淺談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用

李莉

摘要：高中學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)生涯中最為重要的一個(gè)階段，教師開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)時(shí)應(yīng)適時(shí)運(yùn)用相應(yīng)的教學(xué)方法，最大限度的增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。作為數(shù)學(xué)基本思想之一的“數(shù)形結(jié)合思想”，在高中數(shù)學(xué)及其他學(xué)科中均被廣泛運(yùn)用，教師必須將數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法與其他教學(xué)方法緊密聯(lián)系，融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)的興趣，從而穩(wěn)步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，確保學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量得到提升，數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量得到提高，加快我國(guó)教育行業(yè)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;方法運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)內(nèi)容比較具體，以模仿練習(xí)為主，變式不多。學(xué)生在幾年的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)形成了一定的思維模式。但高中數(shù)學(xué)內(nèi)容比較抽象，更加注重對(duì)于知識(shí)的理解與運(yùn)用，變式很多。這對(duì)于剛升入高中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，具有很大的挑戰(zhàn)。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐和反思發(fā)現(xiàn)，教師可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，幫助學(xué)生高效完成這一認(rèn)知規(guī)律的過(guò)渡。實(shí)踐證明，這一方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有很大的優(yōu)勢(shì)。

一、數(shù)形結(jié)合的定義及其實(shí)質(zhì)

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì);或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以“數(shù)”作為手段，“形”作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。

二、利用數(shù)形結(jié)合，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化：突破三角函數(shù)教學(xué)重點(diǎn)問(wèn)題

學(xué)生的圖形意識(shí)在日常生活中對(duì)身邊的物品的形狀已經(jīng)初步構(gòu)建，因此學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中或者在實(shí)際開(kāi)展教學(xué)工作的時(shí)候，教師應(yīng)該充分運(yùn)用學(xué)生這一生活直接經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中將其展現(xiàn)，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的思想全面滲透，進(jìn)一步深度挖掘教學(xué)素材。進(jìn)行學(xué)習(xí)解析式的一些數(shù)量關(guān)系以及抽象概念的時(shí)候，可借助其幾何意義，學(xué)生理解時(shí)更容易，因?yàn)榘殉橄髥?wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化、直觀化，相互滲透以及轉(zhuǎn)換數(shù)與形之間信息，學(xué)生的解題思路必將得到更大拓寬、更深的拓展、更大的遷移和更廣的收斂，從而讓學(xué)生取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

1.三角函數(shù)定義。在求正弦、余弦、正切值的時(shí)候，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決問(wèn)題的辦法有很多種，但基本上都是采用定義來(lái)求解。關(guān)于三角函數(shù)的問(wèn)題，學(xué)生在初中階段就已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了，所以高中生對(duì)此并不陌生。但是，三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中仍為教學(xué)的重點(diǎn)，其定義的解讀就需要采用數(shù)形結(jié)合的方法。

2.同角三角函數(shù)關(guān)系。高中數(shù)學(xué)中關(guān)于同角三角函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)有兩種方法。一種是通過(guò)直接的代數(shù)運(yùn)算，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，根據(jù)已知條件，列方程組來(lái)推導(dǎo)。這種方法運(yùn)算過(guò)程比較復(fù)雜，很容易在計(jì)算過(guò)程中出錯(cuò)。另一種是通過(guò)條件，運(yùn)用圖像和定義，學(xué)生就可以直觀地表示出來(lái)。毫無(wú)疑問(wèn)，第二種方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)比方法一更便捷、更有效。

3.三角函數(shù)性質(zhì)。在求解三角函數(shù)角的集合和求解角中，我們也可以采用數(shù)形結(jié)合的辦法，其中比較常用的便是將單位圓、正余弦的圖像與代數(shù)式相結(jié)合的方法。同樣，在遇到比較大小問(wèn)題時(shí)，我們也可以將所要比較的三角函數(shù)值通過(guò)圖像表示出來(lái)。

三、利用數(shù)形結(jié)合，抽象問(wèn)題具體化：解決直線與圓錐曲線教學(xué)中難點(diǎn)問(wèn)題

數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題特別關(guān)注數(shù)學(xué)規(guī)律探究，其中重點(diǎn)所在是圖形規(guī)律。但是，我們?cè)谕诰驍?shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，并不能僅僅停留在剖析圖形的結(jié)構(gòu)，或者圖形表面的美觀度上，而是應(yīng)該傾注于圖形中的數(shù)量關(guān)系、數(shù)形結(jié)合思想方法的充分利用，這樣才能確保數(shù)學(xué)問(wèn)題的順利、高效和快捷解答。

