng)a≥0時，y=ax-1(其中x≤0)的圖像僅過第三象限，由題意f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)的圖像過第一象限和第四象限，等價于函數(shù)f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)有兩個零點，于是給出了解決“函數(shù)零點”的3種常用“通法”[3].

分析1(分類討論)

1)當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過3個象限；

2)當(dāng)0≤a≤1時，……；

3)當(dāng)1

綜上可得a>2.

點評分類、分類、再分類,真的很累！

分析2當(dāng)a≥0時，數(shù)形結(jié)合：原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=x3+|x-2|與h(x)=ax的圖像在y軸右側(cè)有兩個交點問題，于是對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)，畫三次函數(shù)的圖像.設(shè)切點(x0,y0)，解二元三次方程組

得x0=1,a=2,因此a>2.

點評求導(dǎo)、畫圖、解高次方程組,真的很難！

分析3(分離參數(shù))當(dāng)a≥0時,在方程x3+|x-2|=ax的兩邊同除以x,得

點評求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求分段函數(shù)的最值、畫分式分段函數(shù)的圖像，真的很繁！

解本題時，文獻[3]先進行調(diào)查，讓學(xué)生大膽說出當(dāng)時的想法以及思路遇到的障礙.“老師，我直接去絕對值討論的(函數(shù)最值法)，好像有點亂，搞暈了，沒做完”“我用的數(shù)形結(jié)合，太緊張了，結(jié)果搞反了”“我想到了分參，但也不怎么確定，沒敢做，時間也不太夠”“我看到這一題時，大腦一片空白，好大一會也沒有任何想法”“對對對，我也是，什么想法也想不到，根本沒有思路”……[3]

學(xué)生想到了做不到，想不到的更做不到，無奈之情一覽無余！因此，教師采取了以下對策：1)通性通法的機械性“植入”，費時費力，放手給學(xué)生才是有效手段；2)淺層次的一題多練事倍功半，階梯式的探究方能修得正果[3].

從上述事實不難發(fā)現(xiàn)，一道經(jīng)過命題專家精心設(shè)計、立意新穎、解法多樣的填空壓軸題，為什么事與愿違，最終變成超高難度、超低效的試題？一所省四星級高中905名學(xué)生中只有37人做對，平均分為0.2,難度系數(shù)為0.04，令人震驚！文獻[3]的作者是一位年富力強的優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師，不僅有深厚的專業(yè)造詣，而且有豐富的教學(xué)經(jīng)驗，面對考試結(jié)果也不得不喟然長嘆：“理想很豐滿，現(xiàn)實很骨感”，所教的學(xué)生雖然經(jīng)過“兩輪復(fù)習(xí)”，但是絕大多數(shù)學(xué)生也未能幸免，仍然是茫然不知所措，望題興嘆，無可奈何……，最后把希望的眼神再次投向教師，于是教師痛定思痛后決定“放手不管”“友情客串”……，以此防止“通性通法‘機械性’植入”，最終提出“淺層次一題多練事倍功半，階梯式訓(xùn)練方能修得正果”！

在“兩輪復(fù)習(xí)”過程中都沒有進行過“階梯式訓(xùn)練”嗎？階梯式訓(xùn)練就是深層次的訓(xùn)練嗎？“放手不管”“友情客串”真的能夠防止通性通法的“機械性”植入嗎？為什么教師辛辛苦苦地教，學(xué)生勤勤懇懇地學(xué)，卻考出凄凄慘慘的分，令人深思，發(fā)人深??！要更好地解決上述問題，筆者認為非常有必要認真學(xué)習(xí)《新課標(biāo)》，不斷更新教育教學(xué)理念，以人為本，以學(xué)定教，關(guān)注學(xué)生的核心素養(yǎng)的提升，不斷提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵能力.在學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的前提下，教師以文獻[3]中的問題為載體，對學(xué)生進行核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

教師要引導(dǎo)學(xué)生分析問題的本質(zhì)是什么？由于f(x)=x(x2-a)+|x-2|(其中x>0)，顯然，無論a是多大的常數(shù)，當(dāng)x取足夠大的正數(shù)時，函數(shù)值一定會大于0，也就是說必過第一象限，這樣問題過不過第四象限成為解決問題的關(guān)鍵.圖像過第四象限就是函數(shù)圖像上有點在第四象限，即在函數(shù)圖像上存在x>0，y<0的點.

通過對問題全面透徹的分析與思考，可以得到解法1:

當(dāng)x≥2時，

故a>2.

雖然通過“直觀感知、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算”，用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言給出問題的正確解答，但是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高不能停留在一般層次，而是要有不斷提高的理念和意識，要從不同側(cè)面對問題的教育價值進行充分提煉.對問題再次進行思考，著重學(xué)生“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)運算”這兩個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的側(cè)面考量，選擇不同的運算途徑，得到解法2：

于是當(dāng)0≤a≤2時,對任意的x>0,f(x)≥0恒成立，即此時圖像不過第四象限，若要使函數(shù)圖像經(jīng)過第一象限和第四象限，則a>2.

點評從上述的分析探究過程不難發(fā)現(xiàn)，例2的數(shù)學(xué)本質(zhì)是分段函數(shù)與不等式的關(guān)系問題，并不是真正的“函數(shù)零點個數(shù)”問題.解決函數(shù)零點問題是學(xué)生應(yīng)該掌握的通性通法問題，通性通法固然重要，但是通性通法并不簡單等同于某種“套路”，見題就套，盲目亂套，這樣不但不能將問題“套牢”，往往是自己被問題“套牢”.真正的通性通法就是要具有數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，然而核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力絕不是某種單一的訓(xùn)練模式所能夠培養(yǎng)和提高的，面對數(shù)學(xué)問題尤其是新問題,教師每每都是好心為學(xué)生提供這樣或那樣的“階梯”進行若干“鋪墊”，這種“甘為人梯”的精神雖然可嘉，但一旦學(xué)生離開課堂這塊特殊的“陣地”，就會遇到諸多的無奈，茫然不知所措，不利于學(xué)生的終身發(fā)展.

2 問題的啟示

作為新課程改革時代的教師，“教什么”和“怎么教”是教師需要面對和思考的問題，教師辛辛苦苦地教，學(xué)生勤勤懇懇地學(xué)，為什么會收效甚微？雖然原因眾多，但最重要的是教師在數(shù)學(xué)問題的解決過程中有沒有關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展、有沒有挖掘問題的本質(zhì)、有沒有從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求出發(fā)從數(shù)學(xué)問題的解決過程中汲取和提煉養(yǎng)分、有沒有提升學(xué)生的核心素養(yǎng)、有沒有提高學(xué)生的關(guān)鍵能力……只有把關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)、提高關(guān)鍵能力作為教學(xué)常態(tài)，才能使教師和學(xué)生雙雙從辛苦和痛苦中解脫出來，返璞歸真，渾然天成.