建立模型 巧妙解答

趙香云

“物塊由靜止沿光滑斜面滑到底端所用的時(shí)間及相關(guān)問(wèn)題是一類(lèi)求解比較費(fèi)時(shí)，運(yùn)算比較煩瑣的題目.但要利用“等時(shí)圓”模型處理的話，則能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，省時(shí)易解之效果.

所謂“等時(shí)圓”，就是物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細(xì)桿（或光滑斜面）由靜止下滑，到達(dá)圓周的最低點(diǎn)（或從最高點(diǎn)到達(dá)同一圓周上的各點(diǎn)）的時(shí)間相等，都等于物體沿直徑做自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.

“等時(shí)圓”的三種典型情況：

甲

乙

丙

等時(shí)性證明：

設(shè)圓的半徑為R，則斜面長(zhǎng)x=2Rsinθ，物體加速度a=gsinθ.

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式x=12at2可得t=2xt=4Rg.

由此可見(jiàn)，物體下滑的時(shí)間與傾角θ無(wú)關(guān)，等于物體沿直徑做自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.

例?如圖1所示，在傾角為θ的斜面上方的A點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)一光滑的木板AB，B端剛好在斜面上，木板與豎直方向AC所成角度為α，一小物塊從A端沿木板由靜止滑下，要使物塊滑到斜面的時(shí)間最短，則α與θ角的大小關(guān)系（）.

A.α=θ

B.α=θ2

C.α=2θ

D.α=θ3

常規(guī)解法：

過(guò)B點(diǎn)向AC作垂線，垂足為D，令A(yù)C長(zhǎng)為h，BD長(zhǎng)為x，則

h=xtanα+x·tanθ?①

木板AB的長(zhǎng)L=xsinα?②

物塊下滑的加速度a=g·cosα?③

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知L=12at2?④

由①②③④得t2=4hcosθg[cosθ+cos（2α-θ） ] .

當(dāng)cos（2α-θ）=1即α=θ2時(shí)，t有最小值.

下面，用“等時(shí)圓”來(lái)處理.

在AC上找一點(diǎn)O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，作一圓，使A、B位于圓上且該圓與斜面相切于B點(diǎn)，如圖2所示.由“等時(shí)圓”可知該情形下物塊滑到斜面用時(shí)最短.θ為△OAB的外角，由幾何知識(shí)可知θ=2α.

利用該模型可以很巧妙地處理這種類(lèi)型的問(wèn)題.例如《大一輪復(fù)習(xí)講義》中的一道題目：為了使雨滴能盡快地淌離房頂，要設(shè)計(jì)好房頂?shù)母叨?設(shè)雨滴沿房頂流下時(shí)做無(wú)初速度無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)，那么如圖所示的四種情況中符合要求的是（）.

A

B

C

D

利用“斜面模型”處理，要先受力分析.令斜面與水平面得夾角為θ，屋頂?shù)膶挾葹?L，求出加速度α=g·sinθ，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式x=12at2，得t=4Lg·sin2θ，可知θ=45°時(shí)，用時(shí)最短.

而利用“等時(shí)圓”來(lái)處理的話，只要畫(huà)出圖來(lái)，答案就一目了然.解答如下：

過(guò)房頂頂點(diǎn)O作豎直線，以房頂寬度的一半L為半徑畫(huà)圓，分別與豎直線、水平線切于O、P兩點(diǎn)，如圖3所示.顯然，利用“等時(shí)圓”知，沿OP方向淌下用時(shí)最短，斜面與水平面夾角為45°，故選C項(xiàng).

可見(jiàn)，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，總結(jié)規(guī)律，建立模型，巧解問(wèn)題，從而使學(xué)習(xí)高效化，真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的目的.