淺談如何設(shè)計(jì)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的專項(xiàng)訓(xùn)練

錢(qián)良均　葉春燕

【摘要】教師設(shè)計(jì)開(kāi)展專項(xiàng)訓(xùn)練，對(duì)提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力具有特別的作用.設(shè)計(jì)專項(xiàng)訓(xùn)練的主要原則是針對(duì)性，也就是教師應(yīng)圍繞訓(xùn)練的核心目的，設(shè)計(jì)具有較強(qiáng)針對(duì)性的教學(xué)內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生積極參與到訓(xùn)練過(guò)程中去，這樣才能保證“專項(xiàng)”訓(xùn)練的“專門(mén)”效果.

【關(guān)鍵詞】專項(xiàng)訓(xùn)練;有效性;變式訓(xùn)練;問(wèn)題串;課堂

所謂“專項(xiàng)訓(xùn)練”，是指教師組織學(xué)生進(jìn)行以提高解題能力的核心目標(biāo)的一系列有針對(duì)性的訓(xùn)練.包括考查基礎(chǔ)知識(shí)的診斷性訓(xùn)練，提高解題速度的限時(shí)性訓(xùn)練，把握易錯(cuò)易混知識(shí)的辨析性訓(xùn)練，綜合運(yùn)用知識(shí)、思想方法的分析性訓(xùn)練，解決典型性問(wèn)題的指向性訓(xùn)練以及迅速?gòu)男畔⑿蛦?wèn)題中提取數(shù)學(xué)關(guān)系的提煉性訓(xùn)練.其原理和作用就猶如競(jìng)技體育中教練為運(yùn)動(dòng)員設(shè)計(jì)制訂一系列的專項(xiàng)訓(xùn)練一樣.

一、注重考查基礎(chǔ)知識(shí)的診斷性訓(xùn)練

經(jīng)過(guò)第一階段對(duì)整個(gè)初中階段所學(xué)知識(shí)的全面梳理，學(xué)生較為系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了基礎(chǔ)知識(shí)，這比新授課時(shí)的掌握情況有了新的提高.如何診斷學(xué)生的復(fù)習(xí)效果，教師宜設(shè)計(jì)編制一些基礎(chǔ)知識(shí)的診斷性訓(xùn)練（也可以回歸教材，選用一些教材中的典型例、習(xí)題），難度不宜過(guò)大，知識(shí)的綜合程度不宜過(guò)高，重點(diǎn)是讓學(xué)生根據(jù)問(wèn)題條件熟練地重現(xiàn)所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)，準(zhǔn)確地解決問(wèn)題.這類問(wèn)題在中考試題中所占比重很大，教師和學(xué)生都要引起足夠重視.

例1 計(jì)算：48-2-1+|3-2|-3tan30°.（改編于紹興市2008年中考試題17（1），主要考查算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值等）

二、提高解題速度的限時(shí)性訓(xùn)練

這一點(diǎn)要求對(duì)學(xué)生進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練，中考要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)解答給定的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生解題速度提出了相應(yīng)的要求.常有學(xué)生抱怨平時(shí)數(shù)學(xué)“學(xué)得還可以”，就是到了考試就手忙腳亂，甚至來(lái)不及做完整份試卷.避免這種現(xiàn)象的一個(gè)好方法是教師在復(fù)習(xí)階段設(shè)計(jì)開(kāi)展一些以提高解題速度為目的的限時(shí)性訓(xùn)練.教師可以設(shè)計(jì)編制一些難度并不太高的試題，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間（如10分鐘或20分鐘）內(nèi)解決，題量可視難度、計(jì)劃時(shí)間等因素而定（如設(shè)計(jì)5～8個(gè)選擇、填空題，或1～2個(gè)解答題讓學(xué)生在10分鐘內(nèi)完成）.這類訓(xùn)練的試題設(shè)計(jì)可與基礎(chǔ)性診斷訓(xùn)練相仿，但訓(xùn)練目的不同，從難度上講也基本相當(dāng)，但限時(shí)性訓(xùn)練難度可稍低一些，以提升速度為主要目的.

