基于速度約束求導(dǎo)法補(bǔ)充加速度關(guān)系

摘?要：探討采用速度約束求取加速度關(guān)系的方法，并給出其在典型題當(dāng)中的應(yīng)用.實(shí)踐表明，該方法可以使問(wèn)題得到一定簡(jiǎn)化，求解過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，不容易出錯(cuò).

關(guān)鍵詞：理論力學(xué);剛體平面運(yùn)動(dòng);動(dòng)力學(xué)微分方程;速度約束

[中圖分類號(hào)]O469 ???[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Acceleration Equation Based on VelocityConstraint Derivative Method

LIU Yanbin

（School of Mechanics and Optoelectronic physics， Anhui University ofScience and Technology， Huainan ?232001， China）

Abstract：Dynamics equation of rigid body in plane motion is the basic teaching Content of theoretical mechanics. For differential equation of the rigid body with constraints， the number of unknowns is more than the number of equations. Thus， it is need to supplement acceleration relation. Theoretical mechanics textbooks usually use the base point method to get the acceleration relationship. For points moving in a straight line， the method of calculating acceleration relation with velocity constraint is discussed and its application in typical problems is given. It is show that the method can simplify the problem to a certain extent， and the solving process is relatively simple， and it is not easy to make mistakes.

Key words：theoretical mechanics;planar motion of rigid body;dynamic differential equations;velocity constraints

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程是理論力學(xué)課程中重點(diǎn)內(nèi)容，亦是課程難點(diǎn)內(nèi)容之一.做平面運(yùn)動(dòng)的剛體通常是受到理想約束，而理想約束反力是不能直接確定的，即剛體動(dòng)力學(xué)微分方程的未知變量的個(gè)數(shù)超過(guò)方程的個(gè)數(shù)，需要補(bǔ)充加速度關(guān)系式.目前的教科書(shū)僅用基點(diǎn)法[1-3]補(bǔ)充加速度關(guān)系式.基點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)是物理概念清晰，通用性強(qiáng)，缺點(diǎn)是步驟復(fù)雜，需要列出投影方程.做平面運(yùn)動(dòng)的剛體均是具有速度約束的特殊質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)于做直線運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，加速度方向與速度方向均在一條直線上，故對(duì)速度約束方程求導(dǎo)可以直接得到加速度約束關(guān)系式.本文采用速度約束求一階導(dǎo)數(shù)補(bǔ)充加速度關(guān)系式.對(duì)于一些理論力學(xué)習(xí)題，采用該方法會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單.

1?速度約束求取加速度

限制質(zhì)點(diǎn)系速度的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件稱為速度約束.圖1所示的平面運(yùn)動(dòng)剛體任意兩點(diǎn)A和B均做直線運(yùn)動(dòng)，則每點(diǎn)的加速度和速度方向均在一條直線上，點(diǎn)A和B的速度關(guān)系式可以通過(guò)速度合成定理或者是速度瞬心等方法求出.

將點(diǎn)A和B的運(yùn)動(dòng)約束方程寫(xiě)為一般形式：f（νA，νb，θ，ω）.（1）

方程（1）只包含了點(diǎn)A和B的大小，不包含方向.當(dāng)點(diǎn)A和B均做直線運(yùn)動(dòng)，即運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)A和點(diǎn)B不存在法線加速度時(shí)，將方程（2）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可得：

fνA ν·A+fνB ν·B+fθ θ·+fω ω·=0.（2）

且aA=ν·A，aB=ν·B ，ω=θ·，α=ω·，所以（3）式可以寫(xiě)為：

fνA aA+fνB aB+fθ ω+fω α=0.（3）

（3）式即為做直線運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)A和B的加速度約束方程.

2?應(yīng)用舉例

例1?如圖2所示，長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均勻質(zhì)量桿AB，A端放在光滑的水平面上，B端系在繩索上.繩索為鉛錘狀態(tài)，系統(tǒng)初始時(shí)刻靜止，桿AB與地面夾角為θ.若突然剪斷繩索，求A端在瞬間所受到的地面約束反力.

