初等數(shù)學(xué)中的幾類數(shù)列問題研析

徐蘇蘇 湯建鋼 韓宋麗

摘要：通過研究初等數(shù)學(xué)中常見的數(shù)列問題，總結(jié)解決數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和以及數(shù)列與其它知識相融問題的常用方法，有助于學(xué)生解決初等數(shù)學(xué)中遇到的數(shù)列問題，提高對數(shù)列知識靈活運(yùn)用的能力。

關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué) 數(shù)列 通項(xiàng)公式 求和

1引言

數(shù)列是新課程改革中重要的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)列問題在初等數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)從小學(xué)就有接觸，小學(xué)中的數(shù)列以找規(guī)律的形式出現(xiàn)，最初的定義就是“按一定次序排列的一列數(shù)”，讓學(xué)生在數(shù)列中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋找數(shù)列規(guī)律的方法是依據(jù)數(shù)列隱含規(guī)律的幾種表現(xiàn)形式，從不同的角度，認(rèn)真觀察、比較、嘗試和計(jì)算，在這一階段對數(shù)列的認(rèn)識是最基礎(chǔ)最簡單的，在中學(xué)數(shù)學(xué)中講到數(shù)列的定義，出現(xiàn)等差、等比數(shù)列以及可以化為等差、等比的數(shù)列，難度增強(qiáng)，數(shù)列問題在初等數(shù)學(xué)中非常重要，并且在高考中享有重要的角色，通過分析初等數(shù)學(xué)教材可知，主要有以下三類數(shù)列問題：求數(shù)列通項(xiàng)公式的問題、求數(shù)列前n項(xiàng)和的問題以及與其它知識相融的問題，本文主要研究這三類問題在初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，分析解決數(shù)列問題的常用方法，并借助相應(yīng)的例題來說明。

2 求數(shù)列通項(xiàng)公式的問題

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列知識的基礎(chǔ)，出現(xiàn)在小學(xué)、初中的數(shù)學(xué)競賽和高中數(shù)列教學(xué)中，它以螺旋的方式出現(xiàn)，最初的數(shù)列問題是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知，學(xué)生從事物的排列中找規(guī)律，之后通過動手涂色、畫一畫等數(shù)學(xué)游戲培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，循序漸進(jìn)的讓學(xué)生意識到數(shù)也有規(guī)律，逐步利用觀察法、構(gòu)造法、累加法、累乘法等一些方法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

觀察法求通項(xiàng)公式是最基礎(chǔ)也是最簡單的一種方法，它通常出現(xiàn)在小學(xué)和初中的數(shù)學(xué)競賽中，通過觀察圖形或者表格中數(shù)值的關(guān)系來判斷數(shù)的變化規(guī)律，從而找到數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例1如下圖所示，由一些點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條“邊”（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n>1）個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S是多少？當(dāng)n=5，7，11時(shí)，S是多少？

問題分析：該題的本質(zhì)是通過觀察已知圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出變化規(guī)律，得出S=3n-3，進(jìn)而求出當(dāng)n=5，7，11時(shí)S的值，解題方法是讓學(xué)生會觀察，比較、嘗試和計(jì)算，根據(jù)圖的規(guī)律，找到數(shù)的規(guī)律。

構(gòu)造法、累加法和累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式在人教版數(shù)學(xué)必修5第2章數(shù)列的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)，它們是求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。

3求數(shù)列前n項(xiàng)和的問題

求數(shù)列前n項(xiàng)和的問題主要出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，在人教版必修5第2章節(jié)出現(xiàn)，數(shù)列求和問題是數(shù)列解答的考察重點(diǎn)，在高考中占有重要地位，在這一部分的學(xué)習(xí)中應(yīng)根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，選擇合適的方法進(jìn)行求解，常見的方法有倒序相加法、錯位相減法、公式法、裂項(xiàng)相消法、分組法等。

在數(shù)列求和問題中，人教版高中數(shù)學(xué)必修5第2章推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式就利用了倒序相加和錯位相減的方法得出了求和公式.利用公式求數(shù)列的前n項(xiàng)和也是數(shù)列求和問題的基礎(chǔ)，這里不再探究，下面利用例題來說明裂項(xiàng)相消法和分組求和法在數(shù)列求和試題中的應(yīng)用。

4 數(shù)列與其他知識相融的問題

隨著教育的不斷改革，國家選拔人才越來越重視宗合型，數(shù)列的命題體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識之間的縱向和橫向的有機(jī)聯(lián)系，這也是高考的新型命題方式，在數(shù)列的命題中出現(xiàn)了許多與其他知識相融的題型，例如數(shù)列與不等式的相融、數(shù)列與函數(shù)的融合和數(shù)列與向量的融合，以及數(shù)列的極限問題等新的命題方式。

問題分析：該題綜合性較強(qiáng)，（l）題通過遞推關(guān)系得數(shù)列{an）為等比數(shù)列，進(jìn)而求出（an）的通項(xiàng)公式.第（2）問中放縮法證明不等式是難點(diǎn)，放縮法可以將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，把數(shù)列問題與不等式問題結(jié)合到了一起，進(jìn)而可以解決問題。

問題分析：該題的知識點(diǎn)包括函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)列的計(jì)算問題，運(yùn)用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得出f（a5）+f（a6）=-f（1）進(jìn)而求出結(jié)果，既考察了函數(shù)，又考察了數(shù)列，是數(shù)列與函數(shù)融合的綜合應(yīng)用，意在培養(yǎng)學(xué)生綜合分析的能力，

問題分析：數(shù)列的極限問題在高考中頻繁出現(xiàn)，該題考察了的數(shù)列和極限四則運(yùn)算的知識，通過求出的前”項(xiàng)和，結(jié)合已知條件得出Iimq n=0，再根據(jù)極限的四則運(yùn)算，解出答案，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。

5 總結(jié)

數(shù)列問題是初等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，也在高考中占有重要地位，數(shù)列的通項(xiàng)公式問題是基礎(chǔ)內(nèi)容，學(xué)會了求通項(xiàng)公式的方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)列的前提，因此學(xué)生要掌握求通項(xiàng)公式的幾類方法，掌握其中的數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)列通項(xiàng)問題的關(guān)鍵;數(shù)列的求和問題也是重中之重，其中滲透了轉(zhuǎn)化與化歸和分類等數(shù)學(xué)思想，在這一類問題中要注重培養(yǎng)學(xué)生的解題能力;最后一個(gè)問題就是解決數(shù)列與其他知識相融的問題，這一類問題綜合性極強(qiáng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的縱向和橫向的有機(jī)聯(lián)系，一般來說，學(xué)生解決此類問題存在很大問題，但是可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力，從這三類問題的研析中可以足以說明解決好數(shù)列問題是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要部分，有助于學(xué)生解決不同的數(shù)列問題，提高對數(shù)列問題靈活運(yùn)用的能力。

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