復(fù)合材料槳葉結(jié)構(gòu)損傷演化模型

朱旭程，劉 鐵

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001）

直升機前飛時，旋翼槳葉在周期變距和交變氣動載荷的作用下，存在著嚴(yán)重的疲勞現(xiàn)象，槳葉結(jié)構(gòu)損傷是一種危險等級較高的故障，如不及時檢測修復(fù)將導(dǎo)致更加高昂的代價。與金屬材料槳葉相比，復(fù)合材料槳葉具有更優(yōu)越的抗疲勞性能和全壽命周期費用，因此被廣泛應(yīng)用于直升機旋翼[1]。但是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的疲勞損傷特性不像金屬材料那樣具有非常明確的突然失效區(qū)域，金屬材料疲勞破壞主要取決于某條關(guān)鍵裂紋的擴展，而復(fù)合材料卻能容忍大量裂紋存在，各材料成分之間相互影響，某一成分上損傷往往不能產(chǎn)生破壞性的結(jié)果[2]。復(fù)合材料槳葉由于其破壞機理復(fù)雜，疲勞性能分散，影響因素眾多，導(dǎo)致這一領(lǐng)域尚處于研究探索之中。復(fù)合材料力學(xué)主要著眼于研究復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性，而斷裂力學(xué)則主要致力于探索材料失效的機制，在復(fù)合材料的物理損傷變量和宏觀力學(xué)性能之間仍然缺少一座橋。從現(xiàn)有的文獻來看[3-6]，旋翼故障模型大都是用旋翼模型中參數(shù)的增量表示的“Dirac Delta”模型，尚未見有文獻建立旋翼槳葉損傷演化過程的狀態(tài)方程模型，損傷演化狀態(tài)方程有助于損傷的識別與跟蹤，特別是對于那種通過少數(shù)幾次觀測難以判斷的故障類型，往往更需要一種以狀態(tài)方程形式表示的損傷演化模型來持續(xù)跟蹤監(jiān)測損傷的發(fā)展程度。

鑒于此，本文將從斷裂能的角度出發(fā)，構(gòu)建基體裂紋密度、纖維斷裂面積與復(fù)合材料屬性參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。首先，參考PAN基碳纖維復(fù)合材料疲勞實驗數(shù)據(jù)，分析復(fù)合材料的疲勞損傷過程。進而，將損傷因子引入到復(fù)合材料層合板的剛度矩陣和槳葉剛度計算模型，以分析復(fù)合材料損傷對槳葉剛度的影響。然后，將從系統(tǒng)動力學(xué)的觀點出發(fā)，建立槳葉損傷變量演化的狀態(tài)方程模型。

1 復(fù)合材料鋪層的疲勞損傷過程

復(fù)合材料在交變載荷作用下會出現(xiàn)多種損傷模式，不同的損傷之間相互作用?，F(xiàn)有的研究表明[7-8]，主要存在3種基本的損傷模式：基體裂紋、界面脫膠和纖維斷裂。當(dāng)作用在復(fù)合材料上的循環(huán)應(yīng)變大于基體材料的疲勞極限時，基體上出現(xiàn)一些大小和方向均相似的微裂紋，隨著載荷循環(huán)數(shù)的增加，裂紋密度逐漸增加直至飽和?；w材料的作用是將載荷分散到整個纖維上，基體性能的下降使得纖維之間的相互聯(lián)合作用降低。裂紋、氣穴等材料缺陷在纖維附近產(chǎn)生應(yīng)力集中，當(dāng)作用在復(fù)合材料上的局部循環(huán)應(yīng)力高于纖維的疲勞強度時，一些纖維將發(fā)生斷裂，纖維斷裂區(qū)的應(yīng)力集中現(xiàn)象也會進一步造成基體開裂和界面脫膠損傷。纖維與基體之間的接合面在剪滯效應(yīng)的作用下不斷擴展，釋放出的應(yīng)變能一部分成為脫膠表面能，多余的能量則大部分累積在纖維上，促進了纖維的進一步斷裂。在這個過程中，各種損傷模式相互作用，相互耦合，難以分辨出具體損傷的變化規(guī)律。在此，根據(jù)PAN基碳纖維復(fù)合材料試件單軸疲勞拉伸實驗結(jié)果[9]，從基體材料裂紋和纖維斷裂釋放出的應(yīng)變能出發(fā)，分析基體裂紋密度與基體材料屬性之間，以及纖維斷裂與復(fù)合材料屬性之間的函數(shù)關(guān)系。

