融合性數學項目課程成為“常態(tài)”的兩條路徑

【摘要】融合性數學項目課程是全景式數學教育的重要落點，在推進該課程的常態(tài)化過程中，主要有基于合生和基于主題的兩大課程融合路徑。其中，合生路徑包括“尋找本質上是數學空間形式”和“尋找與數學互為表里、互相借用的合生項目”，基于“主要題材”“中心思想”和“主要內容”的融合則讓主題性融合成為可能。

【關鍵詞】全景式教育;融合性項目課程;數學教學

【作者簡介】張宏偉，北京市特級教師，北京全景教育研究中心主任，北京新學道金泉書院課程總校長（山西晉中032099）

全景式數學教育是基于國標版教材、跨領域建設的融合性數學項目課程。

多年來，筆者的全景式數學教育團隊致力于推進該課程的常態(tài)化，目前已初步完成整個小學階段六年的系統(tǒng)架構，僅科學與數學的跨學科融合就設計了43個融合性項目課程。我們還初步探索出基于合生（connate）和基于主題（Theme）的兩大課程路徑，分別簡稱為“路徑C”和“路徑T”。

基于合生，尋找合適的融合項目

“路徑c”包括三個子路徑，其中有“尋找本質上是數學空間形式”的合生項目。以數學上的“對稱”概念學習為例，除了與美術、造型藝術融合外，我們還引入了語文上的回文詩和回文聯“冬伴春來春伴冬”“風隨雨灑雨隨風”等，學生很快發(fā)現中間的字就是對稱軸，不管從前往后還是從后往前，讀出的結果都完全一樣，繼而認識到正是數學的對稱造就了回文的獨特之美。

接著，我們用“1”表示第一個字，最后一個字也用“1”來表示，依此類推，“霧鎖山頭山鎖霧”就成了“1234321”。學生立刻就猜想到它叫“回文數”，而且發(fā)現對稱軸4藏著一個大秘密：因為中間數字是4，就用4個1乘4個1（1111×1111），稍加計算會發(fā)現，4個l乘4個1就等于1234321，而且這個算式也對稱，“×”就是對稱軸。

語文課上，孩子們還要學習“對仗”，到時候學生就會明白，語文的對仗其實就是數學的對稱。音樂老師也可以上一節(jié)“對稱課”，讓學生了解對稱在音樂中的重要作用。

至此，學生親身經歷和見證了語、數、音、美4個領域神奇地統(tǒng)一在數學的對稱之中，打通各學科的聯系，感受到數學的價值和魅力。

尋找數學數量關系本質的合生項目。以表內乘法與杠桿原理為例，學生在研究杠桿的過程中發(fā)現，只要找到“積相等”的口訣就能使杠桿平衡。比如：三八二十四，四六也是二十四，所以杠桿左邊的刻度8上掛3個碼，杠桿右邊的刻度6上掛4個碼，就一定平衡。他們感到非常不可思議，不斷地找“口訣”進行實驗。

最后，學生還創(chuàng)造性地發(fā)現了兩邊掛多組碼的規(guī)律：杠桿左邊的刻度5和刻度10兩個地方各掛兩個碼，可以得到5×2+10x2=30;杠桿右邊的刻度4處掛5個碼，刻度10處掛一個碼，可以得到4x5+10x1=30;因為5×2+10x2=4x5+10x1，所以杠桿左右平衡。這實際是在學習和解決“乘加、乘減”問題。

這個項目課程表面是科學，實際是數學。它讓學生認識到數學在科學中的獨特價值，進一步激發(fā)了學生學習數學的興趣和內驅力。

又如數學與音樂的“合生”。在“和音的秘密”一課上，孩子們先通過敲鋼筋編鐘、彈鐵盒上的皮筋等方式找到和音點，探索和音比，然后找出標準的和音比，依此讓學生現場用皮盒子創(chuàng)作和音，現場演奏。

這是一個非常典型的合生項目課程，而不是音樂與數學的簡單疊加。項目課程表面上是創(chuàng)作和音，實際上是學“按比例分配”。因為，學生要想造出美妙的和音，就必須學會把皮筋正確分配，和音必須依附數學而生，數學無形地融在好玩的“非數學”活動之中，讓數學從目的真正轉變?yōu)楣ぞ摺?/p>

尋找與數學互為表里、互相借用的合生項目，又分為兩種類型：以“文”繹“數”和以“數”毓“文”。

以“文”繹“數”，是通過追溯數學概念名稱、語法的構造邏輯，進一步理解數學概念。比如學習分數的時候，分數2/3的讀法“三分之二”其實就是古漢語。我引導孩子們這樣追溯：先解“三分”?！叭帧逼鋵嵕褪恰胺秩?，就是（平均）分成三份的意思;再解“之”，查出它的本意“出，生出”?！叭种本C合起來就是：平均分成三份后，從中生出（取出）二份;之的“生出”之意，揭示了“分子、分母”的名稱由來——類比人“子為母生”，幫助學生進一步理解了分數的意義，又感悟到了背后的中國文化。

而以“數”毓“文”，指的是數學也會產生和毓養(yǎng)語文的一些字詞、短語、句子、文化。

比如，學習長度單位時，我設計了融合實踐、調查、制作的活動項目課程。先讓孩子“以身為尺，測量萬物”，之后學生查到：古代把中等男子的身高定為“一丈”，因此男人稱為丈夫。古代男人_柞是一尺，尺就是柞的象形字。古代還規(guī)定，女人的一柞是一咫，咫尺只差一指左右，所以“咫尺之間”形容很短、很近的距離。古代稱寸，把一寸分成10份得一分，再把一分分成10份得一厘，再把一厘分成10份得一毫，再把一毫分成10份得一絲，再把一絲分成10份就得到一忽，這正是“絲毫不差”和“忽然”兩詞意思的來源。然后讓學生制作古代之尺、今天之尺，暢想設計未來之尺……穿越古今，打通中外，讓孩子對“尺”的認識更為豐富、全面和完整。

