高考數(shù)學(xué)解題“隱性失分”舉隅與教學(xué)對(duì)策

□周如俊

（江蘇省灌南中等專業(yè)學(xué)校，江蘇灌南 222500）

數(shù)學(xué)考試中，考生失分的原因是多種多樣的，但是一部分失分具有鮮明的共性——“隱性失分”，在平時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)中卻往往被忽視.所謂“隱性失分”是指解題策略上失誤、思維定式、心理定式等非知識(shí)性因素造成的主要失分[1]，而且解題者有時(shí)難以自我診斷與發(fā)現(xiàn).“隱性失分”在高考解題失分中所占的比例相當(dāng)大，是影響高考數(shù)學(xué)成績(jī)大范圍提高的一個(gè)不可輕視的因素.本文以2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試題為例，對(duì)考生常見(jiàn)“隱性失分”的原因加以分析，并提出相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策.

一、“會(huì)而不對(duì)”——“無(wú)”果的隱性失分

所謂“會(huì)而不對(duì)”，是指考生解答考題時(shí)，常受平時(shí)教學(xué)“巧解”（如“定義法”“特例法”等）刷題訓(xùn)練影響，先入為主，企圖借助“巧法”“直搗黃龍”得分，結(jié)果陷入命題者設(shè)計(jì)的“解不出來(lái)”的“陷阱”之中，造成“會(huì)而不對(duì)”的“隱性”失分后果.

例1（2019年江蘇高考第17題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，橢圓1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）．過(guò)F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1．已知

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖1

【解析】本題主要考查考生推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.

（1）本題部分考生考完后說(shuō)很“悲傷”，究其原因是“先入為主”造成的，試圖想通過(guò)橢圓定義的“巧法”，結(jié)果陷入“會(huì)而不對(duì)”無(wú)法求解的誤區(qū).

設(shè)橢圓C的焦距為2c，則F1F2=2c=2，c=1.

可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)為即

因a2=b2+c2，即b2=a2-1，代入上式（*），化簡(jiǎn)整理得：

對(duì)于方程（**），部分考生因心理緊張，結(jié)果解不出來(lái)，導(dǎo)致第（2）解題也直接失敗，還有部分考生說(shuō)，將方程（**）左邊因式分解，得：12a4-24a3-16a3+32a2+a2-4=0，即有：(a-2)(12a3-16a2+a+2)=0,a-2=0,a=2，但因糾纏于12a3-16a2+a+2=0（***）求解，花費(fèi)大量時(shí)間卻求不出（***）解來(lái)，又陷入后文所述“對(duì)而失時(shí)”——“繁”解的隱性失分誤區(qū).上述解法可能正是命題者設(shè)計(jì)的“請(qǐng)君入甕”——定義法求解的“會(huì)而不對(duì)”的命題“陷阱”.

事實(shí)上，換個(gè)思路，解題“干凈利落”，有“直搗黃龍”得分之效.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解略

【教學(xué)對(duì)策】教學(xué)中（學(xué)習(xí)中）一味追求“巧解”，必然缺乏對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的挖掘和相應(yīng)的訓(xùn)練，從而沖淡和掩蓋了對(duì)基本方法的滲透.一種嚴(yán)重影響就是當(dāng)學(xué)生對(duì)于一類題目一旦了解或掌握了某一個(gè)巧解后，就對(duì)較為復(fù)雜的基本方法產(chǎn)生厭倦心理，也就從根本上阻礙了數(shù)學(xué)基本思想方法的滲透．綜觀近幾年高考數(shù)學(xué)命題，考查考生數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想與“通法”運(yùn)用上，學(xué)生解答高考試題的問(wèn)題還是出在對(duì)常規(guī)方法的掌握上．因此解題教學(xué)中要辯證地看待“通法”與“巧法”[2]，充分發(fā)揮通法和巧法各自的教學(xué)功能，不能“顧彼失此”：首先追求解題通法運(yùn)用，然后通過(guò)“巧思妙想”滲透，尋求一種最美和最簡(jiǎn)捷的證明（解法），激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力．

二、“對(duì)而失時(shí)”——“繁”解的隱性失分

所謂“對(duì)而失時(shí)”，是指考生解答考題時(shí)，常因思維封閉、方法單一，只知道從命題條件順?biāo)浦郏弧巴啤保ㄋ悖┑降?，不善于改變思維角度，修正解題方向，以求得“最佳”方法，節(jié)省時(shí)間和精力，結(jié)果造成“小題大做，小題繁做”，浪費(fèi)了其他大題解題時(shí)間，導(dǎo)致“全而不巧”費(fèi)時(shí)式的隱性失分后果.

