HPM視角下“有理數(shù)的乘法”教學(xué)研究

王進敬 栗小妮

【摘 要】 “負負得正”這一符號法則是數(shù)學(xué)上為了在數(shù)系擴充時保持運算律一致性而做出的合理規(guī)定，它本身并不能被證明，但其合理性可以借助現(xiàn)實模型加以解釋。在課堂教學(xué)中，很多教師往往不重視“負負得正”法則的由來，也很少給予學(xué)生機會探究“負負得正”的原因。教師從司湯達的故事入手，引導(dǎo)學(xué)生對“負負得正”進行探究，除了讓學(xué)生更深刻地理解這一法則，還體現(xiàn)了多方面的教育價值。

【關(guān)鍵詞】 HPM；負負得正；有理數(shù)乘法法則；教學(xué)設(shè)計

【作者簡介】 王進敬，中學(xué)高級教師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究；栗小妮，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項目】 上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W(xué)重點研究基地之數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實立德樹人根本任務(wù)的研究

一、引言

初中階段，學(xué)生要經(jīng)歷兩次數(shù)系的擴充，第一次為負數(shù)和有理數(shù)。有理數(shù)乘法法則作為有理數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是將學(xué)生已知的正整數(shù)范圍內(nèi)的運算法則推廣到有理數(shù)范圍的一個重要載體。有理數(shù)乘法法則可以讓學(xué)生深化對負數(shù)、已有正數(shù)范圍內(nèi)運算法則和運算律的理解和運用，而如何向?qū)W生解釋“負負得正”是教學(xué)的難點。

在已有的教學(xué)設(shè)計中，很多教師利用一個或兩個現(xiàn)實模型引入有理數(shù)乘法法則，例如有的教師利用蝸牛爬行模型、水位變化模型或者歸納模型引入該法則。在教學(xué)實踐中，用現(xiàn)實模型解釋有理數(shù)乘法法則有一定難度。學(xué)生除了要弄清不同情境中正負的規(guī)定，運動中方向的確定與正負的對應(yīng)，還要將靜態(tài)的負數(shù)理解為一個動態(tài)的過程，這樣就增加了思維的難度。因此，有的教師改編教科書中的設(shè)計，運用加法法則解釋“負正得負”，再利用相反數(shù)的意義得到“負負得正”，或輔以現(xiàn)實模型得到或驗證“負負得正”，強化學(xué)生對該法則的理解。還有的教師通過將正整數(shù)范圍內(nèi)的運算律推廣到有理數(shù)范圍來引入有理數(shù)乘法法則，先用加法法則解釋“負正得負”，再利用分配律解釋“負負得正”。

有些教師試圖在教學(xué)中證明“負負得正”，事實上，“負負得正”在數(shù)學(xué)上是無法被證明的。德國數(shù)學(xué)家F克萊因在其《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》中告訴數(shù)學(xué)教師“不要把不可能的證明講得似乎成立”[1]。美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M克萊因以史為鑒，預(yù)言學(xué)生在學(xué)習(xí)負數(shù)時必定會遇到困難。他曾指出，歷史上大數(shù)學(xué)家所遇到的困難，恰恰也是學(xué)生會遇到的學(xué)習(xí)障礙，試圖利用邏輯的冗長語言來消除這些困難是不可能成功的。從數(shù)學(xué)誕生開始，數(shù)學(xué)家花了1000多年才得到負數(shù)的概念，后面又花了1000多年才接受負數(shù)的概念，因此我們可以肯定，學(xué)生學(xué)習(xí)負數(shù)時必定會遇到困難。而且學(xué)生克服這些困難的方式與數(shù)學(xué)家大致是相同的[2]。

因此，在教學(xué)有理數(shù)乘法法則時，教師有必要弄清以下問題：“負負得正”既然是一種“規(guī)定”，那么這種“規(guī)定”的根源何在？除了用課本上給出的運動模型進行解釋，還可以采用哪些方式來解釋其合理性？在歷史的發(fā)展進程中，“負負得正”經(jīng)歷了怎樣的曲折？在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，怎樣看待“規(guī)定”的內(nèi)容？是毫無疑問地全盤接受，還是從多個角度加以質(zhì)疑，并在探索中尋找問題的答案，從而獲得終身學(xué)習(xí)的能力？鑒于上述問題，我們從HPM視角設(shè)計本節(jié)課。

