淺議初中數(shù)學“學材再建構(gòu)”的實施

施獻

[摘? 要] 教學行為的有效展開，不僅要基于教材，還要變通教材，要將教材資源充分地開放、巧妙地整合、科學地再建構(gòu)，以此滿足所教學生的發(fā)展需要，也以此滿足教材價值的達成. 為此，在常態(tài)的教學行為中，“學材再建構(gòu)”成為當下常態(tài)備課和課堂研究的一項課題，也成為一項評價標準.

[關(guān)鍵詞] 學材;再建構(gòu);初中數(shù)學;價值

“學材再建構(gòu)”是指，教師依據(jù)學習目的，參照教學任務(wù)，在不否認大綱及教材的前提下，適當對各種主觀性和客觀性的學材進行增刪、重組，使之更適合學生的接受及發(fā)展. 其中，主觀性學材主要包括課標、課本、練習冊、教師指導(dǎo)用書等看得見的顯性資源，客觀性學材主要包括學生的已有知識水平、學生的學習態(tài)度、學生的個性特點、師生關(guān)系等不易“察覺”的隱性因素. 學材再建構(gòu)打破了傳統(tǒng)教學“照本宣科”的模式，是一種能夠真正實現(xiàn)自主學習、知識生成的教學方式. 下面筆者結(jié)合“相似三角形的性質(zhì)（1）”（蘇科版九年級下冊第六章）的設(shè)計及教學片段，就如何實施“學材再建構(gòu)”，談?wù)勛约旱南敕?

學材分析

相似三角形的性質(zhì)是在學生學習了相似三角形判定的基礎(chǔ)上從相反的角度探究兩個三角形的特殊關(guān)系，是相似三角形的重要內(nèi)容，也是整個初中數(shù)學中解決與相似有關(guān)的幾何問題的重要知識. 學習的內(nèi)容包括：相似三角形本身對應(yīng)邊、對應(yīng)角之間的關(guān)系，及派生出的對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、周長、面積之間的關(guān)系，課本將該部分內(nèi)容分為兩個課時，第一課時是相似性質(zhì)內(nèi)容的推導(dǎo)，包括相似多邊形的性質(zhì);第二課時則是相似性質(zhì)的實際運用.

學生已經(jīng)系統(tǒng)地學過了“全等三角形”一章，對由判定到性質(zhì)的思維角度、推導(dǎo)方式已有所了解，所以有關(guān)相似三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊之間的關(guān)系完全可以交由學生自主建構(gòu)，由相似三角形的性質(zhì)推導(dǎo)相似多邊形的性質(zhì)也可以由學生自主實現(xiàn)，但是有關(guān)對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、周長、面積之間的關(guān)系則需要教師的引導(dǎo).

學材重組

根據(jù)對教學內(nèi)容及學生的分析，筆者對學材進行了如下重組：

（1）將課本中對該部分內(nèi)容的劃分進行重新調(diào)整，即第一課時便完成相似三角形性質(zhì)的推導(dǎo)及簡單運用，第二課時則對此進形強化.

（2）將“相似多邊形的性質(zhì)”的推導(dǎo)移至第二課時，并且不花費時間來推導(dǎo)，而是以問題的形式呈現(xiàn)，讓學生自行領(lǐng)悟.

（3）相似三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的關(guān)系讓學生自主探究、自己歸納.

（4）以問題的形式引導(dǎo)學生探究相似三角形對應(yīng)高之比，進而推導(dǎo)對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線之比.

（5）以小組合作的形式讓學生探究相似三角形的周長及面積之比.

1. 類比遷移，引入新知

該環(huán)節(jié)是教學的引入環(huán)節(jié)，新舊知識類比是常用的引入方法. 進行類比，能讓學生體會到知識之間的聯(lián)系，從而找到本節(jié)課的學習方法與思維方向.

引入：由圖形的定義到判定定理的推導(dǎo)，再到圖形性質(zhì)的歸納，是研究幾何圖形的基本思路. 正如全等三角形，我們首先知道了全等三角形的定義，認識了全等三角形，接著學習全等三角形的多種判定方法，最后從另一個角度解讀圖形，對三角形的性質(zhì)進行推導(dǎo). 對于相似三角形，我們同樣可以用這樣的思路來進行探究.

