馬建明
摘 要:物理問題的極值是高考考察數(shù)學(xué)能力的常考的一種題型之一,是高考物理數(shù)學(xué)能力的重要體現(xiàn)。掌握極值方法能提高解題能力、提高解題速度及準確率。常見求極值方法有三角函數(shù)法、二次函數(shù)極值法、極限法、基本不等式法(均值不等式法)、求導(dǎo)法等。本文就平時物理教學(xué)中所涉及的平拋運動應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求極值的題目進行舉例剖析。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)方法 平拋運動 求極值 應(yīng)用
一、二次函數(shù)極值法求平拋運動的水平最遠距離
例1.如圖,半圓形光滑軌道固定在水平地面上,半圓的直徑與地面垂直。一小物塊以速度 從軌道下端滑入軌道,并從軌道上端水平飛出,小物塊落地點到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān),此距離最大時。對應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度大小為g)。
解:物塊由最低點到最高點根據(jù)機械能守恒定律及平拋運動規(guī)律的水平位移為: ,由數(shù)學(xué)知識可知,當(dāng) 時,x最大且 ,故選B。
總結(jié):根據(jù)動能定理得出物塊到達最高點的速度,結(jié)合高度求出平拋運動的時間,從而得出水平位移的表達式,結(jié)合表達式運用二次函數(shù)求極值的方法得出距離最大時對應(yīng)的軌道半徑。
就本題的極值還可以采用求導(dǎo)法求取。對水平位移表達式: ,對x求導(dǎo)則有: 。
再如:一小物塊以速度v 0=10m/s沿光滑地面滑行,然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺上并由高臺上飛出,如圖所示,問高臺的高度多大時,小物塊飛行的水平距離s最大?這個距離是多少?(g取10m/s2)
解:設(shè)物體從高臺上飛出的速度為v,則由機械能守恒定律可得 ,聯(lián)立平拋運動規(guī)律的水平位移為: ,則當(dāng) 時s最大為5m。
總結(jié):本題由平拋規(guī)律及機械能守恒定律得到水平距離表達式,再利用二次函數(shù)求極值方法求得s的最大值。
二、基本不等式(均值不等式)求平拋運動動能極值
例2.豎直平面內(nèi)有一個四分之一圓弧AB,OA為水平半徑,現(xiàn)從圓心O處以不同的初速度水平拋出一系列質(zhì)量相同的小球,這些小球都落到圓弧上,不計空氣阻力,小球落到圓弧上時的動能( )
A.越靠近A點越大 B.越靠近B點越大
C.從A到B先減小后增大 D.從A到B先增大后減小
解:設(shè)小球落到圓弧上時下落豎直高度為y,水平位移為x,動能為Ek,小球平拋動的初速度為v0,圓弧AB的半徑為R。則由平拋運動得: ,聯(lián)立幾何關(guān)系以及根據(jù)動能定理聯(lián)立得: ,當(dāng) ,即 時, 有最小值,則此時Ek最小,因此小球落到圓弧上時的動能從A到B先減小后增大,故C正確。
本題先應(yīng)用平拋規(guī)律和圓方程以及動能定理推理出動能表達式,再應(yīng)用基本不等式(均值不等式)求取極值。
再如:探險隊員在探險時遇到一山溝,山溝的一側(cè)豎直,另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀。此隊員從山溝的豎直一側(cè),以速度v沿水平方向跳向另一側(cè)坡面,如圖所示以溝底的O點為原點建立坐標(biāo)系Oxy。已知山溝豎直一側(cè)的高度為2h,坡面的拋物線方程為 ,探險隊員的質(zhì)量為m,人視為質(zhì)點,忽略空氣阻力,重力加速度為g。則:此人水平跳出的速度為多大時,他落在坡面時的動能最小?動能的最小值為多少?
解:設(shè)探險隊員跳到坡面上時水平位移為x,豎直位移為H,由平拋運動規(guī)律、動能定理得以及幾何關(guān)系( ),再聯(lián)立坡面拋物線方程 ,得: 。令 ,則 ,取n=1,即 時,動能有最小值為: 。
總結(jié):本題先應(yīng)用平拋規(guī)律和拋物線方程以及動能定理推理出動能表達式,再利用換元得到動能表達,最后應(yīng)用基本不等式(均值不等式)求得極值。
三、求導(dǎo)和均值不等式求電場中類平拋運動的速度極值
例3.如圖所示,空間存在水平向右、場強大小為E的勻強電場,在豎直內(nèi)有一個半徑為R的圓、圓心為O,在O點把一個電子豎直向上以不同的初速度拋出,電子質(zhì)量為m、電荷量為-e,不計重力,求電子經(jīng)過圓O到達圓周時的最小速度。
解:電子做類平拋運動,由規(guī)律可得其運動拋物線軌道方程 ,代入電場中圓的方程得到電子打到圓上的位置坐標(biāo): ,應(yīng)用求根公式解得: <1>負值不符合物理意義,舍去。
對電子從拋出到它達圓周P點,據(jù)動能定理: <2> 聯(lián)立兩式得: <3>,令 得: <4>,對u求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零,則有: ,得 時,小球在打在P點時有最小速度,代入<3>解出最小速度為: ,解得: 。
結(jié)語
用電子的類平拋規(guī)律,導(dǎo)出軌跡方程,在結(jié)合圓方程和動能定理進行推理得到速度表達式,再利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)方法和均值不等式求得極值。
總而言之,物理的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是評價學(xué)生綜合能力的一個重要參數(shù),作為教師要注意研究和持續(xù)研究,平時要注意收集相關(guān)資料進行再研究,注意平時教學(xué)中應(yīng)用的積累以提升自身能力水平,以此更好的幫助學(xué)生在數(shù)理方法的建模、促進學(xué)生的物理應(yīng)用數(shù)學(xué)能力。
參考文獻
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[2]王爍燚.解方程在平拋運動綜合題中的應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航(中旬),2017(02):48.