從兩個乘法公式的教學淺析學生運算素養(yǎng)的培養(yǎng)

□余志淵 張曉斌

（重慶市第一中學校，重慶 400030；重慶市教育科學研究院，重慶 400015）

一、問題的提出

小學數(shù)學計算主要涉及數(shù)的運算，從認識上比較單一具體，進入初中，用字母表示數(shù)，大量的數(shù)學符號出現(xiàn)，學生感到數(shù)學突然變得難以捉摸，難以理解，在小學認為很簡單的運算在初中反而變得很難；另一方面，教師在教學過程中也感覺到，不管自己怎樣細致地講解，耐心地指導(dǎo)，學生在計算上仍然存在很大問題.所以，在日常教學中怎樣培養(yǎng)和提高學生的計算能力，是我們不得不考慮的問題.下面通過具體的教學案例，談?wù)勎覀冊谂囵B(yǎng)和提高學生數(shù)學運算素養(yǎng)方面的一些做法.

二、學生運算錯誤原因分析

搞清楚學生在運算方面存在的問題，是培養(yǎng)和提高學生運算能力的前提.通過對學生的習題錯誤進行分析，主要有以下幾種因素導(dǎo)致學生運算錯誤率較高，運算素養(yǎng)不高.

（一）缺乏對公式的正確認識

我們先來看學生常見的一些錯誤案例.

此錯誤的原因是對平方差公式的結(jié)構(gòu)認識表面化，認為就是用第一項的平方減去第二項的平方，沒有真正認識到是用相同的項的平方減去相反的項的平方.

此錯誤的原因是沒有搞清楚平方差公式適用的條件.

此錯誤的原因是受“積的乘方”公式影響，在定式思維影響下，想當然地造出這個錯誤公式.在平時的教學中這種錯誤出現(xiàn)次數(shù)很多，學生要經(jīng)過多次講解、強調(diào)，反復(fù)練習，才能逐漸消除.

此錯誤的原因是受定式思維的影響，因為在平時的教學中，我們非常強調(diào)負號參與運算時要注意結(jié)果的符號問題，這里學生受這種思維的影響，自然刻意地去想結(jié)果也應(yīng)是負號.

此錯誤的原因是沒有認清公式結(jié)構(gòu)，認為左邊各項系數(shù)都是數(shù)學1，右邊各項系數(shù)也不會有其他數(shù)字出現(xiàn).

以上錯誤充分說明學生對基本概念、公式、法則的認識是非常模糊的，試想學生連公式的基本結(jié)構(gòu)、公式適用的基本條件都沒有搞清楚，錯誤自然難以避免.

（二）缺乏對數(shù)學思想方法的認識

進入七年級的學生，對數(shù)學思想方法的認識很薄弱，基本上不知道有數(shù)學思想方法這一概念，由于不具備基本數(shù)學思想方法作指導(dǎo)，學生在處理一些題目時往往無從下手，即使聽教師講解也難于理解，難以轉(zhuǎn)化成自己的解題經(jīng)驗.下面通過幾個具體的案例來說明.

此錯誤的原因是缺乏整體思想，沒有分別將3x，2y看作是一個整體.

此題學生往往難于下手，最后只有用多項式乘法法則進行運算，但較為煩瑣，利用整體思想，將式子重新組合為[-b+(2a-3c)][-b-(2a-3c)]，再利用平方差公式，運算就非常簡便了.

此題學生往往不會將(2a+b)，(a-2b)分別看作一個整體，再利用完全平方公式得到[(2a+b)-(a-2b)]2，從而簡化運算，而是直接利用乘法公式和乘法法則進行運算.

以上題目，因為學生沒有利用有效的方法將計算簡化，以致運算量過大，導(dǎo)致錯誤率上升.

（三）缺乏較好的運算習慣

通過對學生運算過程的觀察，發(fā)現(xiàn)學生在運算習慣上存在一定問題.

