破解“重復運算”問題的若干策略

□吳志鵬

（福建省德化第一中學，福建德化 362500）

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.通過高中數學課程的學習，學生能進一步發(fā)展數學運算能力，有效借助運算方法解決實際問題，通過運算促進數學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神．數學問題的設計過程中，也經常會出現“在同一道題中，有多個同類型的運算對象，運算方法也相同的‘重復運算'”問題，那么在解題的過程中，就要經過兩次或者更多次用同一種方法進行解答問題，浪費了時間，解題效率也會大大降低.那么怎樣才能有效解決這類問題呢？筆者針對“重復運算”問題進行研究，發(fā)現可以利用以下幾種策略減少運算次數，節(jié)約運算時間．

一、先求后補 提高運算效率

例1（2011年天津高考文科數學第8題）對實數a和b，定義運算“設函數f(x)=(x2-2)?（x-1），x∈R.若函數y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是（ ）

解：由題意得：

則f(x)的圖象如圖1所示：

圖1

∵函數y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點，

即函數y=f(x)與y=c的圖象有兩個交點，由圖象可得-2＜c≤ -1，或1＜c≤ 2.

變式（2019年全國卷Ⅲ理科數學第20題節(jié)選）已知函數f(x)=2x3-ax2+b.討論f(x)的單調性.

解析：f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)．

令f′(x)=0，得x=0或

若a＞0，則當時，；當時．故f(x)在單調遞增，在單調遞減；

若a=0，f(x)在(-∞，+∞)單調遞增；

若a＜0，則當時，；當時．故f(x)在單調遞增，在單調遞減．

評析例1在分段函數“段”的處理過程中通過計算獲得x2-2-(x-1)≤1得-1≤x≤2，此時若再求解x2-2-(x-1)＞1得結論：x＜-1或x＞2，必然浪費了時間.此時只需根據分段函數的定義域為R，分段函數在分段時各段的范圍既不重復也不遺漏，可知各段的范圍互為補集關系，由此分段時我們只需求解不等式x2-2-(x-1)≤1得-1≤x≤2，再求其補集得另一段的范圍x＜-1或x＞2.這類例題比較多見，常出現在分類討論時，如2019年全國卷Ⅲ理科數學第20題，討論函數的單調區(qū)間也是如此，通過某個分類標準所確定的參數范圍通常具有在某個區(qū)間內具有互補的特征，這樣我們就可以利用補集的思想求解參數的討論范圍，而不必多次求解，提高運算效率，也減少了運算所需的時間.

二、正難則反 降低思維難度

例2男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人.選派5人外出比賽，隊長中至少有1人參加，有多少種選派方法？

解：方法一（直接法）

方法二（間接法）

變式（2019年江蘇高考第6題）從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是__．（答案）A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則的最小值為（ ）

評析有些排列組合問題，由于利用直接法需要分多種情況（這些情況相類似）進行討論、解決與運算，不僅思維量增加了，計算量也同步增加，計算的失誤率變得更高，有時如能進行反向思考、求解，則所求問題的情況減少了，這樣不僅減少解題過程的思維量，更減少了計算量，對于獲得正確的解題結果是很有幫助的．

三、整體替換 減少運算次數

例3（2017年課標卷Ⅰ理科數學第10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于

A.16 B.14 C.12 D.10

解 析 ：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4),直線l1的方程為：y=k1(x-1)，聯立方程得k12x2-2k12x-

根據題意，直線l1與直線l2互相垂直且斜率存在，所以有

當且僅當k1=±1時取等號．

評析由于求弦長與|的方法同一，所以在解題過程中不要再一次進行求解，只需遷移求弦長| |AB的結論，將斜率用代入即可求得弦長| |CD，這樣就能減少求解弦長運算次數，節(jié)約計算的時間.對于這類兩條斜率相關或傾斜角相關的直線與圓錐曲線相交的問題，我們常?？上扰迤渲幸粭l直線與圓錐曲線的數量關系，再利用兩直線的斜率關系進行代換，這樣就能大大減少解題過程的運算量．