（一）簡(jiǎn)化處理直線與圓的問(wèn)題

1.刻畫(huà)直線的傾斜程度。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，我們可以從數(shù)、形兩個(gè)角度來(lái)描述刻畫(huà)，這樣比較形象具體、一目了然，也方便學(xué)生理解。

2.平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的判定。我們主要通過(guò)畫(huà)圖或利用直線方程兩種方法來(lái)判定平面內(nèi)兩條直線之間的位置關(guān)系。前者比較形象直觀，頗受學(xué)生青睞。但是，為了確保結(jié)果的準(zhǔn)確性，我們還宜采用算式進(jìn)行檢驗(yàn)。

3.對(duì)稱問(wèn)題。我們解決直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題的時(shí)候，通常采用三種方法——截距式法、對(duì)稱點(diǎn)法、點(diǎn)到直線距離的方法。相比較來(lái)說(shuō)，前兩種方法更為簡(jiǎn)單，學(xué)生可以在圖上找到對(duì)稱點(diǎn)，然后進(jìn)行驗(yàn)證即可，這不充分彰顯了數(shù)形結(jié)合方法的妙用嗎？

4.求圓的方程。解決這類問(wèn)題，我們通常采用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法，顯然前者需要解方程組，操作起來(lái)會(huì)比較麻煩，容易出錯(cuò)，而后者通過(guò)圖像，直觀、簡(jiǎn)潔、明了，事半功倍，數(shù)形結(jié)合功不可沒(méi)！

（二）直觀解決圓錐曲線問(wèn)題（以圓錐曲線定義為例）

在教學(xué)過(guò)程中，我們通過(guò)數(shù)形結(jié)合方法對(duì)曲線進(jìn)行定義，可以讓學(xué)生更為直觀地認(rèn)識(shí)曲線，其中橢圓幾何特征還是比較明顯的。通過(guò)觀察圖形，學(xué)生可以很快地找到題目中隱藏的已知條件，將全部已知條件代入函數(shù)圖像中，便很容易解出問(wèn)題的答案。再者，雙曲線與橢圓類似，圖形也可以為我們提供一些已知條件，方便我們進(jìn)一步運(yùn)算。

四、利用數(shù)形結(jié)合，幾何問(wèn)題代數(shù)化：解決向量教學(xué)中重要問(wèn)題

1.用向量解決平面幾何教學(xué)。幾何中關(guān)于直線平行、垂直的問(wèn)題可以借助向量來(lái)解決。我們可以將已知條件在圖上以坐標(biāo)的形式呈現(xiàn)出來(lái)，再將未知量在圖中想辦法表示出來(lái)，進(jìn)而通過(guò)方程組來(lái)得出我們想要的結(jié)果。

2.用向量解決立體幾何教學(xué)。與平面幾何一樣，立體幾何中關(guān)于垂直、平行、夾角與距離等問(wèn)題的解答也可以借助向量來(lái)完成。數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，將向量中的分解法、坐標(biāo)法等遷移到立體幾何中。我們可以在圖中標(biāo)出已知各點(diǎn)，然后通過(guò)向量的方法求解即可。

五、利用數(shù)形結(jié)合，代數(shù)問(wèn)題幾何化：解決函數(shù)值域和最值問(wèn)題

1.解方程教學(xué)。方程問(wèn)題的解答，我們可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建函數(shù)，將已知的函數(shù)通過(guò)圖像的形式展現(xiàn)出來(lái)，然后再進(jìn)行求解。值得注意的是，教師一定要提醒學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)，避免因?yàn)閳D繪制錯(cuò)誤而產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果。當(dāng)然，我們也不能完全依賴數(shù)形結(jié)合的方法，在具體操作中也應(yīng)該結(jié)合代數(shù)式，選用的基本原則便是方便、快捷、準(zhǔn)確。

2.求函數(shù)值域或最值教學(xué)。最值問(wèn)題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法最為方便，我們繪制的圖像的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)便是我們要求的坐標(biāo)。這種方法使我們一目了然地便可以知道我們要求得的坐標(biāo)所在的位置，也可以作為我們驗(yàn)證結(jié)果正確與否的參照之一。

六、結(jié)語(yǔ)

總之，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)形結(jié)合對(duì)于高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)、直線與圓錐曲線、向量、解方程、求函數(shù)值域或最值教學(xué)的作用已經(jīng)得到了教師與學(xué)生的普遍認(rèn)可，學(xué)生對(duì)抽象的教學(xué)內(nèi)容可以進(jìn)行幫助理解，對(duì)于課堂教學(xué)效率的提升是卓有成效的。

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（作者單位：曲靖市民族中學(xué)）