二、歷史素材

有關(guān)負數(shù)和“負負得正”的歷史精彩紛呈，本教學(xué)設(shè)計所采用的是19世紀法國著名作家司湯達（Stendhal）在其自傳中描述他學(xué)習(xí)“負負得正”的經(jīng)歷，以及M克萊因用“負債模型”對有理數(shù)乘法法則的解釋。司湯達小時候很喜愛數(shù)學(xué)，當數(shù)學(xué)教師迪皮伊先生教到“負負得正”這一法則時，司湯達希望教師能對“負負得正”的緣由做出解釋。面對司湯達的提問，迪皮伊先生只是一笑而過，并不當回事，而靠死記硬背學(xué)數(shù)學(xué)的一名學(xué)生則對司湯達的疑問“嗤之以鼻”。補習(xí)學(xué)校的數(shù)學(xué)教師夏貝爾先生被司湯達問得十分尷尬，只得不斷重復(fù)課程內(nèi)容，說負數(shù)如同欠債，而那正是司湯達的疑問所在：一個人該怎樣把10000法郎的債與500法郎的債相乘起來，才能得到5000000法郎的收入呢？最終，夏貝爾先生只得搬出數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）的話給予解答：“這是慣用格式，大家都這么認為?！盵3]司湯達被“負負得正”困擾了很久，最后，在萬般無奈之下只好接受了它。

19世紀，司湯達的老師未能解釋“債務(wù)乘以債務(wù)等于收入”的悖論。到了20世紀，美國數(shù)學(xué)家M克萊因成功地解決了這個難題。他聲稱，如果記住物理意義，那么負數(shù)的運算以及負數(shù)和正數(shù)的混合運算就很容易理解了。M克萊因的解釋如下。

假定一人每天欠債5美元，而在給定日期他身無分文（0美元）。那么，給定日期3天后他欠債15美元，如果將5美元的債記為-5，那么每天欠債5美元，欠債3天，可以用數(shù)學(xué)式子表示為3×[BFB]（-5）[BFQB]=-15；在給定日期3天前，他的財產(chǎn)比給定日期多15美元，如果用-3表示3天前，-5表示每天欠債數(shù)，那么給定日期3天前他的經(jīng)濟情況可表示為[BFB]（-3）×（-5）[BFQB]=15。

三、教學(xué)設(shè)計與實施

1有理數(shù)乘法法則初探

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)加減法法則，知道有理數(shù)加減法法則需要考慮符號和絕對值，因此，教師讓學(xué)生類比加減法法則，通過例1中幾個算式的計算，從符號和絕對值兩個方面初步探討有理數(shù)乘法法則。

例1 計算下列各題。

① 4×3；② （-4[BFB]）[BFQB]×3；③ 4×[BFB]（[BFQB]-3）；④ （-4[BFB]）×（[BFQB]-3）。

師：從計算結(jié)果來看，兩個有理數(shù)相乘，我們應(yīng)該關(guān)注哪兩個方面？

生：符號和絕對值。

師：請分別說說上述4道題中兩個因數(shù)的符號和計算結(jié)果的符號有何關(guān)系？

生：正乘正得正，正乘負得負，負乘正得負，負乘負得正。

師：“正乘正得正”是小學(xué)學(xué)過的，你能舉一個生活中的實例解釋一下嗎？

生：媽媽每天給我4元錢，3天后，我擁有12元。

師：仿照這個例子，你能給出（-4[DK]）×3=-12的解釋嗎？

生：假如規(guī)定收入為正，支出為負，每天支出4元（-4），與現(xiàn)在相比，3天后（+3）支出12元（-12）。

生：規(guī)定向右運動為正，向左運動為負。一個人從原點出發(fā)，以每小時4千米的速度向左運動（-4），3小時后（+3），這個人在原點左側(cè)12千米處（-12）。

2探究為何“負負得正”

根據(jù)對負數(shù)的認識，學(xué)生可以很快解釋“負正得負”。如何解釋“負負得正”是本節(jié)課的難點，教師從讓學(xué)生解釋“正負得負”入手，再引入司湯達的故事，通過講述司湯達的困惑引發(fā)學(xué)生探究和思考，最后引導(dǎo)學(xué)生將已經(jīng)給出的模型進行擴展，解釋“負負得正”，從而突破本節(jié)課的難點。

師：前面這些例子都是先給出一個因式的現(xiàn)實意義，再給出另一個因式的現(xiàn)實意義，從而得出積所表示的意義。（-4[BFB]）×（-3）[BFQB]=12的符號說明“負乘負得正”，這是為什么呢？

（隨后，教師向?qū)W生講述了司湯達的故事，并提出問題“你能為司湯達解釋他的困惑嗎？”。）

生：反面的反面是正面。

師：這個例子雖然有些道理，但遠比不上前面同學(xué)舉出的負乘正的例子具有說服力。根據(jù)前面的例子，正數(shù)與負數(shù)是兩個相對意義的量，要說明負數(shù)，就要先規(guī)定正數(shù)的意義，并與參照標準做比較。在這之前，你能仿照老師和前面同學(xué)給出的例子，說明4×[BFB]（-3）[BFQB]=-12的結(jié)果嗎？比如規(guī)定向右運動為正，向左運動為負，+4表示向右運動，-3只能表示時間，那么怎樣規(guī)定時間的正負呢？參照標準是什么呢？

