連續(xù)統(tǒng)假設(shè)下 Sierpiński 集的構(gòu)造及其性質(zhì)研究

□孟戀忱

一、研究分析

通過以下分析可以看到，Vitali集包含不平凡的可測子集。

定理1:Vitali集有不可數(shù)零測子集。

由于下述定理，為找到只有平凡可測子集的不可數(shù)集，只能構(gòu)造一種不同于Vitali集的不可測集。

定理2:任何不可數(shù)可測集都有不可數(shù)零測子集。

為給出一種構(gòu)造方法，需要下面的引理。

定理3(Sierpiński集)：設(shè)實(shí)軸上的集合A具有正的Lebesgue外測度，則存在A的不可數(shù)子集S，S與任一零測集的交集均為至多可數(shù)集。

證：記B為全體Borel零測集的集族，由引理知B的勢為c=1，由良序定理，存在B到首個不可數(shù)序數(shù)(即全體可數(shù)序數(shù))ω1的序同構(gòu)，以可數(shù)序數(shù)標(biāo)記B中的元素，表示為B={Rβ|β<ω1}。下面歸納的定義點(diǎn)集S={Xα|α<ω1}。設(shè)序數(shù)α<ω1，且Sα={Xβ|β<α}已知，由于α是可數(shù)序數(shù)，故∪β<αRβ是零測集，其與至多可數(shù)點(diǎn)集Sα之并也為零測集，于是可在非零測集A((∪β<αRβ)∪Sα)中選取一點(diǎn)Xα。根據(jù)上述構(gòu)造，顯然有S?A，并且通過Xα?Sα可以看出Xα兩兩相異，從而S與ω1有相同的勢。對任一零測集E，存在零測Gδ集G?E，由于G∈B，存在可數(shù)序數(shù)γ使G=Rγ。但對每個α>γ都有Xα?∪β<αRβ，從而Xα?Rγ，最后得到S∩E?S∩Rγ?Sγ+1為至多可數(shù)集。

由以上方法構(gòu)造的集合S沒有不可數(shù)零測子集，結(jié)合定理2可知S是不可測集，并且沒有不可數(shù)可測子集，只有平凡的可測子集，滿足這個性質(zhì)的集合稱作Sierpiński集(可以等價的定義為可測子集均可數(shù)的不可數(shù)集，或是不可數(shù)子集均具有正外測度的正外測度集，證明是顯然的，在此略去)。在上述證明中，如果連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立，則無法保證∪β<αRβ是零測集，也就無法構(gòu)造出S。

可以自然的得到以下性質(zhì)。

定理4：Sierpiński集的不可數(shù)子集也是Sierpiński集。

證：顯然。

定理5：Sierpiński集的可數(shù)并也是Sierpiński集。

二、結(jié)語