小學數(shù)學教學中“相異構(gòu)想”的破除

摘要：在正式學習有關(guān)知識之前，學生頭腦里并非一片空白，而是通過對日常生活中一些現(xiàn)象的觀察和體驗，形成了一些前概念和相異構(gòu)想。在教學《平行四邊形的面積計算》一課之前，對學生進行前測，發(fā)現(xiàn)他們普遍存在相異構(gòu)想：平行四邊形的斜邊越長，面積就越大;平行四邊形的面積=底邊×鄰邊。據(jù)此展開針對性教學：不暗示，暴露真實認知;不跨越，基于認知發(fā)展;不回避，破除相異構(gòu)想。

關(guān)鍵詞：相異構(gòu)想學情調(diào)查針對性教學《平行四邊形的面積計算》

眾所周知，在正式學習有關(guān)知識之前，學生頭腦里并非一片空白，而是通過對日常生活中一些現(xiàn)象的觀察和體驗，形成了一些非科學的概念和特有的思維方式。專家們將這類概念稱為前科學概念（簡稱為“前概念”），將圍繞前概念建立起來的錯誤思維結(jié)構(gòu)稱為“相異構(gòu)想”。教學研究和實踐說明：錯誤不會輕易被正確覆蓋，它影響著一個人學習行為的理性趨向，阻礙著正確知識的接受。從這個角度來看，教學的核心意義在于破除學生的相異構(gòu)想。

具體到《平行四邊形的面積計算》一課，學生在正式學習平行四邊形的面積計算之前，有沒有相異構(gòu)想？如果有，達到了什么程度？如何針對性地進行教學？

一、學情調(diào)查

在教學《平行四邊形的面積計算》一課之前，我對任教的兩個五年級班級的78名學生進行了前測（測試題如下頁圖1），來調(diào)查他們關(guān)于平行四邊形面積計算的學情。

1.下面每組中兩個圖形的面積相等嗎？如果相等，請在中間畫“√”;如果不相等，請圈出較大的圖形。

2.你能通過測量所需的數(shù)據(jù)，計算下列圖形的面積嗎？（單位：厘米）

第1題中，前兩組圖形都是等底等高的圖形，它們的面積相等;第三組圖形中的平行四邊形是由長方形沿對角拉成的，長方形的面積較大。

第2題中，兩個圖形各邊的長度都嚴格按照勾股定理設(shè)計（如圖2），確保學生不會因測量數(shù)據(jù)不是整數(shù)而對計算方法產(chǎn)生懷疑。

學生第1題的答題情況如表1所示（其中，“答題結(jié)果”為左邊圖形相較于右邊圖形的大小關(guān)系）?？梢钥闯?， 67.9%的學生將第一組中的平行四邊形“想”大了，83.3%的學生將第二組圖形中左邊的平行四邊形“想”大了，57.6%的學生將第三組圖形中的平行四邊形“想”大了，即：學生對平行四邊形大小（面積）的判斷明顯受斜邊的影響，而且斜邊相對于高傾斜的角度越大，產(chǎn)生的偏差就越大。

學生第2題的答題情況如表2所示（其中，“典型錯誤”指的是采用“底邊×鄰邊”的方法，“其他錯誤”指的是除了“典型錯誤”以外的測量出錯、計算出錯、沒完成等情況）?？梢钥闯?，運用“底×高”計算的學生不足20%，而運用“底邊×鄰邊”計算的學生卻達到了驚人的65.4%。

綜合可以推知，在正式學習平行四邊形面積計算之前，學生普遍存在相異構(gòu)想：平行四邊形的斜邊越長，面積就越大;平行四邊形的面積=底邊×鄰邊。通過前測了解到的學情是學生學習的真正基礎(chǔ)，理應成為教學設(shè)計和課堂教學的起點。