三、把握易錯(cuò)易混知識(shí)的辨析性訓(xùn)練

初中數(shù)學(xué)中有許多知識(shí)教師強(qiáng)調(diào)了多次，而學(xué)生仍然容易犯錯(cuò)或混淆，也就是我們通常所說(shuō)的“陷阱”.為避免學(xué)生在同一地方摔倒兩次以上，教師可以設(shè)計(jì)專項(xiàng)訓(xùn)練題，在課堂上專門(mén)安排時(shí)間讓學(xué)生訓(xùn)練，可以明確告訴學(xué)生本次訓(xùn)練的都是“陷阱”題，就是要考查學(xué)生的觀察和辨析能力，以此來(lái)提高學(xué)生的警惕性.

例2 4的平方根是.（需要計(jì)算4=2，再求其平方根，易與4的平方根混淆）

例3 等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則它的第三邊長(zhǎng)為.（需考慮3和4都可作為腰長(zhǎng)，易遺漏情況）

例4 將根式a-1a外的a移入根號(hào)內(nèi)的結(jié)果為.（需考慮隱含條件a<0，易想當(dāng)然地認(rèn)為a>0）

四、綜合運(yùn)用知識(shí)、思想方法的分析性訓(xùn)練

統(tǒng)觀歷年中考試題，總有3～5道題目屬于綜合性問(wèn)題.這類試題常將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法綜合在一起，有一定的難度，要求學(xué)生能綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)和思想方法求解，學(xué)生常感到無(wú)從著手，甚至“望題興嘆”.在復(fù)習(xí)階段，教師不妨選擇1～2道綜合問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生一起分析，體會(huì)“分析問(wèn)題—聯(lián)系知識(shí)—轉(zhuǎn)化遷移—逐步求解”的解題過(guò)程，不斷提高綜合解題能力.其重點(diǎn)應(yīng)放在如何分析、尋找正確的解題思路，當(dāng)?shù)贸鏊悸芬院?，后續(xù)工作可讓學(xué)生獨(dú)立思考解答.

例5 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（2，0），（1，33）.將△OAC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置.拋物線y=ax2-23x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).

（1）求a的值，點(diǎn)B的坐標(biāo);（2）若點(diǎn)P是線段OA上的點(diǎn)，且∠APD=∠OAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo);（3）若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，以P，A，D為頂點(diǎn)作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點(diǎn)在y軸上，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出答案即可）.（2007年紹興中考試題24）

分析 （1）“將△OAC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置”四邊形OABC為平行四邊形BC∥OA，BC=OAyB=yC=33，xB=xC+2=3;“拋物線y=ax2-23x 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A”將A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得a=3.（2）“點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)”D（1，-3）;D（1，-3）B（3，33）tan∠OAD=tan∠AOB=3∠OAD=∠AOB=60°;∠OAD=∠AOB∠APD=∠OAB△APD∽△OAB，進(jìn)而可求得點(diǎn)P坐標(biāo).（3）“以P，A，D為頂點(diǎn)作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點(diǎn)在y軸上”點(diǎn)P（-1，0）或（1，0）或（3，0）.

五、解決典型幾何問(wèn)題的指向性訓(xùn)練——幾何變異理論

立足于舉一反三，一題多變.中考數(shù)學(xué)試題的類型極為豐富，題型繁多，但絕不是無(wú)章可循.有些問(wèn)題作為初中數(shù)學(xué)的?？肌⒈乜碱}，多年來(lái)基本以某種相對(duì)固定的模式呈現(xiàn).對(duì)此類問(wèn)題，一方面，教師在平時(shí)教學(xué)中就應(yīng)對(duì)學(xué)生提出模式化的解題意見(jiàn)，就如體操、跳水比賽中的規(guī)定動(dòng)作，要做到準(zhǔn)確到位;另一方面，應(yīng)該在復(fù)習(xí)過(guò)程中做針對(duì)性的呈現(xiàn)，可以明確告訴學(xué)生是典型的問(wèn)題，考查學(xué)生能否在最短時(shí)間內(nèi)重現(xiàn)解題思路.