首先，沒有認真審題的習慣，許多學生一拿到題就開始算，沒有認真觀察算式的結(jié)構(gòu)，找出簡便的算法，這樣往往使運算量增大，導(dǎo)致錯誤率上升.

第二，在做題過程中沒有對易錯點進行短暫停頓、進行查誤的習慣，只是一味地繼續(xù)往下面算，往往因為一個環(huán)節(jié)的錯誤導(dǎo)致整個題目的錯誤.

（四）缺乏良好的心理因素

學生數(shù)學運算素養(yǎng)與學生的心理因素有一定關(guān)系，學生心理所呈現(xiàn)的這些特征，往往是有意識的.有時雖然教師指出其錯誤答案，但不知道自己錯誤的真正原因.

第一，定式思維中的消極因素往往影響學生對概念、公式、法則的正確認識，從而導(dǎo)致運算在數(shù)學本源上的錯誤.

第二，缺乏自我評價意識，只要找到一種算法就一直死算下去，而不再考慮算法是否合理、簡捷，往往因運算量大而使錯誤率提高.

第三，受記憶還原影響，當學生對新的知識掌握不扎實，就容易被原來相近的知識所取代，從而造成新舊知識的混淆，對基礎(chǔ)知識的認識模糊，導(dǎo)致運算的錯誤.

三、培養(yǎng)和提高學生數(shù)學運算素養(yǎng)的教學思考

（一）加強對基本概念、公式、法則的教學

培養(yǎng)學生運算素養(yǎng)的首要前提是讓學生準確掌握數(shù)學概念、公式、法則.這些概念、公式、法則有的是運算的依據(jù)，有的是運算的步驟，綜合起來就是運算的行為準則.我們在教學時，應(yīng)該注重公式的推導(dǎo)過程，注重從不同的角度驗證公式，總結(jié)出公式的適用條件，分析公式的結(jié)構(gòu)特點，利用正反例加深對概念、公式的認識，多角度、多側(cè)面地讓學生認識公式.

（二）科學有序地組織學生對公式進行應(yīng)用

我國心理學家馮忠良教授認為，一般心智技能的形成分為三個階段，即活動模式定向階段、活動模式操作階段、活動模式內(nèi)化階段［1］.運算技能的訓練與之對應(yīng)的三個階段是：（1）模仿練習階段：在例題示范下進行練習，所選習題難度不大，變化不大，要求學生直接套用公式，保證結(jié)果的正確性；（2）變式練習階段：在學生初步掌握知識和技能的基礎(chǔ)上組織練習，習題難度適當提高，要求學生在求得正確答案后，對運算的過程、依據(jù)、方法進行總結(jié)與概括，促使操作方式上升到理性水平；（3）綜合練習階段：此時可選擇具有一定難度的綜合題，訓練學生確定運算方向，靈活運用運算法則的能力［2］.

教學實例：“平方差公式”的應(yīng)用，即例題、習題設(shè)計.

通過對“平方差公式”基本結(jié)構(gòu)部分的教學，學生對公式有了一定的認識，接著通過例題和鞏固、變式等練習加深對公式的認識.

此例題是對公式的直接應(yīng)用，起到再次熟悉公式的目的.

例2簡便計算79×81.

此例題是訓練學生思維的靈活性，學生在習慣字母運算的同時，通過這個例題讓學生的思維在字母和數(shù)字之間靈活轉(zhuǎn)換.

變式練習1：計算1002-992+982-972+…+22-12.

以上例題都是對平方差公式的綜合（正向和逆向）應(yīng)用，在難度上逐漸提高，通過例題講解和變式練習，讓學生了解并熟悉這些題目結(jié)構(gòu)，并逐漸掌握解決這些題目的思路和方法.

