教學(xué)實(shí)錄與點(diǎn)評：點(diǎn)到直線的距離 *

江蘇省睢寧縣第一中學(xué) (221200) 潘云超 武瑞雪

1.教材分析

點(diǎn)到直線的距離公式是解析幾何中的一個(gè)基本公式，具有廣泛的應(yīng)用，此公式可以看作兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，由它還可以得到兩條平行直線之間的距離，在解析幾何的知識(shí)體系中處于承上啟下的地位.

教學(xué)目標(biāo)：(1)通過點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)，滲透類比、化歸的思想，并使學(xué)生進(jìn)一步了解用代數(shù)方法研究幾何問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的精神.(2)掌握點(diǎn)到直線的距離公式，能運(yùn)用它解決一些簡單問題.(3)滲透數(shù)形結(jié)合的思想，對學(xué)生進(jìn)行對立統(tǒng)一觀點(diǎn)的教育.

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)求點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離.

教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo).

2.教學(xué)實(shí)錄與點(diǎn)評

在我市舉行的一次青年教師的優(yōu)質(zhì)課評比活動(dòng)中，其中一位教師A對《點(diǎn)到直線的距離》這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施給筆者留下了深刻的印象，現(xiàn)實(shí)錄與點(diǎn)評如下，以期與同行探討.所用教材為現(xiàn)行蘇教版，課前布置學(xué)生在“導(dǎo)學(xué)案”引導(dǎo)下閱讀教材，本節(jié)課是“點(diǎn)到直線的距離”第一課時(shí).

2.1 問題情境

問題1 (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=；

(2)當(dāng)A(x1，0)，B(x2，0)時(shí)，則AB=；

(3)當(dāng)A(0，y1)，B(0，y2)時(shí)，則AB=.

點(diǎn)評：先復(fù)習(xí)兩點(diǎn)間距離公式，以此作為新知識(shí)的生長點(diǎn)，自然引出需要解決的新課題“點(diǎn)到直線的距離”.

問題2 什么叫點(diǎn)到直線的距離？如何求圖1中原點(diǎn)O到直線AB：3x-4y-12=0的距離？

圖1

根據(jù)課前批改導(dǎo)學(xué)案所了解到的情況，教師分別讓生1、生2說出其求解思路.

生1：(教師按生1思路板書)求OH長度求直線AB與直線OH的交點(diǎn)H的坐標(biāo)求直線OH的方程求kOH求kAB.

師：生1的解法，思路自然、清晰，大部分學(xué)生都容易想到，但此法計(jì)算量較大；生2的解法，思路簡捷，步驟少.

點(diǎn)評：高效率的課堂教學(xué)，源于高質(zhì)量的課前備課和充分的課前預(yù)設(shè).在課前，教師就預(yù)估到學(xué)生可能有的一些解法，故制作課件時(shí)，就將生1、生2的解法編制在課件上了，生1、生2口答完后，教師直接播放課件，節(jié)省了板書時(shí)間，提高了教學(xué)效率.

圖2

問題3 如圖2，求點(diǎn)D(2，4)到直線AB：5x+4y-7=0的距離.

教師課前批改導(dǎo)學(xué)案，了解到大部分學(xué)生都采用生3的思路.

生3：求DE長度求直線AB與直線DE的交點(diǎn)E的坐標(biāo)求直線DE的方程求kDE求kAB.

師：先用多媒體展臺(tái)展出生3的解答過程，然后詢問學(xué)生，有沒有類似生2的求解思路呢？

師：結(jié)合圖形，用等面積法，將“求點(diǎn)到直線的距離問題”轉(zhuǎn)化為“求直角三角形斜邊上的高”的問題，縮小了運(yùn)算量，并用多媒體展臺(tái)展示生4的完整解答過程，并給予點(diǎn)撥.

