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    弱不可約嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣的表征及應(yīng)用

    2019-10-16 11:21:48
    關(guān)鍵詞:記作綜上充分性

    邢 峰

    1 引言與定義

    利用矩陣的對角占優(yōu)性給出非奇異H-矩陣的判定是許多學(xué)者關(guān)注的問題,文獻(xiàn)[2]-[4]給出了利用Ostrowski定理及連對角占優(yōu)性判定非奇異H-矩陣的最新成果,文獻(xiàn)[1]又利用按環(huán)路α-連對角占優(yōu)矩陣的理論,給出了若干判定非奇異H-矩陣的條件,本文繼文獻(xiàn)[1]之后,也是利用按環(huán)路α-連對角占優(yōu)矩陣的理論,給出若干實(shí)用的判定非奇異H-矩陣的新條件,改進(jìn)了以往的某些結(jié)果,并用實(shí)例說明其有效性。

    設(shè)A=(aij)∈Cn×n是n階復(fù)矩陣,N={1,2,…,n},記

    本文用Γ(A)表示A的方向圖,用V(A)表示Γ(A)的頂點(diǎn)集合,用C(A)表示Γ(A)中所有非平凡環(huán)路的集合,并且約定,若Γ(A)的某個(gè)頂點(diǎn)i在環(huán)路v中,則記i∈v

    本文對任意固定α∈[0,1]還記

    VC(A)={i∈V(A)|i∈v∈C(A)}

    定義1[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若V(A)=VC(A),則稱A為弱不可約矩陣,記作A∈WI

    定義2[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n∩WI,若對某α∈[0,1]有C(A)=JC(A),則稱為弱不可約嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣,記作:A∈WDα

    定義3[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若|aii|>Pi(?i∈N),則稱A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,記作A∈D;若存在正對角矩陣X,使AX∈D,則稱A為非奇異H-矩陣。記作A∈H。.

    當(dāng)A=(aij)∈Cn×n時(shí),記

    則有C(A)=N1∪N2∪N3∪N4∪N5∪N6

    為書寫方便,本文特約定

    則知αi>1;βi>1;xj>1;yj>1。

    2 基本結(jié)果

    引理1[1]設(shè)A=(aij)n×n∈WDα,則A∈H。

    定理1 設(shè)A=(aij)n×n∩WI,則A∈WDα的充分必要條件為N6=φ,且?vi∈N1,?vj∈N2有

    logαiβiβi+logxjyjyj<1 ,

    (1)

    證明 充分性,由(1)式得 logxjyjyj<1-logαiβiβi,

    因?yàn)棣羒>1,βi>1,則αiβi>βi,由此知0

    則知存在充分小的正數(shù)ε,使0

    logxjyjyj<1-(logαiβiβi+ε),

    (2)

    令α=logαiβiβi+ε,知0<α<1,且有

    α>logαiβiβi,

    (3)

    再由(2)式又有 logxjyjyj<1-α

    綜上,再由N6=φ知A∈WDα。

    必要性,若A∈WDα,則易見N6=φ,且由?vi∈N1

    由此得

    logαiβiβi

    (4)

    由此得

    logxjyjyj

    (5)

    把(4)和(5)式兩端分別相加即得(1)式。

    推論1 設(shè)A=(aij)n×n∩WI,則A∈WDα的充分必要條件為N6=φ,且?vi∈N1,?vj∈N2有 logαiβiαi+logxjyjxj<1

    證明 因?yàn)?vi∈N1,?vj∈N2有以下等式成立

    logαiβiαi+logαiβiβi=1 logxjyjxj+logxjyjyj=1

    則知logαiβiαi+logxjyjxj<1的充分必要條件為logαiβiβi+logxjyjyj<1

    則根據(jù)定理1知結(jié)論成立。

    定理2 設(shè)A=(aij)n×n∩WI,N6=φ,若?vi∈N1,?vj∈N2有

    logαiβiβi+logxjyjyj<1,則A∈H.

    證明 由定理1的充分性知A∈WDα,再由引理1知A∈H.

    推論2 設(shè)A=(aij)n×n∩WI,N6=φ,若?vi∈N1,?vj∈N2有 logαiβiαi+logxjyjxj<1 則A∈H。

    證明 由推論1知A∈WDα,再由引理1知A∈H。

    定理3 設(shè)A=(aij)n×n∩WI,若N1∪N6=φ,則A∈H。

    證明 若N2≠φ,因?yàn)?vj∈N2,有xj>1;yj>1

    則xjyj>xj,故0

    (xjyj)α<(xjyj)logxjyjxj=xj

    綜上知A∈WDα。

    若N2=φ,則知C(A)=N3∪N4∪N5,自然有A∈WDα,則A∈H。

    定理4 設(shè)A=(aij)n×n∩WI,若N2∪N6=φ,則A∈H。

    證明 若N1≠φ,因?yàn)?vi∈N1,有αi>1;βi>1,則αiβi>βi,故0(αiβi)logαiβiβi=βi

    綜上知A∈WDα.。

    若N1=φ,則知C(A)=N3∪N4∪N5,自然有A∈WDα,則A∈H。

    3 數(shù)值實(shí)例

    這里|a11|=3,|a22|=2.5,|a33|=2;P1=3,P2=2.5,P3=1.5;R1=3,R2=1.5,R3=2.5

    綜上知A∈WDα,則由引理1知A∈H。

    但文獻(xiàn)[1-5]中的一些主要定理卻不能判定A是非奇異H-矩陣。

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