問(wèn)題分析?例題1是大多數(shù)教材的例題或者習(xí)題，在求解該例題時(shí)，教材均是采用基點(diǎn)法補(bǔ)充角加速度和質(zhì)心加速度關(guān)系式.由動(dòng)量守恒定理可知，質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)軌跡始終垂直向下，故νC的速度向下，且νA的速度始終保持水平向右.所以在本題中，點(diǎn)A和點(diǎn)C均做直線運(yùn)動(dòng)，故滿足本文所討論的情況，可以采用速度約束求導(dǎo)法進(jìn)行加速度分析.

解?桿AB的受力分析如圖2（b） 所示.桿AB在水平方向不受力，由動(dòng)量守恒定理可知，質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)軌跡垂直向下，故νC的速度向下，且νA的速度水平向右，速度瞬心為P，如圖所示.剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程為

ml212 α=FA2l.（4）

（a）（b）（c）圖2?例1圖示、受力分析及運(yùn)動(dòng)分析圖

maC=mg-FA.（5）

式（4）和（5）有三個(gè)未知數(shù)，故需要補(bǔ)充加速度方程.由圖2（c） 可知

ωABl2cosθ=νC（6）

由于A點(diǎn)和C點(diǎn)均做直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)（6）式求導(dǎo)可得，

l2（ω·ABcos θ-ωABθ·sin θ）=ν·A.

（7）

且αAB=ω·AB，ωAB=-θ·.初始時(shí)刻ωAB=0，所以（7）式簡(jiǎn)化為

aA=l2αcosθ.（8）

由（4）（5）和（8）式可得：

FA=mg1+3cos2θ.（9）

討論?從本題求解過(guò)程可以看出，加速度關(guān)系只需速度約束一步求導(dǎo)即可得到.教科書(shū)中通常需要畫(huà)出加速度圖，然后采用投影方程得到加速度關(guān)系，過(guò)程相對(duì)繁瑣.

例2?如圖3（a） 所示，勻質(zhì)圓盤(pán)A的質(zhì)量均為m，半徑為r.繩的一端纏繞在圓盤(pán)A上，另一端固定，直線線段鉛錘.不計(jì)摩擦求圓柱體A下落時(shí)的質(zhì)心加速度.

問(wèn)題分析?例題2在許多教材或習(xí)題集中出現(xiàn).對(duì)于例題2，圓盤(pán)A的質(zhì)心點(diǎn)始終做直線運(yùn)動(dòng)，故滿足本文所討論的情況，可以采用速度約束求導(dǎo)法進(jìn)行加速度分析.

解?受力分析圖如圖3（b）所示.取圓盤(pán)A為研究對(duì)象，動(dòng)力學(xué)微分方程為：

ma=mg-FT.（10）

Jα=FTr.（11）

在式（10）和（11）中，有3個(gè)未知數(shù)，故需要補(bǔ)充加速度方程.任一瞬時(shí)，速度約束滿足：

ν=ω r.（12）

由于質(zhì)心做直線運(yùn)動(dòng)，加速度與速度方向一致，對(duì)（12）式求導(dǎo)可得：

a=α r.（13）

a=2g3.（14）

討論?目前許多教科書(shū)均是作為結(jié)論直接給出 （13）式，或是說(shuō)采用基點(diǎn)法直接得到（13）式，沒(méi)有詳細(xì)過(guò)程.本文采用速度約束求導(dǎo)法得到（13）式，推導(dǎo)過(guò)程比較簡(jiǎn)單.

3?結(jié)論

對(duì)于做直線運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，速度約束求導(dǎo)法具有概念清晰、推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn).與基點(diǎn)法相比，在剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程中，采用速度約束求導(dǎo)法補(bǔ)充的加速度關(guān)系，可以使問(wèn)題得到一定簡(jiǎn)化，求解過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，不容易出錯(cuò).利用速度約束求導(dǎo)法補(bǔ)充平面運(yùn)動(dòng)剛體的加速度關(guān)系會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單.

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編輯：吳楠