例6 如圖所示，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE，BG.求證：BG=CE.（浙教版八年級(jí)下冊(cè)P147作業(yè)題）

本題是初中數(shù)學(xué)中極為常見(jiàn)的典型問(wèn)題，其關(guān)鍵是先得到∠EAC=∠BAG，然后利用“邊角邊”證明△EAC≌△BAG.初中數(shù)學(xué)中有許多以本題為原型的變式題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生舉一反三地加以比較、類比分析，形成系統(tǒng).

變式1 如圖所示，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊向外作正三角形ADB和正三角形ACE，連接CD，BE.求證：CD=BE.

變式2 上述第1題中求證：BG⊥CE;第2題中求CD與BE所成的角.

變式3 已知，如圖所示，△ABC是銳角三角形.分別以AB，AC為邊向外側(cè)作等邊三角形ABM和等邊三角形ACN.D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)E.求證：DE=FE.

六、解決典型函數(shù)綜合問(wèn)題的指向性訓(xùn)練——函數(shù)變異理論課堂實(shí)錄

中考對(duì)二次函數(shù)的考查仍然是一個(gè)主要的方向，二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中與幾何的完美結(jié)合，可以充分體現(xiàn)函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，以及分類、變換思想，因此，也是中考中考查學(xué)生能力的最好載體.

“二次函數(shù)背景下的三角形面積問(wèn)題探索”教學(xué)過(guò)程：

◆預(yù)習(xí)反饋：

1.（2007年溫州）已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的正半軸交于B，C兩點(diǎn)，且BC=2，S△ABC=3，那么c=.

2.（2010年寧波）如圖所示，已知二次函數(shù)y=-12x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)A（2，0），B（0，-6）兩點(diǎn).

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.

（2）設(shè)該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA，BC，求△ABC的面積為.

3.（改編自2010年山東）如圖所示，拋物線y=-x2+2x+3的頂點(diǎn)為C，交x軸于點(diǎn)A點(diǎn)和B點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D.求△ABD的面積為，△ABC的面積為，△ADC的面積為，△BDC的面積為.

答案 1.3

2.（1）y=-12x2+4x-6 （2）6

3.S△ABD=6，S△ABC=8，S△ADC=3，S△BDC=1.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)對(duì)中考真題的再現(xiàn)，一方面，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，吸引學(xué)生的注意力;另一方面，為本節(jié)課的探索——三角形面積問(wèn)題，奠定基礎(chǔ).

◆課堂導(dǎo)學(xué)：

例7 如圖所示，拋物線y=-x2+2x+3的頂點(diǎn)為C，交x軸于點(diǎn)A點(diǎn)和B點(diǎn)，交y軸于D點(diǎn).

（1）在拋物線上是否存在除點(diǎn)D以外的點(diǎn)P，使得△ABP與△ABD的面積相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 通過(guò)學(xué)生的探究，得出已知三角形一條確定的邊與面積的條件下，第三點(diǎn)在拋物線上是否存在的問(wèn)題.此題目的在于引導(dǎo)學(xué)生借助課前預(yù)習(xí)中出現(xiàn)的知識(shí)探究方法，將單純的三角形面積問(wèn)題融入二次函數(shù)圖像中，學(xué)生操作幾何畫(huà)板，初步探索點(diǎn)的位置，從而歸納出尋找此類點(diǎn)是否存在的一般方法.

復(fù)習(xí)1 已知三角形一邊及其面積，第三頂點(diǎn)在平行于底邊且距離等于高的兩條平行線上.

答案 有三個(gè)點(diǎn)P1（2，3），P2（-7+1，-3），P3（7+1，-3）.

變式一

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP的面積是△ABD的面積的2倍？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 三角形底邊不變，讓學(xué)生探索出三角形面積之比等于高之比，從而能夠確定存在的三角形的高，并確定其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.

答案 有兩個(gè)點(diǎn)P1（-10+1，-6），P2（10+1，-6）.

◆當(dāng)堂導(dǎo)練：

變式二

在例7的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP的面積是△ABD的面積的13？若存在，請(qǐng)指出有個(gè)滿足條件的P點(diǎn);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 改變?nèi)切蔚拿娣e倍數(shù)關(guān)系，不改變底邊，讓學(xué)生再次用學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行自我探究.此題不計(jì)算，學(xué)生口答點(diǎn)的個(gè)數(shù).

