淺談線性微分方程的若干解法

汪慶康

摘要：文章介紹了線性微分方程的一些基本解法，針對不同類型的微分方程的解法，體現(xiàn)了常見微分方程的一般求解規(guī)律，從而尋找最優(yōu)求解法.

關(guān)鍵詞：線性微分方程;常數(shù)變易;積分因子;比較系數(shù);冪級數(shù)

中圖分類號：O1-O29? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）06-0003-03

1 引言

常微分方程不僅在數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域起著重要作用，而且在其他領(lǐng)域也有著重要價值，許多情況下將實際問題轉(zhuǎn)化成微分方程進(jìn)行求解，為我們解決問題帶來很大的方便，所以研究常微分方程對社會發(fā)展有重要意義和價值.

文章針對性的研究了不同類型線性微分方程的解題方法.首先，從解一階線性微分方程開始入手，敘述了一階線性微分方程的簡單解法，變量分離法、常數(shù)變易法和積分因子法;其次，分類探討了求解高階線性微分方程的方法，包括將解一階方程的常數(shù)變易法拓展到解高階方程，另外，給出了幾種求解高階線性微分方程特有的方法.

2 一階線性微分方程的解法

一階線性微分方程是微分方程的基礎(chǔ)，由以往的認(rèn)知水平可以知道學(xué)習(xí)一個新的方程，必然要學(xué)習(xí)它的解法，只有掌握了基本知識，才可能學(xué)習(xí)好微分方程的解法，并且由一階微分方程的解法向高階微分方程解法的過度符合學(xué)生的思維邏輯，本節(jié)重點列舉了一階線性微分方程的幾種簡單解法，變量分離法，常數(shù)變易法和積分因子法.

2.1 變量分離法

由（1.2）分離變量得=P（x）dx，兩邊同時積分有l(wèi)n|y|= p（x）dx+c1，進(jìn)一步得y=ce;顯然y=0是原方程的一個特解.故得原方程的通解為y=ce（c為任意常數(shù)）.

2.2 常數(shù)變易法

2.3 積分因子法

多數(shù)情形下積分因子求解過程是比較復(fù)雜的，由于本段討論的是線性微分方程的積分因子，所以令ψ（x）=，由文獻(xiàn)[2]可知積分因子u（x，y）只與x有關(guān)，這種情形只是求解積分因子的一個特例，從而由文獻(xiàn)[2]可以求出積分因子u=e.

利用積分因子法求解方程時，不需要知道（2.1）及其對應(yīng)齊次方程的通解和特解之間的關(guān)系和性質(zhì)，而使用常數(shù)變易法求解方程，可能會有不能理解其中替換思想的，于是按上述步驟循序漸進(jìn)地逐步求解，即使我們進(jìn)一步理解線性微分方程的求解步驟，也使得我們在求解線性微分方程過程中有更多的選擇性，從而達(dá)到一題多解的效果，同時也使得我們更容易理解常數(shù)變易法，但是此方法涉及恰當(dāng)方程的概念，所以總體內(nèi)容相對較難，另外，在求解積分因子的過程中技巧性較高，難度較大[3].

4 結(jié)論

在已有知識邏輯的基礎(chǔ)上，討論了線性微分方程的解法，主要是對已學(xué)知識的歸納和總結(jié)，有利于幫助我們理解微分方程相關(guān)內(nèi)容，構(gòu)建完整的微分方程知識體系，提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

解線性微分方程的過程是復(fù)雜多變的，需要選取適合自己認(rèn)知水平的解題方法，掌握線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，特別需要考慮線性微分方程的特解問題.總之，通過對線性微分方程解法的探析，使我對微分方程有了更深層次的認(rèn)識.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕李秀榮，宋國華.線性微分方程的解法探析[J].北京建筑工程學(xué)院學(xué)報，2006（9）：51-53.

〔2〕王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程第三版[M].高等教育出版社，2006.

〔3〕魏明彬.一階線性微分方程的幾種解法和思路分析[J].成都師范學(xué)院學(xué)報，2014（7）：122-124.

〔4〕高仕學(xué).淺談二階線性常系數(shù)微分方程的解法[J].中國校外教育中旬刊，2013（2）：57-57.

〔5〕高巧琴.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法及教學(xué)[J].呂梁高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2009（3）：6-8.

〔6〕郭冰怡.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法[J].教育理論研究，2016（4）：17-17.

〔7〕塞蒙斯GF.微分方程.張理京譯[M].北京：人民教育出版社，1981.

〔8〕凱哥.高階常系數(shù)齊次微分方程的解法[J].研究與開發(fā)，2016（2）：26-28.

〔9〕丁同仁，李承治.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.