問題1 如圖1，已知△ABC∽△A′B′C′，根據(jù)相似的定義，我們可以得到哪些結(jié)論？

（完成方式：學生獨立思考后自由回答）

生1：這兩個三角形的形狀一樣，大小不一樣.

生2：這兩個三角形的對應(yīng)邊之比相等.

生3：這兩個三角形的對應(yīng)角相等.

歸納：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，即對應(yīng)邊之比等于相似比.

（教師進行相應(yīng)的板書）

設(shè)計意圖 由全等三角形的學習過程引入教學，是為了讓學生感知知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，學會知識遷移;以簡單的問題展開教學，是為了讓學生對學習本節(jié)課的內(nèi)容充滿信心，同時讓學生找準學習本節(jié)課的方向，知道本節(jié)課需要研究的問題. 問題雖簡單，卻是本節(jié)課的重點. 以提問的方式讓學生自己總結(jié)而非灌輸，這樣能激發(fā)學生的學習主動性.

2. 解決問題，發(fā)現(xiàn)新知

該環(huán)節(jié)是讓學生運用簡單的知識，在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，凝練新知識，是一種知識的自然生成過程. 知識的生成過程即學生對學材的再建構(gòu)過程.

問題2 如圖2，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，你能求出它們的對應(yīng)高AD與A′D′之比嗎？請你用學過的知識解答這個問題.

生1：將AD與A′D′分別看成是△ABD與△A′B′D′的邊，由兩角對應(yīng)相等可以判定△ABD∽△A′B′D′. 再根據(jù)“相似三角形的對應(yīng)邊之比等于相似比”即可得到==k.

師：很好，你巧妙地將這兩條高看成是兩個三角形的邊，利用相似的判定及性質(zhì)準確地求出了AD與A′D′之比.

師（追問）：我們從這個問題中可以總結(jié)出什么結(jié)論呢？

生2：相似三角形的對應(yīng)高之比也等于相似比.

師：非常好，相似三角形的又一個性質(zhì)被我們發(fā)現(xiàn)了.

問題3 高是三角形中的特殊線段，我們知道，除了高以外，三角形中還存在著另外的特殊線段，那你是否還能發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論呢？

學生經(jīng)過思考、證明，發(fā)現(xiàn)了相似三角形對應(yīng)的角平分線、中線之比也等于相似比.

教師板書：相似三角形對應(yīng)高之比、對應(yīng)中線之比、對應(yīng)角平分線之比都等于相似比. 即相似三角形的對應(yīng)線段之比都等于相似比.

設(shè)計意圖 讓學生直接發(fā)現(xiàn)相似三角形的對應(yīng)線段之比等于相似比較為困難，因此以問題的方式進行引導(dǎo). 問題2的設(shè)置是對性質(zhì)1（即相似三角形對應(yīng)邊之比等于相似比）的簡單運用，教師只設(shè)置了一個問題，從問題解決的過程中得出結(jié)論并歸納，這些都是知識的自然生成過程. 學生是主體，這個過程體現(xiàn)了學生對學材的建構(gòu).

3. 合作互學，構(gòu)建新知

合作互學是實現(xiàn)自主學習的重要途徑. 學生通過異質(zhì)分組進行小組合作學習，能相互促進，相互影響，能利用小組的智慧凝練問題、構(gòu)建新知.

問題4 如圖3，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，那你能計算出的值嗎？

（完成方式：學生獨立完成，學生代表展示成果）

生1：我根據(jù)這兩個三角形的相似比為k，將AB，BC，CA分別用kA′B′，kB′C′，kC′A′來表示，代入原式，化簡后即可得到=k.

師：非常好，請分別用文字和符號表示你所得到的結(jié)論.

生1：相似三角形的周長之比等于相似比. 用符號表示為，如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，那么C ∶ C=k（教師進行相應(yīng)內(nèi)容的板書）.

