一題多解與一題多變在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

張銳利

摘 要：數(shù)學(xué)，是一門自然學(xué)科。對于所有的高中生來說，要學(xué)好這門學(xué)科，卻不是一件容易的事。大多數(shù)高中生對數(shù)學(xué)的印象就是枯燥、乏味、沒有興趣。但由于高考“指揮棒”的作用，又不得不學(xué)?！霸鯓硬拍軐W(xué)好數(shù)學(xué)？”成了學(xué)子們問得最多的問題。而怎樣回答這個問題便成了教師們的難題。很多人便單純的認(rèn)為要學(xué)好數(shù)學(xué)就是要多做題，見的題多了，做的題多了，自然就熟練了，成績就提高了！于是，“題海戰(zhàn)術(shù)”便受到很多教育工作者的青睞。熟話說，“熟能生巧”，當(dāng)然，多做體肯定對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提高有一定的好處。但長期這樣，只會使數(shù)學(xué)越來越枯燥，讓學(xué)生越來越厭煩，于是出現(xiàn)厭學(xué)、抄作業(yè)等現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：一題多解;基本思想;練習(xí)和習(xí)題

對于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)來說，教學(xué)過程的重點(diǎn)不外乎為：講解定義推導(dǎo)公式，例題演練，練習(xí)，及習(xí)題的安排。下面就一題多解與一題多變在教學(xué)中的運(yùn)用談?wù)勎覀€人的幾點(diǎn)看法。

一、在例題講解中運(yùn)用一題多解和一題多變

在例題講解中運(yùn)用一題多解和一題多變，就不用列舉大量的例題讓學(xué)生感到無法接受。而是從一個題中獲得解題的規(guī)律，技巧，從而舉一反三。

下面僅舉一例進(jìn)行一題多解和一題多變來說明：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示例。

解法一：（函數(shù)思想）由x+y=1得y=1-x，則

x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-1/2）2+1/2

由于x∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知

當(dāng)x=1/2時，x2+y2取最小值1/2;當(dāng)x=0或1時，x2+y2取最大值1。

評注：函數(shù)思想是中學(xué)階段基本的數(shù)學(xué)思想之一，揭示了一種變量之間的聯(lián)系，往往用函數(shù)觀點(diǎn)來探求變量的最值。對于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法。解決函數(shù)的最值問題，我們已經(jīng)有比較深的函數(shù)理論，函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用等都可以求函數(shù)的最值。

解法二：（三角換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)

x=cos2θ，y=sin2θ ? 其中θ∈[0，π/2]

則x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ

=1-1/2（2sinθcosθ）2=1-1/2sin22θ

=1-1/2×（1-cos4θ）/2=3/4+ 1/4cos4θ

于是，當(dāng)cos4θ=-1時，x2+y2取最小值1/2;

當(dāng)cos4θ=1時，x2+y2取最小值1。

評注：三角換元思想也是高中數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，通過三角換元就將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式變形后來解決，而三角恒等變形卻有著一系列的三角公式，所以運(yùn)用三角換元解決某些問題往往比較方便。

解法三：（對稱換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)

x=1/2+t， ?y=1/2-t，其中t∈[-1/2，1/2]

于是，x2+y2= （1/2+t）2+（1/2-t）2=1/2+2t2 ? t2∈[0，1/4]

所以，當(dāng)t2=0時，x2+y2取最小值1/2;當(dāng)t2=1/4時，x2+y2取最大值1。

評注：對稱換元將減元結(jié)果進(jìn)行簡化了，從而更容易求最值。

這三種方法，在本質(zhì)上都一樣，都是通過函數(shù)觀點(diǎn)來求最值，只是換元方式的不同而已，也就導(dǎo)致了化簡運(yùn)算量大小不同，教師通過引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生主動思考、運(yùn)用，提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，也增強(qiáng)了學(xué)生思維能力的提高。

解法四：（運(yùn)用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1

則 ? ? ? ?xy≤（x+y）2/4=1/4，從而0≤xy≤1/4

于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy

所以，當(dāng)xy=0時，x2+y2取最大值1;當(dāng)xy=1/4時，x2+y2取最小值1/4。

評注：運(yùn)用基本不等式可以解決一些含有兩個未知量的最值問題，但要注意等號成立的條件是否同時滿足。

這樣一個由特殊性逐步一般化的思維過程，加強(qiáng)了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，通過這樣一系列的一題多解和一題多變，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合分析能力、提高了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，滲透了一些數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)思想，也提供了一個推向一般性的結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若將經(jīng)典例題充分挖掘，注重對例題進(jìn)行變式教學(xué)，不但可以抓好基礎(chǔ)知識點(diǎn)，還可以激發(fā)學(xué)生的探求欲望，提高創(chuàng)新能力;不僅能讓教師對例題的研究更加深入，對教學(xué)目標(biāo)和要求的把握更加準(zhǔn)確，同時也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到進(jìn)一步提高，并逐漸體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。當(dāng)然，在新課的教學(xué)中有些方法所用的知識，學(xué)生還未學(xué)到，此時，我們可從中挑選學(xué)生學(xué)過的知識。其他方法可在今后的總復(fù)習(xí)中給出。

二、在練習(xí)和習(xí)題中訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用一題多解和一題多變

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多老師在課后給學(xué)生布置除書上練習(xí)題和習(xí)題以外的大量習(xí)題。使學(xué)生感到負(fù)擔(dān)很重。我們?yōu)槭裁床荒軓臅系牧?xí)題入手，進(jìn)行演變，逐漸加深。讓學(xué)生有規(guī)律可尋，循序漸進(jìn)。日積月累過后，學(xué)生解題能力自然提高，對于從未見過的新題也會迎刃而解。這樣的作業(yè)方式不只可以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的，還可以提高學(xué)生的探究能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如，在學(xué)習(xí)拋物線后，在習(xí)題中出現(xiàn)了以下一題：

過拋物線y2=2px 焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，設(shè)兩個交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設(shè)線段AB為過拋物線焦點(diǎn)的弦）

此題證明并不難，但其結(jié)論卻很有用，關(guān)鍵是運(yùn)用其結(jié)論。在布置此題給學(xué)生時我們便可以有針對性的演變。如變成

（1）證明：過拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線與拋物線的準(zhǔn)線，三點(diǎn)共線。

（2）證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)的連線，平行于拋物線的對稱軸。

（3）證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)連結(jié)線段，等于焦點(diǎn)弦長的一半，并且被這條拋物線平分。

另外，我們還可以讓學(xué)生自己變式，便還可能出現(xiàn)如下變式：

（4）證明：拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線互相垂直。

（5）證明：拋物線的準(zhǔn)線是其焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡。

（6）證明：過拋物線焦點(diǎn)一端，作準(zhǔn)線的垂線，那么垂足、原點(diǎn)以及弦的另一端點(diǎn)，三點(diǎn)共線。

在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，一題多變也得循序漸進(jìn)，步子要適宜，變得自然流暢，使學(xué)生的思維得到充分發(fā)散，而又不感到突然。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳峰.高中數(shù)學(xué)課堂有效性教學(xué)的案例研究[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2019，16（08）：87.

[2]胡揚(yáng)道.加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)實(shí)踐 開展課堂有效教學(xué)[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2019，16（08）：90.