生：規(guī)定向右運動為正，向左運動為負，當下在原點，以每小時4千米的速度向右運動（+4），3小時前（-3）在原點左側(cè)12千米處（-12）。故4×[BFB]（-3）[BFQB]=-12（如圖1所示）。

師：在兩個有理數(shù)的乘法中，兩個因數(shù)分別有各自的正負規(guī)定，最終根據(jù)參照標準，得出乘積所表示的意義。你能根據(jù)上述知識，用文字或者數(shù)軸說明（-4[BFB]）×（[BFQB]-3）=12的結(jié)果嗎？

（小組討論交流并展示討論結(jié)果。）

生：規(guī)定向右運動為正，向左運動為負，當下在原點，若以每小時4千米的速度向左運動（-4），則3小時前（-3）在原點右側(cè)12千米處（12）。故（-4[BFB]）×（-3）[BFQB]=12（如圖2所示）。

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師：從上述模型中，我們解釋了“負負得正”的原因，那么你能解答司湯達的困惑嗎？

生：根據(jù)我們的模型解釋，“負負”其實包含兩個層次，司湯達混淆了“負負得正”中兩個“負”的層次，即法郎×法郎=法郎。

師：司湯達的老師夏貝爾先生所說的“負數(shù)如同欠債”，可以解釋“負負得正”嗎？

生：其實夏貝爾先生找到了打開“負負得正”大門的鑰匙，用欠債模型也可以解釋，即每天欠債4美元表示為-4，與現(xiàn)在相比，-3表示3天前，那么，他的財產(chǎn)比現(xiàn)在多12美元。

師：司湯達的故事給我們什么啟示？

生：我很佩服他不畏權(quán)威的質(zhì)疑精神，在今后的學(xué)習(xí)中，我也要多問為什么，并努力通過各種形式解釋它。

3歸納有理數(shù)乘法法則

在本教學(xué)環(huán)節(jié)，教師和學(xué)生根據(jù)前面的探討一起總結(jié)有理數(shù)乘法法則。

師：你能從符號和絕對值兩方面敘述有理數(shù)乘法法則嗎？

生：有理數(shù)乘法法則是兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把兩數(shù)的絕對值相乘。

師：從有理數(shù)的符號分類來看，這個法則中還缺哪個數(shù)？

生：任何數(shù)與零相乘都得零。

師：根據(jù)這個法則，在有理數(shù)計算中，通常我們會先考慮什么再計算？

生：先確定符號，再把兩數(shù)的絕對值相乘。

師：如果司湯達坐在我們的教室中，與同學(xué)們共同討論“負負得正”，他一定會深刻理解這一知識。

4數(shù)學(xué)與邏輯相結(jié)合

教師從數(shù)系擴充的角度向?qū)W生解釋“負負得正”，為學(xué)生在后續(xù)乘法學(xué)習(xí)中驗證已有的運算律打基礎(chǔ)。

師：數(shù)系擴充的原則之一就是運算律的無矛盾性，根據(jù)這一原則，我們也可以從邏輯上解釋“負負得正”。原有數(shù)系的運算律如下。

[WTBX]① 0+a=a，0·a=0

② 交換律：a+b=b+a；a·b=b·a

③ 結(jié)合律：[BFB]a+（b+c）=（a+b）+c；a·（b·c）=（a·b）·c[BFQB]

④ 分配律：[BFB]a·（b+c）=a·b+a·c[BFQB][WTBZ]

這些運算律在正數(shù)計算中起著非常重要的作用，當數(shù)集擴充到有理數(shù)集時，要保證它們依然成立，即運算律的無矛盾性。依據(jù)上述運算律，可以得到下面的算式。

[BFB]（-1）×（-1）

=（-1）×（-1）+0×1

=（-1）×（-1）+[（-1）+1]×1

=（-1）×（-1）+（-1）×1+1×1

=（-1）×[（-1）+1]+1×1

=（-1）×0+1×1

=0+1

=1

從上述過程來看，要使運算律在有理數(shù)集中成立，“負負得正”必須成立?？傊?，“負負得正”從現(xiàn)實模型中產(chǎn)生，最終又回到數(shù)學(xué)抽象。

教師和學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容：有理數(shù)乘法法則無法被證明，是一種“規(guī)定”，給出這種“規(guī)定”的原則是使原有的運算律保持不變，只有這樣才能使數(shù)學(xué)的發(fā)展建立在原有的基礎(chǔ)上。