（三）切實做到練習中的兩個重視

第一，重視練習效果的及時反饋.心理學研究表明，如果對正在進行技能訓練的學生及時提供訓練結(jié)果的反饋信息，如每次練習的得分，練習過程中不斷給予鼓勵，分析練習中出現(xiàn)的錯誤等，練習效果就會顯著提高［3］.因此，在平時的教學中，要及時批改學生作業(yè)；及時講評學生作業(yè)中出現(xiàn)錯誤較多的題目；多與學生交流，了解他們在做題過程中的真實想法，并給予評價和指導(dǎo).

第二，重視學生練習的自我糾錯.建構(gòu)主義學說認為，數(shù)學學習活動是一個以學生已有的知識和經(jīng)驗（已有的認知結(jié)構(gòu)）為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)過程［4］.因此，讓學生經(jīng)歷自我發(fā)現(xiàn)錯誤并且自我改正錯誤的過程，是提高運算能力的必要措施.在平時教學過程中，多讓學生上講臺板書解題過程，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)解題過程中的得與失；嚴格落實學生的改錯過程，采取有效辦法幫助學生糾正錯誤.

（四）使學生養(yǎng)成對知識進行總結(jié)的習慣

在平時的教學過程中，發(fā)現(xiàn)學生普遍缺乏對所學知識進行總結(jié)的習慣.在運算上經(jīng)常出現(xiàn)同樣錯誤反復(fù)出錯的現(xiàn)象；對一些較難題的解答也不穩(wěn)定，前面剛做過，后面遇到又不知道該怎么算了.因此，引導(dǎo)學生將所學知識進行總結(jié)、歸納、反思，是培養(yǎng)和提高學生運算能力的重要方法.

教學實例：“完全平方公式”的復(fù)習總結(jié)教學.

（1）對公式結(jié)構(gòu)的總結(jié)與觀察：

學生在直接用完全平方公式時，若首項系數(shù)為負數(shù)時容易出錯，引導(dǎo)學生認真觀察分析發(fā)現(xiàn)：兩項同號時就用“和”的公式，兩項異號時就用“差”的公式.

（2）對公式推廣的總結(jié)：將兩項和的平方變成三項和的平方，即

學生知道這個公式，在解決如(2a-b+3c)2這類題目時就比較容易了.

（3）與其他公式綜合運用的總結(jié)：如計算(a+b-c)(a-b+c)；(x-y)2(x+y)2.

（4）將a+b，a-b，a2+b2，ab看作整體進行運算的總結(jié)：如已知(x+y)2=9，(x-y)2=5，求xy的值.

將公式整理為 (a±b)2=a2+b2±2ab，(a+b)2-(a-b)2=4ab，根據(jù)已知條件選用不同的公式，就很容易求出答案了.

（5）逆向運用公式的總結(jié)：如計算(2a+b)2-2(2a+b)(a-2b)+(a-2b)2.

（6）配成完全平方式的總結(jié)：如已知x2+y2-2x+4y+5=0，求x，y；又如若x2+16x+k是完全平方式，求k的值.

在對知識進行總結(jié)時，要將知識和平時的練習相結(jié)合，這樣才能使學生對知識的理解更具體，更深刻.

四、結(jié)論和反思

以上探究，經(jīng)過日常教學實踐，取得較好效果，特別是中等水平學生進步明顯，這部分學生數(shù)學運算水平有較大提高，并逐漸養(yǎng)成良好的運算習慣，運算信心得到提升.但是因為數(shù)學運算具有系統(tǒng)性特點，對于運算知識掌握不系統(tǒng)、不熟練的中下水平學生，會因為以前運算方面存在的問題而影響現(xiàn)在的運算正確率.

學生在數(shù)學運算能力方面的不同表現(xiàn)，反映了學生不同的數(shù)學水平，學生在數(shù)學水平上的差異，給我們的教學帶來一定的困難，因此在注重以上提出的方法之外，對不同運算水平的學生給予不同的要求，經(jīng)常鼓勵學生，耐心等待學生的成長，學生的數(shù)學運算素養(yǎng)必定會越來越好 .