圖1 試樣外形尺寸Fig.1 Dimensions of fatigue testing specimen

1.1 基體裂紋對基體材料屬性的影響

在復(fù)合材料的疲勞過程中，較早出現(xiàn)的一種損傷模式是基體裂紋。由于基體材料具有較低疲勞極限，在拉剪應(yīng)力的作用下會首先出現(xiàn)許多近似平行的細(xì)小裂紋，裂紋的分布基本均勻而且大小一致?；w上裂紋的密度在初始階段發(fā)展速度較快。隨著裂紋密度的增加，基體的機械性能也下降很快。但由于剪滯效應(yīng)，裂紋產(chǎn)生速度會逐漸減慢，直至2個裂紋之間的應(yīng)力很小，無法繼續(xù)產(chǎn)生新的裂紋。

圖2 單元中的基體裂紋模型Fig.2 Matrix crack model in an element

斷裂力學(xué)中關(guān)于裂紋體的研究較多，對于基體單元中一個長度為2a 的微裂紋，如圖2 所示，由斷裂能量理論，在定常載荷作用下，物體因裂紋生成所引起的應(yīng)變能增量為：

式中，G 為能量釋放率。

在平面應(yīng)力條件下，裂紋受到法向應(yīng)力和剪力的作用，為I型和II型復(fù)合裂紋，它與應(yīng)力強度因子的關(guān)系為：

對于含有ρ 個特征長度為2a 裂紋的基體單元，總的應(yīng)變能增量為：

由卡氏定理，基體單元的柔度變化為：

式中，pi、pj分別為第i、j 個單元應(yīng)力。

把式（2）代入式（4），化簡可得：

式（5）中：ρ 為裂紋密度；Em為無損基體的彈性模量。

利用基體單元的柔度和基體材料屬性的關(guān)系，可推出損傷基體的材料屬性：

式（6）中：Em1、Em2、Gm12、vm12分別為縱向彈性模量、橫向彈性模量、剪切模量、泊松比；vm為無損基體的泊松比。

從而，基體的材料性能隨損傷退化過程可由裂紋密度的變化規(guī)律來表示。有關(guān)碳纖維增強樹脂復(fù)合材料的實驗研究表明[10-11]，基體裂紋密度的變化符合Weibull公式：

式（7）中：ρc為飽和裂紋密度；a 為尺度參數(shù)；b 為形狀參數(shù)。

基體裂紋密度Weibull分布參數(shù)可根據(jù)PAN基碳纖維復(fù)合材料試件單軸疲勞拉伸實驗獲得的材料等效應(yīng)變比（EFR）數(shù)據(jù)采用最小二乘法估計得出：復(fù)合材料在初始階段的性能下降主要來自基體裂紋，由材料等效應(yīng)變比采用式（5）估計出基體裂紋密度ρ/ρc，當(dāng)EFR 增長速度降至初始速度的10%時認(rèn)為基體裂紋達到飽和。

計算出尺度參數(shù)和形狀參數(shù)值：a=e-z2/z1，b=z1，得到a=0.250，b=0.813，結(jié)果如圖3所示。

圖3 基體裂紋密度擬合分析Fig.3 Regression analysis on the matrix crack density

1.2 纖維斷裂對復(fù)合材料屬性的影響

當(dāng)裂紋密度足夠大時，裂紋間局部應(yīng)力集中將誘導(dǎo)出更嚴(yán)重的損傷形式，即纖維和基體的界面損傷和纖維斷裂。這個階段多種損傷模式相互作用，主要表現(xiàn)為纖維材料的損傷過程?；w裂紋及其誘導(dǎo)損傷造成了較大的局部應(yīng)力集中，在局部載荷大于纖維的疲勞強度時，一些纖維將發(fā)生斷裂，纖維斷裂處的剪切滯后現(xiàn)象會進一步造成纖維基體的界面損傷。

