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    遷移類化獲靈感 活動探索得真知

    2019-10-03 12:15:25袁樂
    關(guān)鍵詞:實踐數(shù)學(xué)

    袁樂

    [摘? ?要]數(shù)學(xué)活動課能夠有效幫助學(xué)生形成問題意識,學(xué)會數(shù)學(xué)思維,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).教師在教學(xué)中應(yīng)充分挖掘教材,設(shè)計和提煉優(yōu)質(zhì)有效的教學(xué)活動,讓學(xué)生“做中學(xué)”“學(xué)中做”,從而獲得真知,提升能力,發(fā)展思維.

    [關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);活動課;實踐

    [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2019)23-0009-02

    中學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)促使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題,探索和解決問題.教師應(yīng)充分挖掘教材,多角度設(shè)計豐富的數(shù)學(xué)活動,讓學(xué)生在活動探索中得到真知.

    筆者從一道教材中的習(xí)題出發(fā),提煉思考“求內(nèi)角和”的新角度,并展開一節(jié)研究“多角形內(nèi)角和”的數(shù)學(xué)活動課,將思考整理成文,與同仁交流.

    一、基于課本,提出問題

    在蘇科版七年級第七章第5節(jié)《多邊形的內(nèi)角和與外角和》中,有這樣一道課后習(xí)題引起了筆者的興趣和思考.

    如圖1,S是六邊形草地ABCDEF的邊長.小明從點S出發(fā),沿著它的邊步行1周回到點S處,小明轉(zhuǎn)過的角度總和是多少?這說明了什么?

    這是一個有趣的“環(huán)形跑道”的模型.把多邊形ABCDEF實體化成生活中常見的環(huán)形跑道A-B-C-D-E-F-A . 我們可以假設(shè),在環(huán)形跑道內(nèi)部有一個觀測者,無論觀測者面朝哪個方向,跑步者按照逆時針順序跑完一圈,總是會從他面前經(jīng)過一次. 因為在每個頂點處,跑步者身體轉(zhuǎn)過的角度,就是這個多邊形一個外角的大小,所以利用這個模型,可以解決所有(凸)多邊形外角和問題,都是需要跑一圈,外角和為定值360°.

    對于(凸)多邊形,顯然內(nèi)角和加外角和一共等于180° n,減去 “外角和360°”,則可以得到多邊形內(nèi)角和公式. 相較于課本上“分割轉(zhuǎn)化成三角形而得多邊形內(nèi)角和公式”這種“靜態(tài)”的研究視角,它顯得更加“動態(tài)”,具有一定的趣味性和操作性.

    能否利用這個全新的視角,去解決更加復(fù)雜的圖形的內(nèi)角和問題呢?

    圖2-1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2-2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2-3

    二、明確定義,嘗試探索

    由于形如上述的圖案在中學(xué)課本中沒有明確的名稱,為了敘述方便,不妨將這些圖案稱作“多角形”.它們可以看作是在同一平面內(nèi)一條首尾相連的折線所組成的圖形.

    教師開展專項數(shù)學(xué)活動課《有趣的多角形》.

    [課堂實錄]

    教師:你能求五角形、六角形和七角形的內(nèi)角和嗎?

    學(xué)生充分交流,討論思考.

    學(xué)生1:可將五角形分割為三角形,利用三角形的外角定理,可以將要求解的五個角匯聚到同一個小三角形中,很容易得到五角形的內(nèi)角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°.

    學(xué)生2:通過分割,也可以將六角形和七角形轉(zhuǎn)成熟悉的三角形、四邊形,像這樣計算(學(xué)生上臺演示),得到六角形的內(nèi)角和為360°,七角形的內(nèi)角和為540°.

    教師:如果是更加復(fù)雜的n角形,大家能計算它的內(nèi)角和嗎?有沒有相應(yīng)的內(nèi)角和公式呢?

    由于圖形復(fù)雜,難度增大,學(xué)生無法解答,教室陷入沉默.

    三、對比觀察,小心求證

    在思考和解決新的數(shù)學(xué)問題時,常常需要借鑒已經(jīng)學(xué)過的知識和累積的經(jīng)驗結(jié)論,即所謂知識的遷移.

    [課堂實錄]

    教師:不妨算一算熟悉的五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和,對比數(shù)據(jù),或許會有一些發(fā)現(xiàn).

    學(xué)生計算整理得到表格:

    [n n邊形 n角形 5 540° 180° 6 720° 360° 7 900° 540° … … … 內(nèi)角和 180°×(n-2) ]

    學(xué)生對比數(shù)據(jù),有以下三點發(fā)現(xiàn):

    1. 縱向?qū)Ρ龋吭黾右粋€邊(角),其內(nèi)角和都會增加180°;

    2.橫向?qū)Ρ?,后者總是比前者?60°;

    3.由于n邊形的內(nèi)角和為180° × (n-2).則猜想:n角形的內(nèi)角和為180° × (n-4).

    教師:大家觀察分析得很好,這個猜想是否適用于所有的多角形呢?看來大膽猜想之后,就必須小心求證了.

    四、追本溯源,遷移類化

    由于(凸)多邊形造型簡單,對其內(nèi)部分割成三角形十分簡單,而多角形造型復(fù)雜,內(nèi)部線條較多,顯然不宜再畫線分割.既然求“內(nèi)角和”很難,不妨轉(zhuǎn)換視角,從“外角和”入手!

