趙香云
“物塊由靜止沿光滑斜面滑到底端所用的時(shí)間及相關(guān)問(wèn)題是一類(lèi)求解比較費(fèi)時(shí),運(yùn)算比較煩瑣的題目.但要利用“等時(shí)圓”模型處理的話,則能達(dá)到化繁為簡(jiǎn),省時(shí)易解之效果.
所謂“等時(shí)圓”,就是物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細(xì)桿(或光滑斜面)由靜止下滑,到達(dá)圓周的最低點(diǎn)(或從最高點(diǎn)到達(dá)同一圓周上的各點(diǎn))的時(shí)間相等,都等于物體沿直徑做自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.
“等時(shí)圓”的三種典型情況:
甲
乙
丙
等時(shí)性證明:
設(shè)圓的半徑為R,則斜面長(zhǎng)x=2Rsinθ,物體加速度a=gsinθ.
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式x=12at2可得t=2xt=4Rg.
由此可見(jiàn),物體下滑的時(shí)間與傾角θ無(wú)關(guān),等于物體沿直徑做自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.
例?如圖1所示,在傾角為θ的斜面上方的A點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)一光滑的木板AB,B端剛好在斜面上,木板與豎直方向AC所成角度為α,一小物塊從A端沿木板由靜止滑下,要使物塊滑到斜面的時(shí)間最短,則α與θ角的大小關(guān)系().
A.α=θ
B.α=θ2
C.α=2θ
D.α=θ3
常規(guī)解法:
過(guò)B點(diǎn)向AC作垂線,垂足為D,令A(yù)C長(zhǎng)為h,BD長(zhǎng)為x,則
h=xtanα+x·tanθ?①
木板AB的長(zhǎng)L=xsinα?②
物塊下滑的加速度a=g·cosα?③
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知L=12at2?④
由①②③④得t2=4hcosθg[cosθ+cos(2α-θ) ] .
當(dāng)cos(2α-θ)=1即α=θ2時(shí),t有最小值.
下面,用“等時(shí)圓”來(lái)處理.
在AC上找一點(diǎn)O,以O(shè)點(diǎn)為圓心,作一圓,使A、B位于圓上且該圓與斜面相切于B點(diǎn),如圖2所示.由“等時(shí)圓”可知該情形下物塊滑到斜面用時(shí)最短.θ為△OAB的外角,由幾何知識(shí)可知θ=2α.
利用該模型可以很巧妙地處理這種類(lèi)型的問(wèn)題.例如《大一輪復(fù)習(xí)講義》中的一道題目:為了使雨滴能盡快地淌離房頂,要設(shè)計(jì)好房頂?shù)母叨?設(shè)雨滴沿房頂流下時(shí)做無(wú)初速度無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng),那么如圖所示的四種情況中符合要求的是().
A
B
C
D
利用“斜面模型”處理,要先受力分析.令斜面與水平面得夾角為θ,屋頂?shù)膶挾葹?L,求出加速度α=g·sinθ,利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式x=12at2,得t=4Lg·sin2θ,可知θ=45°時(shí),用時(shí)最短.
而利用“等時(shí)圓”來(lái)處理的話,只要畫(huà)出圖來(lái),答案就一目了然.解答如下:
過(guò)房頂頂點(diǎn)O作豎直線,以房頂寬度的一半L為半徑畫(huà)圓,分別與豎直線、水平線切于O、P兩點(diǎn),如圖3所示.顯然,利用“等時(shí)圓”知,沿OP方向淌下用時(shí)最短,斜面與水平面夾角為45°,故選C項(xiàng).
可見(jiàn),在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi),總結(jié)規(guī)律,建立模型,巧解問(wèn)題,從而使學(xué)習(xí)高效化,真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的目的.