圖4 纖維斷裂和界面損傷擴展模型Fig.4 Fiber break and interface damage growth model

對于復(fù)合材料中一條半徑為rf，長度為L=1×2rf的纖維，如圖4 所示。當(dāng)纖維兩端出現(xiàn)長度為d=δ×2rf的脫膠損傷后，由剪滯模型[12-13]，物體中的應(yīng)變能為：

當(dāng)纖維斷裂成長度為l/2 的2段纖維后，物體應(yīng)變能的增量為：

式（9）中：δ1為斷裂后每段纖維上脫膠；Gd、Gf分別為纖維脫膠和斷裂時能量釋放率。

由式（8）可得：

對于長纖維的情況（ βl ＞10），由tanh(x)≈1，sech(x)≈0，ΔU 可近似為：

式（11）中，Δδ 為平均每段纖維上脫膠的擴展量，Δδ=δ1-δ。

纖維斷裂和脫膠界面形成所消耗的能量為：

式（12）中，Gdc、Gfc為臨界能量釋放率。

由能量守恒，聯(lián)立式（11）和（12）得到一個關(guān)于δ1的方程，求解方程可得：

對于出現(xiàn)了m 個纖維斷裂點的復(fù)合材料單元，由卡氏定理，單元體的柔度變化為：

式（14）中：ΔSf為單元體柔度增量；Af為斷裂面積。

利用復(fù)合材料單元體的柔度和剛度的關(guān)系，可得損傷復(fù)合材料的縱向彈性模量為：

式（15）中：E′1為損傷后的縱向彈性模量；E1為初始的縱向彈性模量。

纖維斷裂釋放的應(yīng)變能一部分用于斷裂面的形成，另一部分貢獻給了脫膠界面的擴展；而界面脫膠釋放的應(yīng)變能一方面形成了脫膠表面，另一方面也促進了纖維斷裂能的積累。纖維斷裂階段的損傷擴展過程通常滿足冪率方程：

式（16）中：n 是循環(huán)次數(shù)；c、r 為曲線參數(shù)。

將式（14）代入式（15）后積分可得：

式中，Afc為臨界斷裂面積。

參數(shù)Afc、r 的值可根據(jù)實驗獲得的材料等效應(yīng)變比數(shù)據(jù)（EFR）采用最小二乘法估計得出：復(fù)合材料在壽命周期后半階段的性能下降主要來自纖維斷裂，由材料等效應(yīng)變比采用式（14）估計出纖維斷裂面積比Af/η2。

在對數(shù)坐標(biāo)系下計算待擬合的實驗數(shù)據(jù)：x1=ln(n/N)，y1=ln(Af/η2)。

采用最小二乘法計算出線性擬合曲線的斜率z1和常數(shù)項z2，計算出Afc、r 參數(shù)的值：Afc=η2ez2，r=z1，得到Af/η2=0.457、r=6.60，結(jié)果如圖5所示。

圖5 纖維斷裂面積擬合分析Fig.5 Regression analysis on the fiber break area

2 損傷復(fù)合材料槳葉的力學(xué)性能分析

由復(fù)合材料的混合率，單層復(fù)合材料的工程材料常數(shù)為：

當(dāng)纖維和基體組成的各向異性鋪層的材料常數(shù)確定，鋪層的正軸剛度矩陣Q 可以表示為：

當(dāng)基體裂紋密度達到一定數(shù)值后，基體材料性能的變化趨于飽和，但微觀上的損傷仍繼續(xù)累積，開始出現(xiàn)纖維斷裂與界面損傷，在應(yīng)力大于纖維疲勞強度的局部區(qū)域內(nèi)一些纖維逐漸斷裂。在此階段，復(fù)合材料的性能參數(shù)除了受到基體裂紋密度的影響之外，還應(yīng)乘以一個由纖維斷裂、脫粘造成的損傷因子。

式中，df為纖維斷裂及其誘導(dǎo)損傷的影響因子，表示纖維斷裂引起的材料退化。

假設(shè)纖維斷裂對鋪層的拉伸、彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度有相同的影響，鋪層的正軸剛度矩陣表示為：

