一道三角高考填空題的解法賞析

福建省三明市將樂縣水南中學(xué) (365300) 羅繼淼

一、原題呈現(xiàn)

(2018年江蘇卷第13題)在ΔABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為.

二、試題解析

分析：首先尋求a和c的關(guān)系，再運用均值不等式或判別式法求解.

解法1(等面積法)：如圖1，∵SΔABC=SΔABD+SΔBCD，

圖2

解法5(坐標法)：如圖2，以B為原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系xoy.易求B(0,0),C(a,0),

又A,D,C三點共線，故kAC=kDC.又kAC=

證明：如圖3，如果三點共線，那么SΔPAB=SΔPAC

圖3

圖4

解法7(幾何法)：

后續(xù)解法：此題若能求出a和c的關(guān)系式a+c=ac，則接下來求4a+c的最大值也是有多種方法進行求解的.即有如下解法：

解法3：a+c=ac?(a-1)(c-1)=1，則

4a+c=4(a-1)+(c-1)+5≥