點(diǎn)評：教學(xué)實(shí)踐證明，對于學(xué)生不易想到的思路或解法，讓學(xué)生盲目地去嘗試，只會(huì)耽誤學(xué)生的時(shí)間，影響教學(xué)效率.因?yàn)橛袉栴}2的鋪墊和啟發(fā)，學(xué)生很自然地想到“等面積法”，通過對比，生4的解法比生3的解法更簡捷.

問題4 若P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(AB≠0)，如何用點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線l方程中的參數(shù)A，B，C來表示點(diǎn)P到直線l的距離？

生5：(因?yàn)閱栴}2、問題3的解決為問題4的解決指明了方向，生5順利說出用“等面積法”推導(dǎo)公式的過程).

師：用PPT顯示用“等面積法”推導(dǎo)公式的完整過程.

點(diǎn)評：教材上在運(yùn)用“等面積法”推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，直接過點(diǎn)P作x、y軸的平行線(或垂線)構(gòu)造直角三角形，沒有展現(xiàn)思維過程，顯得唐突，學(xué)生很難理解、領(lǐng)悟.上述問題串的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生順利地突破了這個(gè)難點(diǎn)：問題1到問題2，由熟悉到不熟悉；問題2到問題3，由易到難，但解決的方法可以類比、遷移；問題3到問題4，由特殊到一般，解決的方法仍然可以類比、遷移，有效地防止了學(xué)生思維不暢的情況發(fā)生.

問題5 當(dāng)直線l的方程Ax+By+C=0中的A=0或B=0時(shí)，公式是否成立？

對于此問，教師沒有越俎代庖，而是放手讓學(xué)生獨(dú)立探究、討論，最后教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形，驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.

點(diǎn)評：由問題4到問題5，由一般到特殊，教師沒有直接告知學(xué)生此時(shí)公式是否仍然成立，而是給足學(xué)生時(shí)間，讓學(xué)生自己驗(yàn)證，最后教師畫圖形解釋、補(bǔ)充.

2.2 數(shù)學(xué)理論

強(qiáng)調(diào)：公式的結(jié)構(gòu)特征：分子是將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程等號(hào)左邊的式子后再取絕對值的結(jié)果，分母則是直線方程中x，y系數(shù)的平方和的算術(shù)平方根.

2.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用(例題或練習(xí))

例1 求點(diǎn)P(-1，2)到下列直線的距離：

(1)2x+y=10；(2)3x=2.

生5：板演(略).

變式1 (課本第105頁習(xí)題2.1(3)中第6題改編)

(1)點(diǎn)P是直線2x+y-4=0上任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求OP的最小值．

(2)點(diǎn)P是直線2x+y-4=0(x≥0，y≥0)上任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求OP的范圍．

點(diǎn)評：通過例1及變式1，鞏固點(diǎn)到直線的距離公式.通過例1，讓學(xué)生明確公式什么時(shí)候可以直接使用，什么時(shí)候需要轉(zhuǎn)化才能使用，什么時(shí)候能用也不用，突出本節(jié)課的重點(diǎn)；通過“一題多變”和“一題多解”培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和發(fā)散性，并滲透函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想.

例2 求兩條平行直線3x-4y+8=0，3x-4y-2=0之間的距離.

點(diǎn)評：兩條平行直線之間的距離，可轉(zhuǎn)化為一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的距離，滲透化歸思想.

變式2 若直線l1：Ax+By+C1=0 ，l2：Ax+By+C2=0，C1≠C2，求這兩條直線之間的距離.

點(diǎn)評：由例2到變式2，由特殊到一般，解決方法可類比遷移.

變式3 求下列兩條平行直線之間的距離：

(1)2x-y=0，2x-y+5=0；

(2)x+2y-3=0，2x+4y-5=0．

點(diǎn)評：鞏固兩條平行直線之間的距離公式.