例2（2019年江蘇高考第12題）如圖2，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若，則的值是_________.

圖2

【解析】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).考生習(xí)慣運(yùn)用“坐標(biāo)運(yùn)算法”求解，通過(guò)坐標(biāo)法的處理，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，解決向量問(wèn)題.

圖3

解題第一步：坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.如圖3，建立直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的有明確關(guān)系的距離公式運(yùn)算：

解題第二步：關(guān)系探尋.探尋m，n關(guān)系，然后代入（*）求解.探尋向量與向量關(guān)系：通過(guò)向量加減運(yùn)算，將向量轉(zhuǎn)化為向量來(lái)表達(dá)．

由定比分點(diǎn)公式求得E點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線AD方程為，直線EC方程為聯(lián)立直線AD，EC兩方程，求得E點(diǎn)坐標(biāo)為，即O是線段AD中點(diǎn)．

證明結(jié)論“O是線段AD中點(diǎn)”，除了上述“求直線交點(diǎn)法”外，考生有時(shí)還通過(guò)“向量法”小題大做證明：

解題第三步：參數(shù)轉(zhuǎn)換.探究m，n關(guān)系．由知：(-1-m，0-n)·(1-)，化簡(jiǎn)，整理得：n2=-m2+4m-1（**）．

上述解題第二步“關(guān)系探尋”中兩種方法證明“O是線段AD中點(diǎn)”的結(jié)論，有點(diǎn)“小題大做，小題繁做”，陷入命題者設(shè)計(jì)的“對(duì)而失時(shí)”解題誤區(qū)，耽誤了其他試題解答的寶貴時(shí)間，導(dǎo)致“全而不巧”費(fèi)時(shí)式的隱性失分.當(dāng)然，部分考生“看不出”或證明不出“O是線段AD中點(diǎn)”的隱含結(jié)論，此題也就變成了學(xué)生解答的“攔路虎”，甚至學(xué)生花費(fèi)了大量時(shí)間進(jìn)行向量線性變換或坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，也得不出正確答案，此時(shí)解題陷入了后文所述“隱而不發(fā)”——“難”解的隱性失分的誤區(qū).

其實(shí)，解題第二步“關(guān)系探尋”，還可以采用三角形中位線性質(zhì)簡(jiǎn)證“O是線段AD中點(diǎn)”的結(jié)論（如圖4），具有“一眼望穿”求解之效．

圖4

【教學(xué)對(duì)策】高考數(shù)學(xué)選擇題、填空題，主要以能力立意命題，從相當(dāng)難度的角度區(qū)分學(xué)生思維能力的不同層次.一些考生解題方法或策略運(yùn)用不當(dāng)，反映選擇題、填空題難算、耗時(shí).其實(shí)，這都是考生思維層次不高、解題能力不強(qiáng)的表現(xiàn).因此在做選擇題、填空題時(shí)要注重解題方法和解題策略，處理好解題關(guān)系（小題大做，即使做對(duì)了也是隱性失分），優(yōu)化解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)，要把數(shù)、形結(jié)合起來(lái)作直觀判斷，要以數(shù)學(xué)知識(shí)及方法的系統(tǒng)化結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)作整體思維，要對(duì)數(shù)、式、形的結(jié)構(gòu)和關(guān)系進(jìn)行深刻洞察，縱橫聯(lián)系，大膽嘗試、假設(shè)、特殊化，體現(xiàn)為解題過(guò)程簡(jiǎn)捷、迅速.

三、“隱而不發(fā)”——“難”解的隱性失分

所謂“隱而不發(fā)”，是指考生解答考題時(shí)，常因思維定式或思維缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，忽視數(shù)學(xué)試題存在隱含條件（隱含條件是一種在題目中未明確表達(dá)出來(lái)而又客觀存在的條件，是命題者隱藏設(shè)計(jì)在試題中、不太容易發(fā)現(xiàn)的條件，在數(shù)學(xué)試題中具有一定的迷惑性），雖然解題過(guò)程可能完美無(wú)缺，但往往會(huì)產(chǎn)生“條件不足”的感覺(jué)而導(dǎo)致束手無(wú)策，解題難以解答下去，導(dǎo)致“隱而不發(fā)”——“難”解的隱性失分后果.

例3（2019年江蘇高考第14題）設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，f(x)的周期為 4，g(x)的周期為2，且f(x)是奇函數(shù) .當(dāng)x∈(0，2]時(shí)其中k＞0.若在區(qū)間（0，9]上，關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_______.