實際使用時，單層復(fù)合材料的主方向往往與層合板總體坐標(biāo)方向并不一致，為了在統(tǒng)一的坐標(biāo)系下計算材料的剛度，需要通過坐標(biāo)變換T 計算出鋪層在總體坐標(biāo)方向上的偏軸剛度矩陣。對于第k 個鋪層正軸剛度矩陣，其偏軸剛度矩陣為偏軸角的函數(shù)為：

層合板由單層板層疊而成，其剛度矩陣可由單層板的剛度特性厚度方向求和得到。在直法線假設(shè)下[14]，層合板的剛度矩陣由拉伸剛度A、耦合剛度B和彎曲剛度D 組成。

由Chopra的研究[15-16]，通過層合板的拉伸剛度、耦合剛度和彎曲剛度在剖面內(nèi)的積分，可算出任意剖面形狀槳葉的宏觀力學(xué)特性：

式（24）中：EA 為槳葉拉伸剛度；EI 為槳葉彎曲剛度；GJ 為槳葉扭轉(zhuǎn)剛度。

下面來研究基體裂紋和纖維斷裂損傷對典型復(fù)合材料槳葉剛度的影響。此槳葉采用NACA23012翼型，弦長c=0.272 m，槳葉帶有D 形梁，D 形梁采用36個鋪層，蒙皮采用24 個鋪層，鋪層方向均為（0/±45/90）s組合。單個鋪層厚度0.127 mm，材料的初始特性為：縱向彈性模量206.8 GPa ，橫向彈性模量20.7 GPa，剪切模量8.27 GPa，泊松比0.3。槳葉的剖面形狀和鋪層情況如圖6所示。

圖6 槳葉剖面的鋪層情況Fig.6 Laminte details of blade airfoil section

根據(jù)基體裂紋密度和纖維斷裂面積的擴展模型、損傷與復(fù)合材料屬性的關(guān)系以及槳葉剛度的計算公式，可以得到槳葉剛度隨疲勞載荷循環(huán)數(shù)的變化曲線如圖7所示。

圖7 基體裂紋和纖維斷裂損傷對槳葉剛度的影響Fig.7 Reduction in bending and torsion stiffness with matrix crack and fiber breakage

圖7 中，EI0、GJ0為槳葉的初始剛度。基體裂紋損傷對槳葉剛度的影響如圖7 中的第1 列曲線所示。在循環(huán)數(shù)n/N 小于0.1（基體裂紋密度為1.36）時，剛度下降較快，之后下降速度逐漸減慢，在循環(huán)數(shù)為0.4（基體裂紋密度為2.77）時基本飽和?；w裂紋密度到達飽和點后，剛度下降基本停止，但結(jié)構(gòu)內(nèi)部損傷仍在累積?；w裂紋造成的彎曲剛度下降最大為12%左右，造成的扭轉(zhuǎn)剛度下降最大為23%左右，可見，扭轉(zhuǎn)剛度對基體裂紋比較敏感。

纖維斷裂損傷對槳葉剛度的影響如圖7 中的第2列曲線所示。循環(huán)數(shù)n/N 小于0.6（斷裂面積比為0.063）時翼型剛度的下降非常緩慢，纖維斷裂造成的彎曲剛度最大下降為6%左右，加上基體裂紋損傷后總共下降15%左右。剛度的下降主要出現(xiàn)在循環(huán)數(shù)為0.7（斷裂面積比為0.19）以后，在循環(huán)數(shù)為1（斷裂面積比為1.83）時，總的彎曲剛度損傷約為41%，總的扭轉(zhuǎn)剛度下降幅度為60%左右。結(jié)構(gòu)在壽命終點出現(xiàn)突然破壞的具體時機與結(jié)構(gòu)承受的正應(yīng)力、剪應(yīng)力大小有關(guān)，可以根據(jù)Hashin準(zhǔn)則確定[17]。

3 槳葉損傷演化模型的建立

由于復(fù)合材料物理損傷模式的多樣性，更適合采用連續(xù)損傷力學(xué)的概念來定量地分析和描述復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的疲勞損傷過程。通常定義連續(xù)損傷變量為材料彈性模量或結(jié)構(gòu)剛度的函數(shù)：