四、課后問卷調(diào)查

課后教師對31名聽課學(xué)生進行了問卷調(diào)查。對于“你以前了解為什么‘負負得正’嗎？”這個問題，有18名學(xué)生知道“負負得正”，但不知道原因，沒有深入想過，也沒有質(zhì)疑過對錯，只是接受了這個結(jié)論；其中有的學(xué)生認為教師教的都是對的，“負負得正”是公理，是嚴謹而準確的，沒必要質(zhì)疑。有12名學(xué)生表示了解過，了解的途徑有實際生活、有關(guān)資料、父母講解等。有1名學(xué)生表示了解過，也質(zhì)疑過，但最終認為“負負得正”是一個“定義”，記住即可。

學(xué)生認為，從現(xiàn)實模型與數(shù)學(xué)邏輯兩個角度明確“負負得正”，與單純地用“規(guī)定”來說明“負負得正”相比有以下好處：現(xiàn)實模型更形象，邏輯語言更嚴謹；讓大家理解“負負得正”的根本原因；讓人心服口服，而不是把知識強加于人；不僅對知識的理解更深刻，記憶更清晰，還能給人以啟示，讓我們更加熱愛數(shù)學(xué)；拓寬視野；等等。

對于“作家司湯達的故事給你什么啟示”這個問題，有22名學(xué)生提到了司湯達的質(zhì)疑精神很值得學(xué)習(xí)，但質(zhì)疑后應(yīng)該有探究問題的精神和能[JP3]力。也有學(xué)生說，思考問題時一個人是不夠的，需要團隊合作討論才能解決；理解問題時要有層次感。

對于印象最深的環(huán)節(jié)，有的學(xué)生對大家一起討論用各種現(xiàn)實生活的例子來解釋“負負得正”印象最深，認為話題開放，大家思維踴躍，理解問題的角度多樣，讓人更好地理解并記住這個法則，感受到了數(shù)學(xué)的奧妙。有的學(xué)生對司湯達的故事印象深刻，認為故事很有趣，讓自己知道不懂就要問，做題時要注意細節(jié)，而且如果司湯達注意到單位問題，說不定就可以解決困惑了。有的學(xué)生認為，司湯達的困惑很讓人震驚，乍一看好像是對的，但引人深思。有的學(xué)生對用邏輯運算解釋“負負得正”印象深刻，認為只有在這個環(huán)節(jié)才真正地從數(shù)學(xué)的角度理解該法則，感受到數(shù)學(xué)的美妙，顯示了數(shù)學(xué)的理性表達。還有的學(xué)生對教師關(guān)于“負負得正”思路的引導(dǎo)和用畫數(shù)軸解釋印象深刻。

五、教學(xué)反思

“負負得正”這一符號法則是數(shù)學(xué)上為了在數(shù)系擴充時保持運算律一致性而做出的合理規(guī)定，它本身并不能被證明，但其合理性可以借助現(xiàn)實模型加以解釋。在課堂教學(xué)中，教師往往不重視“負負得正”法則的由來，也很少給予學(xué)生機會去探究為什么“負負得正”。究其原因，一是教師對該法則缺乏深刻的理解；二是教師往往認為，學(xué)生只要記住該法則并會運用于有理數(shù)的運算即可。

在本節(jié)課中，教師從司湯達的故事入手，引導(dǎo)學(xué)生對“負負得正”進行探究，除了讓學(xué)生更深刻地理解這一法則，還體現(xiàn)了多個方面的教育價值。

第一，質(zhì)疑與探究。學(xué)生已經(jīng)知道“負負得正”，但將其視為理所當然。司湯達的故事不僅讓學(xué)生感悟質(zhì)疑的精神，而且讓他們明白處處留心皆學(xué)問的道理。

第二，說理與求真?！柏撠摰谜笔菙?shù)學(xué)上的一種人為規(guī)定，但這種規(guī)定并非數(shù)學(xué)家隨心所欲做出的，而是有其合理性。探究規(guī)定背后的合理性，可以讓學(xué)生體會說理的重要性，感悟求真的科學(xué)精神。

第三，傾聽與交流。課堂上，每一位學(xué)生都對“負負得正”做出自己的解釋，每一位學(xué)生又都是傾聽者，他們都能從他人的解釋中獲得思想的啟迪，從而體會到交流、合作的重要意義。

第四，困難與困惑。歷史名人司湯達在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中亦遇到困惑，這個史實告訴學(xué)生，人非圣賢，孰能無惑，從而讓他們學(xué)會客觀地看待自己學(xué)習(xí)過程中所遇到的困難與困惑。

參考文獻：

[1]克萊因[KG*2]F.高觀點下的初等數(shù)學(xué)（第1卷）[M].舒湘芹，陳義章，楊欽梁，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[2]KLINE M.Logic versus pedagogy[J]. American mathematical monthly，1970（3）：264-282.

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