遷移類化獲靈感 活動(dòng)探索得真知

袁樂(lè)

[摘? ?要]數(shù)學(xué)活動(dòng)課能夠有效幫助學(xué)生形成問(wèn)題意識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).教師在教學(xué)中應(yīng)充分挖掘教材，設(shè)計(jì)和提煉優(yōu)質(zhì)有效的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生“做中學(xué)”“學(xué)中做”，從而獲得真知，提升能力，發(fā)展思維.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);活動(dòng)課;實(shí)踐

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）23-0009-02

中學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)促使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，探索和解決問(wèn)題.教師應(yīng)充分挖掘教材，多角度設(shè)計(jì)豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)探索中得到真知.

筆者從一道教材中的習(xí)題出發(fā)，提煉思考“求內(nèi)角和”的新角度，并展開(kāi)一節(jié)研究“多角形內(nèi)角和”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課，將思考整理成文，與同仁交流.

一、基于課本，提出問(wèn)題

在蘇科版七年級(jí)第七章第5節(jié)《多邊形的內(nèi)角和與外角和》中，有這樣一道課后習(xí)題引起了筆者的興趣和思考.

如圖1，S是六邊形草地ABCDEF的邊長(zhǎng).小明從點(diǎn)S出發(fā)，沿著它的邊步行1周回到點(diǎn)S處，小明轉(zhuǎn)過(guò)的角度總和是多少？這說(shuō)明了什么？

這是一個(gè)有趣的“環(huán)形跑道”的模型.把多邊形ABCDEF實(shí)體化成生活中常見(jiàn)的環(huán)形跑道A-B-C-D-E-F-A . 我們可以假設(shè)，在環(huán)形跑道內(nèi)部有一個(gè)觀測(cè)者，無(wú)論觀測(cè)者面朝哪個(gè)方向，跑步者按照逆時(shí)針順序跑完一圈，總是會(huì)從他面前經(jīng)過(guò)一次. 因?yàn)樵诿總€(gè)頂點(diǎn)處，跑步者身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度，就是這個(gè)多邊形一個(gè)外角的大小，所以利用這個(gè)模型，可以解決所有（凸）多邊形外角和問(wèn)題，都是需要跑一圈，外角和為定值360°.

對(duì)于（凸）多邊形，顯然內(nèi)角和加外角和一共等于180° n，減去 “外角和360°”，則可以得到多邊形內(nèi)角和公式. 相較于課本上“分割轉(zhuǎn)化成三角形而得多邊形內(nèi)角和公式”這種“靜態(tài)”的研究視角，它顯得更加“動(dòng)態(tài)”，具有一定的趣味性和操作性.

能否利用這個(gè)全新的視角，去解決更加復(fù)雜的圖形的內(nèi)角和問(wèn)題呢？

圖2-1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2-2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2-3

二、明確定義，嘗試探索

由于形如上述的圖案在中學(xué)課本中沒(méi)有明確的名稱，為了敘述方便，不妨將這些圖案稱作“多角形”.它們可以看作是在同一平面內(nèi)一條首尾相連的折線所組成的圖形.

教師開(kāi)展專項(xiàng)數(shù)學(xué)活動(dòng)課《有趣的多角形》.

[課堂實(shí)錄](méi)

教師：你能求五角形、六角形和七角形的內(nèi)角和嗎？

學(xué)生充分交流，討論思考.

學(xué)生1：可將五角形分割為三角形，利用三角形的外角定理，可以將要求解的五個(gè)角匯聚到同一個(gè)小三角形中，很容易得到五角形的內(nèi)角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°.

學(xué)生2：通過(guò)分割，也可以將六角形和七角形轉(zhuǎn)成熟悉的三角形、四邊形，像這樣計(jì)算（學(xué)生上臺(tái)演示），得到六角形的內(nèi)角和為360°，七角形的內(nèi)角和為540°.

