以“波利亞怎樣解題”探索數(shù)學(xué)思維的形成

鄧麗雯

摘 要：數(shù)學(xué)解題能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心能力之一，而數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的翅膀。解直角三角形是與生活密不可分的應(yīng)用，又是中考的熱點(diǎn)。本文通過(guò)以解直角三角形的案例來(lái)剖析波利亞的《怎樣解題表》，從四個(gè)階段層層遞進(jìn)，幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)解題思維，并為教師在授課過(guò)程中如何就學(xué)生學(xué)會(huì)高效解題思路指明方向，并提出相關(guān)建議。

關(guān)鍵詞：波利亞解題表; 銳角三角函數(shù); 解題能力; 數(shù)學(xué)思維

中圖分類號(hào)：G633.6 ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1006-3315（2019）06-027-001

波利亞的《怎樣解題表》給予了人類在數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)以全新的思路和明確的方向，他的《怎樣解題表》并不關(guān)注于答案的本身，而是著重突出題解思維。解題表的四步驟：理解題目，擬定方案，執(zhí)行方案，回顧。對(duì)于一道數(shù)學(xué)題，首先重點(diǎn)在于認(rèn)真審題，熟悉題目，將題目的條件、已知量、未知量逐個(gè)分離，轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)潔明了的語(yǔ)言印入腦海。而擬定方案則是難點(diǎn)，不但要求厘清各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系以及內(nèi)在邏輯。有時(shí)需要從過(guò)去出現(xiàn)過(guò)類似的題目來(lái)找到方向或是各種轉(zhuǎn)換、修改題目來(lái)獲得解題思路。執(zhí)行方案則稍顯簡(jiǎn)單，根據(jù)方案的程序?qū)懗黾?xì)節(jié)，要仔細(xì)并快速作答。最后通過(guò)回顧，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)出結(jié)果的途徑，體會(huì)數(shù)學(xué)題之間的聯(lián)系，他們能鞏固知識(shí)，并為下一次解題提供思路。

本文以九年級(jí)下人教版教材中的習(xí)題為例，該題難度一般，但具有典型性，主要是讓學(xué)生理解基本常識(shí)，基本概念-方位角，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建直角三角形，領(lǐng)悟其方法。

題目：如圖，海中有一個(gè)小島A，它周圍8nmile內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12nmile到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上。如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？

第一階段：理解題目：抓住題干主要內(nèi)容

問(wèn)題一：已知數(shù)據(jù)是什么？

北偏東60°、北偏東30°和BD的距離。這兩個(gè)角度是方位角，是從某點(diǎn)思維指北方向線起，依順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角，因此能在圖上標(biāo)注角度。

問(wèn)題二：未知量是什么？

A到BD的最短距離是否小于8海里。

教學(xué)目的：漁船是否有觸礁危險(xiǎn)是以A為圓心，8海里為半徑的圓與BD的位置關(guān)系，將點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系一起處理，學(xué)生對(duì)于添加輔助線AC更清晰A到BD的最短距離小于8海里，沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，大于8海里就有觸礁危險(xiǎn)，因此需要添加輔助線，判斷輔助線的長(zhǎng)度即可。

第二階段：擬定方案：把握題目?jī)?nèi)在邏輯關(guān)系，并回憶相同的解題技巧

問(wèn)題三：是否存在其他需要轉(zhuǎn)化成解題所需內(nèi)容的條件？

除了△ABC是直角三角形，還有△ADC是直角三角形。

問(wèn)題四：能不能由過(guò)去的方法直接求AC？

已知BD和∠ABD但是BC的長(zhǎng)度未知，不能在△ABC求出AC。

問(wèn)題五：過(guò)去有沒(méi)有遇到類似的題目？

已知直角三角形的一個(gè)角和一條邊求另一條邊。

這道題已知直角三角形的一個(gè)角，而直角三角形除直角外的五個(gè)元素若已知其中兩個(gè)，就能求得其余三個(gè)。

教學(xué)目的：在直角三角形中知道一條邊一個(gè)角就能得到其他元素，由于AD又在△ABD中，且∠BDA由條件可以知道，從而能獲得AD和∠ADC的大小。

第三階段：執(zhí)行方案：心中有數(shù)，快速作答

解：過(guò)A點(diǎn)作BD邊上的垂線于點(diǎn)C

以A為半徑做圓，圓與BC相切是最小距離為半徑

∵∠ABD=30°

通過(guò)方位角北偏東60°得知

∠BDA=120°

通過(guò)方位角北偏東60°得知

∴∠BAD=30°

由三角形的內(nèi)角和180°

∴BD=AD=12

由于等角對(duì)等邊

又∵在△ADC中，∠ADC=60°

∠ABD和∠ADC組成平角，平角為180°

∴AC=AC·sin60°=6[3]<8

在直角三角形中，已知一條斜邊和一個(gè)角可以得到該角的對(duì)邊，因此如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)。

第四階段：回顧：總結(jié)分析，轉(zhuǎn)化歸納，舉一反三

問(wèn)題六：是否存在其他解法？

這道題最后的解題方法不是唯一的，找對(duì)各個(gè)角和邊的大小，添加輔助線構(gòu)建直角三角形，通過(guò)邊角關(guān)系，找到所求長(zhǎng)度。

問(wèn)題七：該題解法如何運(yùn)用于別題？

無(wú)論是測(cè)量建筑、航海航天、水利工程等，解答這類問(wèn)題主要是轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求解三角形元素問(wèn)題，做出必要的輔助線來(lái)解決，這類問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形。

建議

數(shù)學(xué)教學(xué)本該是教師組織學(xué)生拓展數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)，目的在于建構(gòu)和深化學(xué)生的認(rèn)知，然而以此制定的題海戰(zhàn)術(shù)卻讓學(xué)生更像是一個(gè)做拋球游戲的小丑，應(yīng)接不暇地接住老師拋來(lái)的題。學(xué)生自然也就失去了思考的時(shí)間，無(wú)法體會(huì)題目本身的意義，更難以融會(huì)貫通，舉一反三。波利亞《怎樣解題》中提出了解題過(guò)程中的重要問(wèn)題，是鍛煉數(shù)學(xué)思維，從而提高解題能力，并啟發(fā)教師應(yīng)該拋出能讓學(xué)生思考的問(wèn)題，止步于題海。讓學(xué)生在做題的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)題之間的聯(lián)系，在腦海中思考類似的題，深化解題思維的形成。

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M]涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社， 2011.11

[2]林燕群.怎樣解題表在解題中的應(yīng)用[J]北京：教育觀察， 2018