高中解析幾何簡(jiǎn)化計(jì)算之點(diǎn)乘雙根法

陳俊健

【摘要】高中解析幾何在求解圓錐曲線與直線問(wèn)題的時(shí)候，通常需要聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理去求解.利用韋達(dá)定理進(jìn)行運(yùn)算求解時(shí)，稍不注意就容易出錯(cuò).在求解點(diǎn)乘或者斜率乘積為定值，甚至求x1x2，y1y2的時(shí)候，我們可以改進(jìn)解法，引入點(diǎn)乘雙根法，避開(kāi)韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化計(jì)算，減少失誤.

【關(guān)鍵詞】解析幾何;點(diǎn)乘雙根法;簡(jiǎn)化計(jì)算

我們知道當(dāng)二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的時(shí)候，可以寫成雙根的形式：y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）.在解析幾何中，出現(xiàn)PA·PB等于常數(shù)，可用點(diǎn)乘雙根法（其中P為已知點(diǎn)，A，B為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)）.方法如下：聯(lián)立x2a2+y2b2=1，y=kx+m， 可得b2x2+a2（kx+m）2-a2b2=（a2k2+b2）（x-x1）（x-x2），接著對(duì)x用賦值法即可得到x1x2，y1y2或者（x1+t）（x2+t），代入PA·PB的等式求解即可.

點(diǎn)乘雙根法對(duì)比常規(guī)解法，其優(yōu)點(diǎn)在于，避開(kāi)利用韋達(dá)定理進(jìn)行繁雜計(jì)算的過(guò)程，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算、提高解題速度的效果，下面舉例說(shuō)明.

例1 （2018年西南四省名校高三第一次大聯(lián)考）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），過(guò)F且與x軸垂直的弦長(zhǎng)為3.

（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）直線l過(guò)點(diǎn)F與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)x軸上是否存在點(diǎn)P，使PA·PB為定值？若存在，求出P的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

解 （1）易得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1;

（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立x24+y23=1，y=k（x-1），

得3x2+4k2（x-1）2-12=（3+4k2）（x-x1）（x-x2）.（Ⅰ）

設(shè)P（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

則PA=（x1-m，y1），PB=（x2-m，y2），

PA·PB=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-1）（x2-1）.（Ⅱ）

在（Ⅰ）中令x=m得

（x1-m）（x2-m）=3m2+4k2（m-1）2-123+4k2.（Ⅲ）

在（Ⅰ）中令x=1得（x1-1）（x2-1）=-93+4k2.（Ⅳ）

把（Ⅲ）（Ⅳ）代入（Ⅱ）并整理得

PA·PB=（4（m-1）2-9）k2+（3m2-12）4k2+3，

所以（4（m-1）2-9）4=3m2-123，得m=118，

此時(shí)PA·PB=-13564.

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A1，32，B1，-32，P118，0，仍有PA·PB=-13564.

綜上所述，P的坐標(biāo)為P118，0.

評(píng)析 在（Ⅰ）式中聯(lián)立直線與圓錐曲線方程消y后，一定要把式子寫成雙根的形式，才能接著往后進(jìn)行賦值求解.

例2 （2018年桂林市、賀州市高三聯(lián)合調(diào)研考試）已知點(diǎn)1，32在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，且橢圓的離心率為12.

（1）求橢圓C的方程.

（2）若M為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上不同的兩點(diǎn)（均異于M）且滿足直線MA與MB斜率之積為14.試判斷直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是，說(shuō)明理由.

解 （1）易得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1;

（2）當(dāng)直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m（k≠0），聯(lián)立x24+y23=1，y=kx+m， 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=（3+4k2）（x-x1）（x-x2）.（Ⅰ）

由題意有M（2，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

kMAkMB=y1y2（x1-2）（x2-2）=（kx1+m）（kx2+m）（x1-2）（x2-2）=k2x1+mkx2+mk（x1-2）（x2-2）=14.（Ⅱ）

在（Ⅰ）中令x=2得

（x1-2）（x2-2）=16km+16k2+4m23+4k2.（Ⅲ）

在（Ⅰ）中令x=-mk得

x1+mkx2+mk=3m2k2-123+4k2.（Ⅳ）

把（Ⅲ）（Ⅳ）代入（Ⅱ）并解得m=-2k或者m=4k.

當(dāng)m=-2k時(shí)，直線AB的方程為y=k（x-2）過(guò)定點(diǎn)（2，0），與點(diǎn)M重合，不符合題意，舍掉.

當(dāng)m=4k時(shí)，直線AB的方程為y=k（x+4）過(guò)定點(diǎn)（-4，0）.綜上所述，直線AB過(guò)定點(diǎn)（-4，0）.

評(píng)析 例2（Ⅱ）中需要求y1y2，但在（Ⅰ）式?jīng)]法用賦值法得到（kx1+m）（kx2+m）.因此需要把x1和x2的系數(shù)k提到括號(hào)前面，得到y(tǒng)1y2=k2x1+mkx2+mk即可.

通過(guò)上面兩道例題，我們可以比較詳細(xì)地了解到點(diǎn)乘雙根法的整個(gè)過(guò)程與優(yōu)點(diǎn).例1展示了常規(guī)的點(diǎn)乘雙根法，例2展示在處理過(guò)程中需要注意的細(xì)節(jié).請(qǐng)讀者自行用傳統(tǒng)法求解上述兩道例題，對(duì)比點(diǎn)乘雙根法的優(yōu)點(diǎn).