教師：如果是更加復(fù)雜的n角形，大家能計(jì)算它的內(nèi)角和嗎？有沒(méi)有相應(yīng)的內(nèi)角和公式呢？

由于圖形復(fù)雜，難度增大，學(xué)生無(wú)法解答，教室陷入沉默.

三、對(duì)比觀察，小心求證

在思考和解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常需要借鑒已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和累積的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論，即所謂知識(shí)的遷移.

[課堂實(shí)錄](méi)

教師：不妨算一算熟悉的五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和，對(duì)比數(shù)據(jù)，或許會(huì)有一些發(fā)現(xiàn).

學(xué)生計(jì)算整理得到表格：

[n n邊形 n角形 5 540° 180° 6 720° 360° 7 900° 540° … … … 內(nèi)角和 180°×（n-2） ]

學(xué)生對(duì)比數(shù)據(jù)，有以下三點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：

1. 縱向?qū)Ρ?，每增加一個(gè)邊（角），其內(nèi)角和都會(huì)增加180°;

2.橫向?qū)Ρ?，后者總是比前者?60°;

3.由于n邊形的內(nèi)角和為180° × （n-2）.則猜想：n角形的內(nèi)角和為180° × （n-4）.

教師：大家觀察分析得很好，這個(gè)猜想是否適用于所有的多角形呢？看來(lái)大膽猜想之后，就必須小心求證了.

四、追本溯源，遷移類化

由于（凸）多邊形造型簡(jiǎn)單，對(duì)其內(nèi)部分割成三角形十分簡(jiǎn)單，而多角形造型復(fù)雜，內(nèi)部線條較多，顯然不宜再畫(huà)線分割.既然求“內(nèi)角和”很難，不妨轉(zhuǎn)換視角，從“外角和”入手！

[課堂實(shí)錄](méi)

教師：請(qǐng)大家回顧書(shū)本這道課后習(xí)題（本文開(kāi)頭所述），借助這種動(dòng)態(tài)的研究“多邊形外角和”的思路，你能仿照著去探索“多角形外角和”嗎？

學(xué)生交流思考，舉起手指，在空中比畫(huà)環(huán)形跑道跑圈的過(guò)程.

教師：大家把五角形圖案想象成一個(gè)五角形的環(huán)形跑道（圖3）A-B-C-D-E-A，內(nèi)部站立一個(gè)觀測(cè)者，跑步者從點(diǎn)A出發(fā)再回到點(diǎn)A，跑了幾圈呢？

圖3

學(xué)生小組活動(dòng)，伸出手指比畫(huà)跑圈的過(guò)程.

學(xué)生1：我認(rèn)為從A點(diǎn)出發(fā)沿著五角形的跑道再回到A點(diǎn)，應(yīng)該是跑了一圈.

學(xué)生2：我認(rèn)為是兩圈，但說(shuō)不清楚……

教師：讓我們來(lái)一次實(shí)景重現(xiàn)吧！黑板上這個(gè)五角形圖案就是跑道，中間放一塊吸鐵石就是觀測(cè)者，手指尖就是跑步者，請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)模擬情境，放慢速度移動(dòng)，大家仔細(xì)數(shù)一數(shù)，沿著環(huán)形跑道A-B-C-D-E-A究竟跑了幾圈？

師生一起數(shù)，發(fā)現(xiàn)是兩圈. 為了更加生動(dòng)地感受“兩圈”，教師再次帶領(lǐng)學(xué)生舉起胳膊，依照點(diǎn)的順序，極其夸張地在空中比畫(huà)畫(huà)圈，當(dāng)手臂揮舞越夸張，越能明確地感受到“兩圈”.

這個(gè)過(guò)程十分有趣，學(xué)生會(huì)有很大的興趣參與其中，這樣“玩”數(shù)學(xué)，對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)十分新奇.

教師：再對(duì)比六邊形的環(huán)形跑道和六角形的環(huán)形跑道（圖4）A-B-C-D-E-F-A，分別需要跑幾圈呢？

圖4

學(xué)生活動(dòng)操作發(fā)現(xiàn)：六角形跑道中，同樣需要跑兩圈.

