時滯BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在唯一性

楊樹杰，毛 凱，趙文飛，宋瑋瑋

（1.海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001；2.煙臺大學(xué)文經(jīng)學(xué)院，山東煙臺264000）

1 問題的提出

自Kosko[1]于1988年提出雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（BAM）以來，BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就受到廣大科研工作者的廣泛關(guān)注。該類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的動力學(xué)性質(zhì)，如平衡點、周期振蕩、概周期振蕩、分支和混沌等問題得到深入研究，并在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計和模式識別、智能處理、優(yōu)化計算、復(fù)雜控制等方面得到廣泛應(yīng)用。在Kosko最初提出的BAM模型的微分方程中，不存在時滯問題，但是由于BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是通過集成電路實現(xiàn)的，而放大器需要一定的轉(zhuǎn)換速度，這就不可避免地帶來一定的時間延遲。因此，這類帶有時滯的BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更加符合實際，從而深受廣大學(xué)者重視并得到研究和應(yīng)用。周期解的存在性是BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個重要性質(zhì)，Hu和Wang[2]利用動力學(xué)不等式和概周期泛函殼理論研究了一類時間尺度上的BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的持久性和概周期解的存在性、唯一性和全局漸近穩(wěn)定性。Cui 和Li[3]研究了一類BAM 型Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解的存在性和漸近穩(wěn)定性。Wang 和Ru[4]利用不動點定理研究了一類二階微分方程周期解的存在性和重數(shù)。利用Lyapunov 理論，建立合適的Lyapunov-Krasovskii 函數(shù)，Matveeva[5]研究了一類中立型周期擾動系統(tǒng)周期解的魯棒穩(wěn)定性和指數(shù)衰減率。Gao，Li 和Wu[6]利用連續(xù)性定理、Kirchhoff矩陣樹理論及Lyapunov方法研究了一類離散周期時變耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期解的存在性。更多相關(guān)結(jié)論見文獻[7-9]等。

BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是現(xiàn)代人工智能的最重要分支，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)專家系統(tǒng)（NNES）是以人工BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為核心建造的一種集成式智能系統(tǒng)，它不僅可以實現(xiàn)專家系統(tǒng)的基本功能，模仿人類專家的邏輯思維方式進行推理決策和問題求解；還具有學(xué)習(xí)能力、自適應(yīng)能力、并行推理和聯(lián)想記憶能力。近幾年，針對BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論及應(yīng)用研究[10-18]取得了大量成果。

本文考慮如下具有狀態(tài)依賴時滯和分布時滯的BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的周期解問題：

式（1）、（2）中：xi( t )和yj( t )分別表示第i 和第j 個神經(jīng)元在t 時刻神經(jīng)細胞的狀態(tài)；ai( t )＞0 ；bj( t )＞0 ；pji( t )、qij( t )、hji( t )、kij( t )分別表示t 時刻的聯(lián)接權(quán)重；fj、gi為激活函數(shù)；Ii( t )、Jj( t )為t 時刻的外部輸入；τji( t,s )、σij( t,s) 是關(guān)于變量t 以T 為周期的函數(shù)。

由文獻[19]知系統(tǒng)（1）具有T -周期解等價于下面系統(tǒng)具有相同的T -周期解。

將系統(tǒng)（1）的周期解的存在性問題轉(zhuǎn)化為算子不動點問題。首先，據(jù)Gi( t,s) 和Hj( t,s )的定義有：

2 主要結(jié)論

本文假設(shè)聯(lián)接權(quán)重函數(shù)、激活函數(shù)及時滯函數(shù)滿足如下假設(shè)。

A1： 存 在 正 常 數(shù) αj( )j=1,2,…,m 和βi( i =1,2,…,n )，使得對任意( u,v )∈R2，有：

設(shè)：

并分別定義范數(shù)：

令Λ=X×Y ，并定義范數(shù)為：

‖ ( x,y )‖=max{‖ x ‖,‖ y ‖},( x,y )∈X×Y，

則Λ 為Banach 空間對任意( )

x,y ∈Λ 及t ≥0，定義算子Φ:Λ →Λ 為Φ( x,y )( t )=( Φ1( x,y )( t ),Φ2( x,y )( t ))，且

令

顯然，Λ*是Λ 的凸閉集。

以下為主要結(jié)論。

證明：根據(jù)Banach空間Λ 范數(shù)的定義知

而

因此，

所以，對任意(x,y)∈Λ*，有：

首先，證明Φ:Λ*→Λ*。

事實上，對任意( x,y )∈Λ*，有：

最后，證明Φ:Λ*→Λ*是壓縮的。

對任意( x,y )∈Λ*，有：

同樣有

于是

類似于定理1，得到如下結(jié)論。

定理2：假定條件A1、A2和A3成立，則系統(tǒng)（2）存在唯一正T-周期解(x,y)滿足

3 數(shù)例

考慮系統(tǒng)（1），設(shè)：

從而，對于0 ≤s，t ≤2π，有：