基于主題，融合打通大學科

“路徑T”同樣分為多個子路徑。

首先是基于“主要題材”融合。比如2016年11月初，我校二年級啟動的以“瓜果”為主要題材的融合性項目課程。

語文課上學習與瓜果有關的童謠、字詞、童話、繪本等;科學課上學習南瓜的結構、種類和分布等;美術、手工、英語課聯手舉辦萬圣節(jié)活動，學習畫水果、雕刻南瓜燈;音樂、體育課，唱南瓜歌，跳南瓜舞，舉辦瓜果運動會;綜合實踐課上“我為瓜果代言”，每人代言一種瓜果，完整地介紹瓜果的各種情況;最后家?；樱e辦親子活動‘（瓜果美食節(jié)”。

而數學學科在其中承擔研究的內容是：測量——了解南瓜的重量、粗細、長短，學習“測量”和“化曲為直”“化直為曲”的思想;統(tǒng)計—了解金瓜的瓣數、瓜子的數量;認識1000以內的數。先讓學生估計一個南瓜的瓜子數量，然后每個孩子親自數，數到近1/3時，讓學生第二次估計，瓜子數量數完后進行對照;最后讓孩子找一個最大的南瓜，同時買一斤南瓜子，估計買來的一斤南瓜子需要“犧牲”多少個南瓜，進一步鞏固對數的認識，培養(yǎng)學生的數感。

在這個以“瓜果”為主要題材的主題學習中，各學科從不同維度共同支撐瓜果的研究，實現了對瓜果全面、完整的認識。如此學習下去，每個孩子對事物的認識更加完整，對世界的認識更為豐富，對自己的認識也就更為深刻了。

其次是基于“中心思想”的融合。中心思想主要指“數學思想”或者是超越數學的一般思想和方法。如“多邊形的面積”單元，主要學習平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導，其中心思想是轉化。我們就以轉化為核心來融合，設計了一個多學科聯動的“轉化項目課程”。

語文學習小古文《曹沖稱象》，把大象轉化成小石頭;科學學習定滑輪轉化用力的方向、動滑輪轉化用力的大小;體育玩轉化“捆綁游戲”（要約束他物，先約束自己）;英語學習“酋長的繼承人”，講的是“把比誰的駱駝跑得慢轉化為比誰的駱駝跑得快”的故事。

在這個融合項目課程中，多個領域都圍繞“轉化”展開，達成了讓學生對化歸思想全面、持續(xù)、深刻感悟的教學目標。

最后是基于“主要內容”的融合。這里的內容指數學內容。如：三年級認識分數的主要內容是“分數的意義”，我們就以分數的意義為核心，多學科聯動，把音樂、美術、英語融合進來，形成獨特的“分數之用項目課程”。

前文分析了2/3的中文讀法，而2/3的英語讀法有兩種（“two thirds”或“two over three”），教師可以引導學生借助在線翻譯研究它的構造邏輯：第一種讀法“two thirds”中的“thirds”不是第三，而是“1/3”?！皌wothirds”就是2個“1/3”，這是在學習分數的單位和組成;第二種讀法“two over three”中，over是“在……上面”，表示“2寫在3的上面”，是學分數的寫法。

以上的中英文讀法互補，分別從意義、組成、寫法三個方面演繹了分數，加深了學生對分數的認識，拓寬了對東西方不同文化的認識。

該項目課程還可以繼續(xù)拓展：美術學習人體簡筆畫，畫胎兒的頭部要占身體的1/2，而成人的頭部約占1/8，嬰兒的頭部約占1/4;音樂，通過畫、聽、彈、唱等認識、表現二分音符、四分音符……這樣一來，數學學習不再只是脖子以上的學問，孩子們以實驗的方式具身地學習數學。語、數、英、科、音、美協同，讓學生充分、全景地理解分數的意義。

其實，除了上述三種主題式融合之外，我們還可以基于大概念，基于普遍公理、客觀規(guī)律，基于核心素養(yǎng)、核心能力、情意目標、生活內容等主題進行長線融合。

在這些融合性課程中，數學的學科本質淡化了嗎？非但沒有，反而讓數學的本質，特別是數學學習的意義和價值更加凸顯，也更有利于學生從不同的領域，以不同的方式和自己最擅長的學科視角，多維、全景、完整地學習和認識數學。

在解決真實的問題中學習，是學習真實的數學，真實地學習數學。這些跨領域項目鮮活、生動、有趣，能很好地豐沛學生的學習情感，拓寬視野，豐厚智力背景，提高學生綜合解決問題的能力，涵養(yǎng)學生多方面的素養(yǎng)，更有利于促進學生成長為全面完整發(fā)展的人。

目前，很多教師依然認為數學能夠與其他領域融合的內容只是個例，大部分內容很難融合，甚至根本找不到實現融合的路徑。我們認為不然，小學數學屬于應用數學范疇，所有小學數學內容與非數學領域都有著千絲萬縷的聯系，因此大都能找到融合路徑。正如馬克思所說：世界萬物都是聯系的，并且這種聯系是客觀的、多樣的、普遍的。數學亦然！

責任編輯 施久銘 魏倩