類似的，如圖2-3的七角形跑道，也是跑兩圈.

通過(guò)三次對(duì)比，多角形的環(huán)形跑道總是比相應(yīng)的多邊形環(huán)形跑道多跑一圈，即意味著外角和增加360°.既然外角和多了，那么內(nèi)角和自然就少了.這樣就可以解釋為什么一開(kāi)始我們橫向?qū)Ρ葦?shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n相同時(shí)，n角形內(nèi)角和總是比n邊形內(nèi)角和少360°.

學(xué)生根據(jù)“跑兩圈”等價(jià)于“外角和為兩個(gè)360°”，自然得出跑的圈數(shù)的多少直接決定著外角和的度數(shù).掌握了這個(gè)方法，只要外角和能求出來(lái)，內(nèi)角和自然用180°n減去外角和，即可得到多角形的內(nèi)角和。

五、再探剖析，小結(jié)反思

[課堂實(shí)錄](méi)

教師：圖5-1也是一個(gè)七角形，但它的內(nèi)角和顯然比圖2-3要小.請(qǐng)?jiān)俅卫谩碍h(huán)形跑道”模型，算一算，這種七角形的內(nèi)角和是多少.

學(xué)生活動(dòng)后得出：跑步者需要跑三圈，可見(jiàn)其外角和是3個(gè)360°，則內(nèi)角和=180°×7-360°×3=180°.

圖5-1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖5-2

小結(jié)：對(duì)于n角形，如果在各個(gè)頂點(diǎn)處的轉(zhuǎn)彎方向一致（即總是順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)角），回到起點(diǎn)時(shí)，若跑了m圈，則外角和= m 360°，內(nèi)角和= n 180° - m 360°.

六、峰回路轉(zhuǎn)，再探奇妙

[課堂實(shí)錄](méi)

教師：同學(xué)們仔細(xì)觀察，圖5-2也是一個(gè)七角形，你能求出它的外角和與內(nèi)角和嗎？借助今天的數(shù)學(xué)模型，在環(huán)形跑道各個(gè)頂點(diǎn)處的轉(zhuǎn)彎方向一致嗎？

學(xué)生交流討論，發(fā)現(xiàn)這幅圖的頂點(diǎn)處“轉(zhuǎn)彎方向”不一致，無(wú)法套用今天發(fā)現(xiàn)的公式.

教師：今天我們借助一道課后習(xí)題的解題新視角“環(huán)形跑道”，進(jìn)行了動(dòng)態(tài)的研究. 在知識(shí)遷移和問(wèn)題類化中探索了某一類多角形內(nèi)角和問(wèn)題，也得出了靜態(tài)的規(guī)律和結(jié)論，但是關(guān)于“多角形”的研究這還只是冰山一角，希望同學(xué)們能繼續(xù)探索，繼續(xù)發(fā)現(xiàn)！

七、放手活動(dòng)，精彩課堂

在本次活動(dòng)課中，教師從一道教材中的習(xí)題入手，提出多角形內(nèi)角和的問(wèn)題.課堂中給予學(xué)生充分的時(shí)間交流探索，從動(dòng)態(tài)的視角研究圖形問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在思考多角形問(wèn)題一籌莫展的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生溫故知新，認(rèn)準(zhǔn)知識(shí)之間的銜接點(diǎn)，嘗試從已經(jīng)掌握的幾種論證方法著手，探尋新思路.利用這種遷移類比進(jìn)行教學(xué)，既符合學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，又有助于形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不但使得學(xué)生厘清了算理算法，思維也得到了發(fā)展，既掌握了知識(shí)，還培養(yǎng)了能力.學(xué)生在豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，體會(huì)數(shù)學(xué)探索的樂(lè)趣.猜想、歸納、求證、推翻、再猜想、再歸納、再求證，這正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的巨大樂(lè)趣所在！

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）