【解析】本題考點(diǎn)為參數(shù)的取值范圍，側(cè)重函數(shù)方程的多個(gè)實(shí)根，如果不借助“數(shù)形結(jié)合”思想解題，難度較大.不少考生不能利用函數(shù)圖象交點(diǎn)與周期性平移圖象的“兩個(gè)”隱念條件，找出兩個(gè)函數(shù)圖象相切或相交的臨界交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況（無(wú)法確定參數(shù)的取值范圍），結(jié)果導(dǎo)致“隱而不發(fā)”——“難”解的隱性失分誤區(qū).同時(shí)，如果忽視函數(shù)定義域空心問(wèn)題的隱念條件，解題就會(huì)出現(xiàn)“一失足成千古恨”錯(cuò)解的懊惱.

解題思維簡(jiǎn)析如下：

又f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其周期為4，如圖5為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，要使f(x)=g(x)在（0，9]上有8個(gè)實(shí)根，只需二者圖象有8個(gè)交點(diǎn)即可.

圖5

【教學(xué)對(duì)策】隱含條件的挖掘能有效檢驗(yàn)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，高考試題中隱含條件可能隱藏在幾何圖形中（如試題中的字母、變量或關(guān)系式所隱含的幾何圖形的特征和位置關(guān)系），也可能隱藏在數(shù)學(xué)概念定義中（如試題所涉及的基本概念所屬對(duì)象的性質(zhì)，適合的數(shù)學(xué)模型或公式、定理、法則等），還可能隱藏在已知條件的相互聯(lián)系中（如試題題設(shè)中的字母、變量或關(guān)系式所隱含的制約條件和取值范圍）.因此，在平時(shí)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生善于從數(shù)學(xué)概念之中，從公式的使用條件中，從變量的取值范圍中，從題目的結(jié)構(gòu)特征中，從題設(shè)條件的相互制約中，從題設(shè)的不變因素中，從式子的特殊結(jié)構(gòu)中，從數(shù)形結(jié)合中挖掘隱含條件[3]，找到解題突破關(guān)鍵，發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)，找到解題所缺的元素，從而使問(wèn)題迎刃而解.

四、“對(duì)而不全”——“漏”解的隱性失分

所謂“對(duì)而不全”，是指考生解答考題時(shí)，面對(duì)有些數(shù)學(xué)試題題設(shè)或結(jié)論多種可能的情形，常因缺乏分類意識(shí)或思維的片面性，沒(méi)有充分運(yùn)用“化整為零”“積零為整”的思想與歸類整理的方法，解答時(shí)只解出其中一種情形，而忽視了其他可能的情況，導(dǎo)致“對(duì)而不全”，造成“漏”解的隱性失分后果.

例4（2019年江蘇高考第18題）如圖6，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA．規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為AC和BD（C，D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）．

圖6

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；

（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離．

【解析】本題主要考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.第（2）（3）題均需要分類討論求解.不少考生缺乏分類意識(shí)，解答時(shí)分類不完全，導(dǎo)致“對(duì)而不全”，造成“漏”解的隱性失分后果.

解題思維簡(jiǎn)析如下（限于篇幅，解題過(guò)程略）：

（1）建立如圖7所示空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長(zhǎng)；PB=15.

圖7

（2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.

參考答案：P和Q均不能選在D處.

（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離

【教學(xué)對(duì)策】分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法，也是高考數(shù)學(xué)的一種解題思想.分類討論是歷年數(shù)學(xué)高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而且也是高考的一個(gè)難點(diǎn).平時(shí)教學(xué)要加強(qiáng)分類討論的解題思想訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性，以及認(rèn)識(shí)問(wèn)題的全面性和深刻性.一是堅(jiān)持分類討論的“三原則”：分類的“全面性”（全域要確定，分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”）、分類的“標(biāo)準(zhǔn)性”（在同一次分類中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行）、分類的“逐級(jí)性”（對(duì)多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)）.二是熟習(xí)分類討論的常見(jiàn)情形.由概念引起的分類討論；由運(yùn)算要求引起的分類討論；由性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論；由圖形類型、位置引起的分類討論；由參數(shù)變化引起的分類討論[4].三是明確分類討論的步驟.掌握分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，做到不重不漏；逐類討論，獲得階段性結(jié)果；歸納總結(jié)，得出結(jié)論.四是分類討論的關(guān)注點(diǎn).直接回避（如運(yùn)用反證法、求補(bǔ)法、消參法等有時(shí)可以避開(kāi)煩瑣討論）；按主元分類的結(jié)果應(yīng)求并集；按參數(shù)分類的結(jié)果分類討論 .