    [課堂實錄]

    教師:請大家回顧書本這道課后習(xí)題(本文開頭所述),借助這種動態(tài)的研究“多邊形外角和”的思路,你能仿照著去探索“多角形外角和”嗎?

    學(xué)生交流思考,舉起手指,在空中比畫環(huán)形跑道跑圈的過程.

    教師:大家把五角形圖案想象成一個五角形的環(huán)形跑道(圖3)A-B-C-D-E-A,內(nèi)部站立一個觀測者,跑步者從點A出發(fā)再回到點A,跑了幾圈呢?

    圖3

    學(xué)生小組活動,伸出手指比畫跑圈的過程.

    學(xué)生1:我認(rèn)為從A點出發(fā)沿著五角形的跑道再回到A點,應(yīng)該是跑了一圈.

    學(xué)生2:我認(rèn)為是兩圈,但說不清楚……

    教師:讓我們來一次實景重現(xiàn)吧!黑板上這個五角形圖案就是跑道,中間放一塊吸鐵石就是觀測者,手指尖就是跑步者,請一位同學(xué)上臺模擬情境,放慢速度移動,大家仔細(xì)數(shù)一數(shù),沿著環(huán)形跑道A-B-C-D-E-A究竟跑了幾圈?

    師生一起數(shù),發(fā)現(xiàn)是兩圈. 為了更加生動地感受“兩圈”,教師再次帶領(lǐng)學(xué)生舉起胳膊,依照點的順序,極其夸張地在空中比畫畫圈,當(dāng)手臂揮舞越夸張,越能明確地感受到“兩圈”.

    這個過程十分有趣,學(xué)生會有很大的興趣參與其中,這樣“玩”數(shù)學(xué),對初中學(xué)生來說十分新奇.

    教師:再對比六邊形的環(huán)形跑道和六角形的環(huán)形跑道(圖4)A-B-C-D-E-F-A,分別需要跑幾圈呢?

    圖4

    學(xué)生活動操作發(fā)現(xiàn):六角形跑道中,同樣需要跑兩圈.

    類似的,如圖2-3的七角形跑道,也是跑兩圈.

    通過三次對比,多角形的環(huán)形跑道總是比相應(yīng)的多邊形環(huán)形跑道多跑一圈,即意味著外角和增加360°.既然外角和多了,那么內(nèi)角和自然就少了.這樣就可以解釋為什么一開始我們橫向?qū)Ρ葦?shù)據(jù)發(fā)現(xiàn):當(dāng)n相同時,n角形內(nèi)角和總是比n邊形內(nèi)角和少360°.

    學(xué)生根據(jù)“跑兩圈”等價于“外角和為兩個360°”,自然得出跑的圈數(shù)的多少直接決定著外角和的度數(shù).掌握了這個方法,只要外角和能求出來,內(nèi)角和自然用180°n減去外角和,即可得到多角形的內(nèi)角和。

    五、再探剖析,小結(jié)反思

    [課堂實錄]

    教師:圖5-1也是一個七角形,但它的內(nèi)角和顯然比圖2-3要小.請再次利用“環(huán)形跑道”模型,算一算,這種七角形的內(nèi)角和是多少.

    學(xué)生活動后得出:跑步者需要跑三圈,可見其外角和是3個360°,則內(nèi)角和=180°×7-360°×3=180°.

    圖5-1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖5-2

    小結(jié):對于n角形,如果在各個頂點處的轉(zhuǎn)彎方向一致(即總是順時針或逆時針轉(zhuǎn)角),回到起點時,若跑了m圈,則外角和= m 360°,內(nèi)角和= n 180° - m 360°.

    六、峰回路轉(zhuǎn),再探奇妙

    [課堂實錄]

    教師:同學(xué)們仔細(xì)觀察,圖5-2也是一個七角形,你能求出它的外角和與內(nèi)角和嗎?借助今天的數(shù)學(xué)模型,在環(huán)形跑道各個頂點處的轉(zhuǎn)彎方向一致嗎?

    學(xué)生交流討論,發(fā)現(xiàn)這幅圖的頂點處“轉(zhuǎn)彎方向”不一致,無法套用今天發(fā)現(xiàn)的公式.

    教師:今天我們借助一道課后習(xí)題的解題新視角“環(huán)形跑道”,進(jìn)行了動態(tài)的研究. 在知識遷移和問題類化中探索了某一類多角形內(nèi)角和問題,也得出了靜態(tài)的規(guī)律和結(jié)論,但是關(guān)于“多角形”的研究這還只是冰山一角,希望同學(xué)們能繼續(xù)探索,繼續(xù)發(fā)現(xiàn)!

    七、放手活動,精彩課堂

    在本次活動課中,教師從一道教材中的習(xí)題入手,提出多角形內(nèi)角和的問題.課堂中給予學(xué)生充分的時間交流探索,從動態(tài)的視角研究圖形問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在思考多角形問題一籌莫展的時候,引導(dǎo)學(xué)生溫故知新,認(rèn)準(zhǔn)知識之間的銜接點,嘗試從已經(jīng)掌握的幾種論證方法著手,探尋新思路.利用這種遷移類比進(jìn)行教學(xué),既符合學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律,又有助于形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu),不但使得學(xué)生厘清了算理算法,思維也得到了發(fā)展,既掌握了知識,還培養(yǎng)了能力.學(xué)生在豐富的數(shù)學(xué)活動中,體會數(shù)學(xué)探索的樂趣.猜想、歸納、求證、推翻、再猜想、再歸納、再求證,這正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的巨大樂趣所在!

    (責(zé)任編輯 黃桂堅)

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