答案 有四個(gè)點(diǎn)P1（-3+1，1），P2（3+1，1），P3（-5+1，-1），P2（5+1，-1）.

就滿足條件而言，對(duì)前面問(wèn)題點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行歸納：用幾何畫(huà)板演示四個(gè)交點(diǎn)、三個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn).

到此之前，我們所討論的三角形底邊都在x軸上，只需過(guò)滿足條件的位置作x軸的平行線，就可以很容易找到符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

變式三

（4）在拋物線上是否存在除點(diǎn)B以外的點(diǎn)P，使得△ADP與△ADB的面積相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 改變?nèi)切蔚牡走叄寣W(xué)生順勢(shì)探索如何確定滿足條件的點(diǎn)的位置，并與前面的問(wèn)題進(jìn)行類比，歸納解題的通法.

復(fù)習(xí)2 在直角坐標(biāo)系中，兩直線平行，斜率相等.

答案 一個(gè)點(diǎn)P（4，-5）

變式四

（5）（2010年威海）在例題的拋物線上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)P，使得△ADP與△ADC的面積相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 將問(wèn)題進(jìn)一步升華，引導(dǎo)學(xué)生站在一個(gè)更高的位置認(rèn)識(shí)二次函數(shù)與三角形面積問(wèn)題，更有利于形成學(xué)生的思維品質(zhì)，為后繼學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

答案 P1（2，3），P23-172，-1+172，P33+172，-1+172.

◆課后思：本節(jié)課你有哪些收獲？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：1.鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，談自己的體會(huì)，學(xué)生可暢所欲言，組內(nèi)外成員可做適當(dāng)補(bǔ)充，進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的知識(shí).

2.提煉本節(jié)課的數(shù)學(xué)基本思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、類比思想和歸納推理思想.

◆課后練習(xí)（課外探索）：

1.（改編自2010年綿陽(yáng)）點(diǎn)K在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADK的面積最大？求出最大面積.

2.請(qǐng)你在課后收集近三年同類型的中考題，選擇其中兩道做在作業(yè)本上.

教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明：

（一）設(shè)計(jì)理念

最近幾年中考題中，有不少三角形面積問(wèn)題與二次函數(shù)相結(jié)合的題目，引起了廣大初中數(shù)學(xué)教師的重視.因?yàn)槎魏瘮?shù)與三角形面積都是教材的重點(diǎn)，因此，我對(duì)這兩種重要內(nèi)容的結(jié)合就格外重視.本節(jié)課就是通過(guò)不斷地變式訓(xùn)練，要求學(xué)生會(huì)觀察問(wèn)題，找到解決問(wèn)題的本質(zhì)，提升學(xué)生識(shí)圖的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和解題能力，力爭(zhēng)實(shí)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的可持續(xù)“發(fā)展”.

（二）解決問(wèn)題的策略

在教學(xué)中，積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與觀察、交流、歸納等探索活動(dòng)，給學(xué)生充分的思考交流時(shí)間，同時(shí)不忘對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生建立知識(shí)體系，遷移問(wèn)題，找到解決問(wèn)題的一般方法.

總而言之，在進(jìn)行這些專題復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)據(jù)歷年中考試卷命題的特點(diǎn)精心選擇一些新穎的、有代表性的題型進(jìn)行專題訓(xùn)練，就中考的特點(diǎn)可以從以下幾個(gè)方面收集一些資料進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練：圍繞實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題，突出科技發(fā)展，信息資源的轉(zhuǎn)化的圖表信息題，體現(xiàn)自學(xué)能力考查的閱讀理解題，考查學(xué)生應(yīng)變能力的圖形變化題、開(kāi)放性試題，考查學(xué)生思維能力、創(chuàng)新意識(shí)的歸納猜想，操作探究性試題，幾何代數(shù)綜合型試題等.在進(jìn)行這些專題復(fù)習(xí)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)側(cè)面去展開(kāi)，并將近幾年中考題按以上專題進(jìn)行歸類、分析和研究，真正把握其命題方向和規(guī)律，然后制訂應(yīng)試對(duì)策.初步形成應(yīng)試技巧，為下一步的“強(qiáng)化訓(xùn)練”復(fù)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).