式（25）中：EIy0、EIz0、GJ0為槳葉的初始剛度；EIy,f、EIz,f、GJf為槳葉在壽命終點時的剛度。

剛度是物理損傷參數(shù)的函數(shù)，損傷累積情況又是槳葉疲勞壽命的函數(shù)，因此，可以通過剛度變化來分析槳葉的疲勞壽命。槳葉的剛度也是一個可以通過系統(tǒng)響應(yīng)易于測量的參數(shù)。

根據(jù)基體裂紋密度和纖維斷裂面積對槳葉剛度的影響曲線以及損傷變量的定義式，可計算出損傷變量隨疲勞載荷循環(huán)數(shù)的變化曲線如圖8～10 所示。由圖可直觀地看出，疲勞損傷擴展過程可被劃分成3 個階段：初始階段，由于基體等薄弱部位損傷的起始，剛度下降較快；中間階段，起始損傷在疲勞載荷的作用下不斷積累，誘導(dǎo)出多種復(fù)雜的損傷模式，表現(xiàn)為穩(wěn)定地緩慢發(fā)展；最后階段，由于纖維斷裂的加速，剛度下降較快。

圖8 揮舞剛度損傷變量隨載荷循環(huán)數(shù)的變化Fig.8 Evolution of flap damage variable versus loading cycle

圖9 擺動剛度損傷變量隨載荷循環(huán)數(shù)的變化Fig.9 Evolution of lag damage variable versus loading cycle

圖10 扭轉(zhuǎn)剛度損傷變量隨載荷循環(huán)數(shù)的變化Fig.10 Evolution of torsion damage variable versus loading cycle

以狀態(tài)方程形式表示的損傷演化模型不僅便于仿真分析槳葉結(jié)構(gòu)損傷對旋翼氣彈運動的影響，還能用于損傷觀測信號的濾波和剩余壽命的跟蹤。設(shè)表示槳葉損傷演化過程的狀態(tài)方程為：

式（26）中：φ 為損傷變量；g 為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)可以根據(jù)損傷變量隨疲勞載荷循環(huán)數(shù)的變化曲線得到，方法如下：

設(shè)φ 為損傷變量的時序向量，將其乘以微分算子矩陣得到損傷擴展速度為：

按式（27）計算所得的損傷擴展速度φ˙與損傷φ的關(guān)系如圖11中的點線所示。

圖11 損傷演化模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)Fig.11 Transfer functions of damage evolution model

由圖11可見，損傷變量在疲勞初期和疲勞末期存在快速的損傷擴展現(xiàn)象，損傷的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)應(yīng)是含有兩種運動模式的非線性函數(shù)。在Matlab 軟件提供的曲線擬合工具中對彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度的損傷φ 及其擴展速度φ˙，采用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、傅立葉級數(shù)、多項式等常用函數(shù)的擬合效果進行對比分析，發(fā)現(xiàn)采用如下的有理多項式作為擬合函數(shù)，不但擬合函數(shù)的形式簡單，而且擬合精度也比較高，擬合所得的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為：

式（28）中：g1為φ1和φ2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；g2為φ3的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)。

g1的擬合誤差為σg1=0.009 35，g2的擬合誤差為σg2=0.010 8。采用損傷演化模型對損傷變量進行仿真計算的結(jié)果如圖8～10 所示。采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)對損傷擴展速度進行擬合的結(jié)果如圖11中的實線所示。

4 結(jié)束語

為研究旋翼復(fù)合槳葉系統(tǒng)損傷行為特性，本文從斷裂能量釋放率的角度出發(fā)，研究了多個基體裂紋、多處纖維斷裂和界面脫膠損傷對復(fù)合材料屬性的影響，利用層合板理論，建立了損傷層合板的本構(gòu)模型，研究了基體裂紋和纖維斷裂對復(fù)合材料槳葉剛度的影響。由于復(fù)合材料物理損傷的復(fù)雜性，采用連續(xù)損傷變量的方法來定量地描述復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的疲勞損傷過程，用剛度構(gòu)建的連續(xù)損傷變量建立了槳葉損傷的動態(tài)演化狀態(tài)方程，從損傷變量狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)可見，它是含有多種運動模式的非線性函數(shù)。該方程可進一步用于建立基于模型的復(fù)合材料槳葉損傷監(jiān)測和剩余壽命預(yù)估方法。