問題5 你能否發(fā)現(xiàn)相似三角形中與相似比有關(guān)的其他元素之比呢？請和你的同伴一起探索.

（完成方式：小組合作完成，小組代表展示成果）

某小組的合作片段如下.

生1：我們已經(jīng)探究了相似三角形的邊、中線、高、角平分線、周長之比，還有什么沒有探究過呢？

生2：應(yīng)該還剩面積吧.

生3：對，我也覺得是面積. 相似三角形的面積之比也等于相似比.

生1：應(yīng)該也是這個結(jié)論吧.

生4：面積比怎么會和相似比相等呢？它們的高之比是相似比，底之比也是相似比，乘起來應(yīng)該是相似比的平方才對吧.

……

生1、生2、生3即刻在草稿紙中進行推導(dǎo)、證明，最終統(tǒng)一結(jié)論：相似三角形的面積之比等于相似比的平方.

各小組的展示內(nèi)容如下.

生2：我們小組發(fā)現(xiàn)了相似三角形的面積之比等于相似比的平方. 用符號表示為，如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，那么S ∶ S=k2.

（教師進行相應(yīng)內(nèi)容的板書）

生5：我們小組還發(fā)現(xiàn)了相似三角形中的對應(yīng)線段之比與相似比都是相等的，這個對應(yīng)線段不一定是中線、高、角平分線，可以是一條邊的三等分點與相對頂點的連線等.

生6：我們小組還發(fā)現(xiàn)，將一組相似三角形的兩個三角形分別以相應(yīng)中位線進行分割，分成一個小三角形和一個四邊形，這兩個小三角形是相似的，這兩個四邊形也是相似的，并且它們的相似比和原來的大三角形的相似比相等.

……

設(shè)計意圖 該環(huán)節(jié)設(shè)置的兩個問題，問題4具有一定的引導(dǎo)性，能引導(dǎo)學生的思考方向，問題5是開放性問題，能讓學生通過問題4的指引找到思考問題的方向，同時也給學生提供了拓展的平臺，讓學生自己主宰知識，凸顯了“學材再建構(gòu)”的實質(zhì).

4. 簡單應(yīng)用，鞏固新知

“以題固知”是新授課的重要環(huán)節(jié)，目的是通過解決問題達到對所學知識的鞏固. 新授課中的試題以鞏固知識為主，因此難度不需要太深，應(yīng)以基礎(chǔ)題為主. 下面是“相似三角形的性質(zhì)（1）”的課堂練習題.

1. 已知兩個相似三角形的相似比為2 ∶ 3，則它們的對應(yīng)角平分線之比為______，周長之比為______，面積之比為______.

2. 已知△ABC∽△A′B′C′，且BC ∶ B′C′=3 ∶ 4. 若△ABC的周長為9 cm，則△A′B′C′的周長為______cm;若△A′B′C′的面積是16 cm2，那么△ABC的面積是______cm2.

3. 將三角形的每條邊都擴大到原來的5倍，那么新三角形的面積將擴大為原來三角形面積的______倍.

4. 順次連接三角形三邊的中點所構(gòu)成的三角形的高與原三角形對應(yīng)的高之比為_______.

5. 如圖4，DE∥BC，AG⊥BC于點G，交DE于點F. 若AD=6，BD=4，AG=8，求AF的長.

設(shè)計意圖 本節(jié)課是“相似三角形的性質(zhì)”的第一課時，所以選取教材中的簡單問題，將深一層的問題移至第二課時，這樣更符合學生對知識的接受規(guī)律.

“學材再建構(gòu)”的過程有時是顯性的，在教師的掌控之中，有時又是隱性的，教師無法察覺，但它卻真實存在于教學過程中. 建構(gòu)的過程有時可以預(yù)設(shè)，即教師根據(jù)學材進行計劃和設(shè)想，有時無法預(yù)設(shè)，而是在學生的學習過程中自然生成的. 學生的自學、小組的合作是“學材再建構(gòu)”的載體，因此教師在教學中要將關(guān)注點置于學生的參與度與主動性上，只有這樣，才能凸顯“學材再建構(gòu)”的實質(zhì)，也才能更好地服務(wù)學生.