例4（2019年全國理科Ⅰ卷第19題）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．

所以l的方程為

所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2，故y2=-1，y1=3．

代入C的方程得

評析本題第（2）小題解法一為再次聯立直線與拋物線方程進行消元獲得根與系數的關系，用同一方法算兩次，計算量增加了，此時若能根據直線x，y的聯系，即，把y用含有x的整體進行代換，即可輕而易舉地求得交點坐標，得到結論.顯然第二種解法，解方程組運算的次數減少了，運算量也降低了．

四、先找后算 規(guī)范運算順序

例5求直線l1:2x+y-4=0關于直線l:3x+4y-1=0的對稱直線l2的方程？

解：直線l1:2x+y-4=0與直線l:3x+4y-1=0的交點為B(3，-2)，

在直線l1:2x+y-4=0取一點A(2，0)，設點A關于直線l:3x+4y-1=0的對稱點為A′(x0，y0)，則有

則直線l1:2x+y-4=0關于l:3x+4y-1=0 的 對 稱 直 線 為即

評析本題求直線l1關于直線l的對稱直線，只需在直線l1上任意找到兩個點，并求其關于直線l的對稱點，連接兩個對稱點求其直線方程即可，如果兩次去求l1的點關于直線l的對稱點，計算的方法是一樣的，但計算量明顯加大了，這時如能找到l1與l的交點，這一點同樣也是對稱直線與l的交點，這樣求對稱直線的方程也就簡便了許多，計算量也減少了，因此規(guī)范運算順序也能節(jié)約運算的時間．

例6（2019年北京高考理科數學第16題）如圖2，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且

（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F-AE-P的余弦值；

（Ⅲ）設點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由．

圖2

解析：（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，則PA⊥CD，

由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，

由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.

（Ⅱ）以點A為坐標原點，平面ABCD內與AD垂直的直線為x軸，AD，AP方向為y軸，z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標系A-xyz，

圖3

由于平面AEP與平面YOZ重合，可得到平面AEP的一個法向量n=(1，0，0 )，

易知：

設平面AEF的法向量為：m=(x，y，z) ，則

據此可得平面AEF的一個法向量為：m=(1，1，-1 )，

二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角FAE-P的余弦值為

注意到平面AEF的一個法向量為：m=(1，1，-1) ，

m·且點A在平面AEF內，故直線AG在平面AEF內.

評析本題第（Ⅱ）小題要求兩個平面的法向量，如果兩次去求平面的法向量，雖然可行，但運算量卻增加了，所以在解題時，我們應先觀察，判斷是否有與平面垂直的直線，如有則其方向向量為平面的一個法向量，這樣我們就可以省去求一個平面法向量的時間，有效減少運算量，因此在運算過程中，如能規(guī)范運算的順序則能節(jié)約運算時間，免除算兩次的不必要．

五、簡化結構 優(yōu)化運算環(huán)境

例7已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點，求橢圓的方程．

解析：（1）若焦點在x軸上，設方程為

（2）若焦點在y軸上，設方程為

此時若能設橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞ 0，n＞ 0，m≠n)．

變式（2019年浙江高考第2題）漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是（ ）（答案C）

評析由于例7不清楚橢圓的焦點在x軸或y軸上，而要進行分類討論，這樣在運算的過程中就要計算兩次才能獲得結論，造成運算效率低下，如能利用圓錐曲線的統(tǒng)一形式對橢圓進行假設，就能簡化方程的結構，優(yōu)化運算的環(huán)境，減少運算次數，也有利于計算.變式問題如若設雙曲線的方程為mx2-ny2=1(mn＞0)，再利用其漸近線方程為x±y=0，可避開對焦點在x軸和焦點在y軸兩類雙曲線情況的討論，同樣也能優(yōu)化運算的環(huán)境，減少運算次數，便于計算．

總之，數學運算量的控制是與運算的思路、運算方法、運算途徑的選擇等密切相關的，教師只有在教學中不斷幫助學生樹立運算量控制的意識，降低運算難度，減少運算次數，使得學生自信于數學的運算，才能更好地提升學生的運算素養(yǎng) .