一道聯(lián)考題研究

虞懿

[摘? ?要]對(duì)2018年一道聯(lián)考題的立意、解法、題源、拓展和教學(xué)啟示等方面做探析、研究，以給教師教學(xué)提供參考.

[關(guān)鍵詞]聯(lián)考題;立意;解法;拓展;研究

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）23-0003-02

數(shù)學(xué)家奧加涅相說(shuō)：“必須重視，很多習(xí)題潛藏著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能與教育功能的可行性.”筆者通過(guò)對(duì)一道聯(lián)考題的探究，讓大家看到這道聯(lián)考題真正的思考價(jià)值.同時(shí)，也讓大家感受數(shù)學(xué)探究的樂趣.

一、試題展現(xiàn)

題目：設(shè)直線[2x+y-3=0]與拋物線[Γ：y2=8x]交于[A，B]兩點(diǎn)，過(guò)[A，B]的圓與拋物線[Γ]交于另外兩點(diǎn)[C，D]，則直線[CD]的斜率[k=]? ? ? ? ? ? ? ? ? .

立意：此題題面簡(jiǎn)潔、意境幽深、內(nèi)涵豐富，可以從多個(gè)角度思考求解.本題主要考查拋物線的定義、直線和拋物線的位置關(guān)系、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，旨在考查學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、解法集萃

分析：由提干信息“過(guò)[A，B]兩點(diǎn)的圓與拋物線[Γ]交于另外兩點(diǎn)[C，D]”可知，過(guò)這兩點(diǎn)的圓的圓心軌跡是線段[AB]的垂直平分線，進(jìn)而可知此圓不唯一，于是直線[CD]就是動(dòng)直線，再結(jié)合選項(xiàng)特征可知，答案應(yīng)確定的，即直線[CD]的斜率[k]為定值，于是解決問(wèn)題的辦法就有了.

解法1：如圖1所示，作點(diǎn)[A，B]關(guān)于[x]軸的對(duì)稱點(diǎn)[A1，B1]，由對(duì)稱性可知[A，A1，B，B1]四點(diǎn)共圓，所以點(diǎn)[A1，B1]即為[D，C]，所以[k=-kAB=2].

評(píng)析：“小題巧做”是考試中的常用策略.但考后學(xué)生很有必要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入思考，小題大做，看看有沒有一般方法.本題的突破口在于如何刻畫四點(diǎn)共圓.如果采取坐標(biāo)來(lái)刻畫的確很繁雜，利用幾何圖形性質(zhì)是簡(jiǎn)化解析問(wèn)題的重要途徑之一，尋求平面幾何性質(zhì)來(lái)幫助.

解法2：設(shè)直線[AB]與直線[CD]交于[P（x0，y0）]，直線[CD]的傾斜角為[α]，則

直線[CD]的參數(shù)方程為[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，]（[t]為參數(shù)），代入[y2=8x]中得[sin2α?t2+（2y0sinα-8cosα）?t+y02-8x0=0]，

所以[PC?PD=t1?t2=y02-8x0sin2α].若設(shè)直線[AB]的傾斜角為[β].同理得[PA?PB=y02-8x0sin2β].因?yàn)閇A，B，C，D]四點(diǎn)共圓，所以[PA?PB=PC?PD]，即[y02-8x0sin2β=y02-8x0sin2α]，所以[sinβ=sinα].由題意可知[α≠β]，所以[β=π-α]，故[kCD=tanα=-tanβ=-kAB=2].

評(píng)析：此解法利用相交弦定理將四點(diǎn)共圓做了等價(jià)轉(zhuǎn)化，同時(shí)又借助直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義溝通了傾斜角間的隱性關(guān)系繼而獲解.

解法3：設(shè)[lCD：y=kx+m]，利用曲線系方程[y2-8x+λ（2x+y-3）（kx-y+m）=0]，即[（1-λ）y2+2kλx2+λ（k-2）xy+（2λm-3kλ+8）x+λ（m+3）y-3mλ=0]，若其表示一個(gè)圓，則有[1-λ=2kλ≠0，λ（k-2）=0，]解得[k=2，λ=15.]

評(píng)析：該解法簡(jiǎn)潔明快，知識(shí)綜合運(yùn)用恰到好處.

三、追本溯源

題源1：（人教[A]版選修4-4“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”第38頁(yè)例4）如圖2所示，[AB，CD]是中心點(diǎn)為[O]的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為[P].兩弦[AB，CD]與橢圓長(zhǎng)軸的夾角分別為[∠1，∠2]，且[∠1=∠2].求證：[PA?PB=PC?PD].

