巧用“數(shù)形結(jié)合”思想，妙解高考數(shù)學(xué)試題

摘 要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終，同時(shí)它在高考中占有非常重要的地位.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解答高考數(shù)學(xué)試題，能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的指導(dǎo)作用.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;思想方法;高考解題

數(shù)形結(jié)合思想貫穿著整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終，同時(shí)它在高考中占有非常重要的地位.所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是在研究問(wèn)題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考慮.通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，能夠使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化.在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的同時(shí)注意遵循等價(jià)性原則、雙向性原則、簡(jiǎn)單性原則.

例1.（2018年高考全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（文）21題）

已知函數(shù)

（1）若a=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）證明：f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，.

令=0，得;

令>0，得或;

令<0，得.

∴f（x）在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）.

①當(dāng)，即時(shí)，在R上恒成立，

f（x）在R上單調(diào)遞增，其圖象如圖1所示，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)，即a<-1或a>0時(shí)，方程=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，顯然x1

容易得，f（x）在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

若a<-1，則x11，由于x22+x2+1>0，

所以，f（x）極小值=.

此時(shí)，f（x）的圖象如圖2所示，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

若a>0，則x1<00，

所以，f（x）極大值=，

此時(shí)，f（x）的圖象如圖3所示，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，無(wú)論a取任何實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）都只有一個(gè)零點(diǎn).

例2.（2018年高考全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）21題）

已知函數(shù)f（x）=ex-ax2

（1）若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1;

解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex-x2，x≥0.

∴f'（x）=ex-2x

在同一坐標(biāo)系作函數(shù)y=ex，x≥0與y=2x，x≥0的圖象，再過(guò)原點(diǎn)（0，0）作曲線y=ex，x≥0的切線，如圖4.

設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率，切線方程為：.

又∵原點(diǎn)（0，0）在切線上∴

∴x0=1，即切點(diǎn)為（1，e），切線方程為：y=ex.

根據(jù)圖1，易知f'（x）=ex-2x>0在[0，+∞）上恒成立.

∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增.∴f（x）≥f（0）=1.

總之，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解答高考數(shù)學(xué)試題，能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的指導(dǎo)作用.

參考文獻(xiàn)

[1].薛樹(shù)英.2004年高考數(shù)學(xué)理科（18）題的分析與對(duì)策[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2004（08）：35.

[2].呂朝選.一道高考題的解法探究[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2010（03）：7-8.