2.4 當(dāng)堂檢測

2.已知直線l經(jīng)過直線l1:2x+y-5=0與l2:x-2y=0的交點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)A(5，0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點(diǎn)A(5，0)到l的距離的最大值．

點(diǎn)評：第1題與第2(1)題均為易錯(cuò)題，分別易忽視“在兩坐標(biāo)軸上截距均為0”和“直線l的斜率不存在”的特殊情況，選用這兩題，故意設(shè)置陷阱，利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性.第2(2)題，通過畫圖，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A(5，0)到l的距離的最大值就是l1與l2的交點(diǎn)P與點(diǎn)A之間的距離，滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

2.5 課堂小結(jié)

(放手讓學(xué)生總結(jié)，然后教師補(bǔ)充，略)

2.6 布置作業(yè)

必做題：課本105-106頁習(xí)題2.1(3)：7，9，11，12.

選做題：1.(課本第105例3改編)請按以下指定的三種方法證明：等腰三角形ABC底邊BC上任意一點(diǎn)P到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

方法一(幾何法)：利用初中所學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)證明；

方法二(坐標(biāo)法)：以等腰三角形底邊所在直線為x軸，底邊上的高所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，然后利用點(diǎn)到直線距離公式證明；

方法三(坐標(biāo)法)：以等腰三角形底邊所在直線為x軸，以底邊的一個(gè)端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，然后利用點(diǎn)到直線距離公式證明.

2.課本106頁習(xí)題2.1(3)：T13—T21

點(diǎn)評：(1)做作業(yè)，可幫助學(xué)生鞏固所學(xué).作業(yè)布置分必做、選做兩部分，由易到難循序漸進(jìn)，讓不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展.

(2)“坐標(biāo)法”不是本節(jié)課的重點(diǎn)，故本節(jié)課沒有處理課本上第104頁的例3，而是將其改編為作業(yè)中選做題的第1題，為下一課時(shí)(習(xí)題課)做充分準(zhǔn)備.此題要求一題多法，目的是培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，且通過方法二與方法三的比較，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)建立坐標(biāo)系是將“幾何問題”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)問題”的基礎(chǔ)，而合理建系可以減少運(yùn)算量.

3.總點(diǎn)評

3.1 優(yōu)點(diǎn)

(1)教學(xué)流程清晰有條理

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，由淺入深，由特殊到一般，由具體到抽象，利用類比、歸納的方法，親歷“點(diǎn)到直線的距離公式”發(fā)生、發(fā)展、建構(gòu)、運(yùn)用的全過程，充分體現(xiàn)“以學(xué)生的發(fā)展為中心”的教育理念.

(2)重視信息技術(shù)的使用

借助PPT和展臺(tái)的直觀演示輔助教學(xué)，節(jié)省教師板書時(shí)間和學(xué)生抄題時(shí)間，提高了課堂容量和教學(xué)效率.

(3)靈活地選用教材上的例題、習(xí)題

能根據(jù)學(xué)情，靈活選用或改編教材上的例題、習(xí)題，做到“尊重教材，而不囿于教材”.

(4)順利突破教學(xué)難點(diǎn)

點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點(diǎn).該教師根據(jù)學(xué)情，化整為零，化難為易，設(shè)計(jì)問題串，而且每個(gè)問題都處在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，利于學(xué)生理解、領(lǐng)悟，順利突破難點(diǎn).

3.2 不足

(1)教師對“當(dāng)堂檢測”情況點(diǎn)評后，沒有留給學(xué)生足夠的時(shí)間整理、記錄易錯(cuò)題，這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生再遇類似題目時(shí)，出現(xiàn)“課堂上聽得懂，課后又不會(huì)做或老錯(cuò)誤重犯”的現(xiàn)象.

(2)對于回答錯(cuò)誤的學(xué)生，教師沒有給予必要的鼓舞，讓這些學(xué)生多了挫敗感.教學(xué)實(shí)踐表明，當(dāng)學(xué)生答錯(cuò)時(shí)，教師若說“你再細(xì)心一點(diǎn)，也許就能做對了”“沒關(guān)系，坐下再想想”等，能讓學(xué)生少些挫敗感，多些成就感，增強(qiáng)自信心.