本題不僅是一道運(yùn)用直線參數(shù)方程解決線段等積問(wèn)題的例題，同時(shí)本題的解法具有一般性，結(jié)論還可做進(jìn)一步探究和類比推廣.

題源2：（2011年高考大綱卷理科第21題）如圖3所示，已知[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[F]為橢圓[C：x2+y22=1]在[y]軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)[F]且斜率為[-2]的直線[l]與[C]交于[A]、[B]兩點(diǎn)，點(diǎn)[P]滿足[OA+OB+OP=0.]

（Ⅰ）證明：點(diǎn)[P]在C上;

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)[P]關(guān)于點(diǎn)[O]的對(duì)稱點(diǎn)為[Q]，證明：[A]、[P]、[B]、[Q]四點(diǎn)在同一圓上.

從上述聯(lián)考題來(lái)看，盡管對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)要求較高，但是其根源于教材，而又高于教材，對(duì)高考備考有很強(qiáng)的引領(lǐng)性.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)當(dāng)回歸課本，切實(shí)把握好課本中例題和習(xí)題的典范作用;對(duì)教師來(lái)說(shuō)，在高考備考教學(xué)中的啟示就是進(jìn)入二輪專題備考階段應(yīng)當(dāng)切實(shí)做好對(duì)教材中例題和習(xí)題的變式探究，依綱務(wù)本，做到“源于教材，高于教材”，為考題尋得源頭活水來(lái)，就可切實(shí)做到抓住問(wèn)題之源，順利解決問(wèn)題之流（衍生出的問(wèn)題），對(duì)提質(zhì)增效、活化思維起到事半功倍的作用.

四、引申拓展

解題是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)解題過(guò)程中快速提取信息是幫助很大的，而引申拓展則是解題經(jīng)驗(yàn)自覺積累的有效途徑.

性質(zhì)1 記拋物線：[y2=2px][（p>0）]上的兩相交弦[AB，CD]的傾斜角分別為[α，β]，則[A]、[B]、[C]、[D]四點(diǎn)共圓的充分必要條件為[α+β=π].

證明可以仿照解法2處理，這里不再贅述.事實(shí)上橢圓、雙曲線也有類似性質(zhì).

性質(zhì)2 記橢圓：[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]上的兩相交弦[AB，CD]的傾斜角分別為[α，β]，則[A]、[B]、[C]、[D]四點(diǎn)共圓的充分必要條件為[α+β=π].

證明：設(shè)直線[AB]與直線[CD]交于[P（x0，y0）]，則直線[AB]的參數(shù)方程為[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，]（[t]為參數(shù)），將其代入橢圓方程[x2a2+y2b2=1]中，得[（b2cos2α+a2sin2α）t2][+2（b2x0cosα+a2y0sinα）t+（b2x02+a2y02-a2b2）=0]，由于[b2cos2α+a2sin2α≠0]，且直線[AB]與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，因此方程有兩個(gè)根，設(shè)為[t1，t2]，則有[PA?PB=t1?t2=t1?t2=b2x02+a2y02-a2b2b2cos2α+a2sin2α].同理可得[PC?PD=b2x02+a2y02-a2b2b2cos2β+a2sin2β].故[A]、[B]、[C]、[D]四點(diǎn)共圓[?PA?PB=PC?PD?][b2x02+a2y02-a2b2b2cos2α+a2sin2α=b2x02+a2y02-a2b2b2cos2β+a2sin2β?][b2（cos2α-cos2β）=a2（sin2β-sin2α）?（a2-b2）（sin2β-sin2α）=0?sinα=sin β]且[α≠β]，[α][β∈（0，π）][?][α+β=π].

性質(zhì)3 記雙曲線： [x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]上的兩相交弦[AB，CD]的傾斜角分別為[α，β]，則[A]、[B]、[C]、[D]四點(diǎn)共圓的充分必要條件為[α+β=π].（證明仿上）

五、教學(xué)啟示

一道數(shù)學(xué)題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路.在教學(xué)中，用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，還能幫助不同程度的學(xué)生運(yùn)用自己的方法去解題.通過(guò)一題多解，分析比較，尋找到解題的最佳途徑和方法，這對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和積極培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力大有益處.在教學(xué)中，教師如能回歸基礎(chǔ)，深度解讀教材，在典型問(wèn)題的引領(lǐng)下，激活學(xué)生橫向思維，以學(xué)生發(fā)展為本，促進(jìn)動(dòng)態(tài)生成，就一定能提高高三數(shù)學(xué)教學(xué)的效率.這也是當(dāng)前落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）