二、針對性教學

（一）不暗示，暴露真實認知

【教學片段1】

師（出示圖3）下面哪個圖形的面積大？

生平行四邊形的面積大。

生長方形的面積大。

師觀察不出來，我們拿起來比一比。

（學生拿出教師提供的卡片比較。）

生一樣大。

生平行四邊形面積大。

師看來爭論還不小。要想準確地比出它們的大小，我們可以量一量，算一算?，F(xiàn)在請同學們量出需要的數(shù)據(jù)，用厘米作單位，算出它們的面積。

生我量出了長方形的長是6厘米，寬是4厘米，面積就是6×4=24（平方厘米）。

師同學們有沒有問題？

生（齊）沒有。

生我量的是平行四邊形的底和右斜邊，底是7厘米，右斜邊是5厘米，7×5=35（平方厘米）。

師同意這種方法的請舉手。

（有很多學生舉手。）

師同意的還不少嘛！你們?yōu)槭裁催@么想？

生把這個平行四邊形拉一下，就會變成長方形。按照長方形的方法做，就可以了。

（學生拉伸可活動的平行四邊形框架，明確拉伸后得到的長方形的長和寬分別對應原來平行四邊形的底和斜邊。）

師有不一樣的做法嗎？

生我量出了它的底和高，底是7厘米，高是3厘米，7×3=21（平方厘米）。

師答案不一樣了，你支持哪一種？

……

為了充分展示學生的原始想法，教師精心設(shè)計了兩個圖形：舍棄等底等高的組合，避免暗示學生用切割、平移的方法去轉(zhuǎn)化;長方形和平行四邊形的面積盡量接近，并且各邊長都是整數(shù)厘米。同時，匯報的次序及方式也很有考究：先匯報多數(shù)人使用的“底邊×鄰邊”方法，并通過操作活動加以“強化”;而對“底×高”的方法，只呈現(xiàn)算法，不闡述道理。學生無法從教師的語言中得到提示，便會充分暴露真實認知。

（二）不跨越，基于認知發(fā)展

【教學片段2】

師要比較面積，我們之前學過一個很有效的辦法是——

生數(shù)方格。

師請同學們拿出方格紙，數(shù)數(shù)看。

（學生利用方格紙數(shù)平行四邊形的面積。）

生21。

生我也數(shù)出來是21。

師大家都是21。你們是怎么數(shù)出來的？

生我是先數(shù)整塊的，然后把小塊的拼一拼，加起來就是21平方厘米。

（教師同步多媒體操作，如圖4所示。）

生我把左邊一整塊的三角形全部移到右邊。

（教師同步多媒體操作，如圖5所示。）

面積計量的本質(zhì)，其實就是用面積單位對計量對象進行計數(shù)。數(shù)方格是基礎(chǔ)而切實有效的計量面積方法，也是面積公式推導中可以利用的基本經(jīng)驗之一。由于平行四邊形的性質(zhì)，數(shù)方格時出現(xiàn)了不是整格的情況。生活中“化零為整”的經(jīng)驗可以幫學生找到解決的方案：把不滿一格的零散小格拼成一個整格來計數(shù)。在有些教師看來，跳過數(shù)方格活動，直接進行抽象推導或許更快捷、更徹底。但兒童的數(shù)學學習不是一蹴而就的，它是一個緩慢的、循序漸進的過程，必須建立在兒童已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗之上。不跨越，盡最大可能地激活兒童的已有經(jīng)驗，并據(jù)此開展學習活動，才是兒童數(shù)學學習的應有之道。

（三）不回避，破除相異構(gòu)想

【教學片段3】

師通過數(shù)方格，我們知道了平行四邊形的面積能用“底×高”來計算，這是什么道理？

生（指圖5）沿著高剪開后，把左邊的三角形平移到右邊，只是位置發(fā)生了變化，大小是不變的。

生長方形的長就是原來的底，寬就是原來的高，利用長方形的面積公式，平行四邊形的面積=“長”ד寬”=底×高。

師那之前很多同學使用的“底×鄰邊”的方法，為什么不能用呢？

生拉成長方形后，面積變了。

師變大了，還是變小了？

生變大了。

生（同步上臺操作，如圖6所示）把右邊的三角移到左邊后，上面還會空出一塊，這一塊就是變大的面積，所以不能用這種方法。

平行四邊形的面積為什么是“底×高”？為什么不是“底邊×鄰邊”？通常，我們會非常重視前者，忽視后者。部分教師甚至“談異色變”，擔心這種“異”會使學生對周長、面積的認識產(chǎn)生混亂。事實上，教學避而不談，學生就不亂了嗎？按照知識的內(nèi)在邏輯進行教學固然可取，但部分學生很難真正理解。他們會認為新學的知識“似乎有些道理”，但他們也堅信原來的認識“有道理”，于是兩種觀念混合，造成認知結(jié)構(gòu)的模糊。這里，教師引導學生探究“底×鄰邊”方法的錯誤原因，破除“平行四邊形變形成長方形后面積不變”的相異構(gòu)想。

參考文獻：

[1] 薛正檜.兒童相異構(gòu)想的成因及破解之道[J].江西教育，2018（8）.

[2] 鄭可菜.基于“相異構(gòu)想”的課堂教學法初探——從哈佛公開課說起[J].教育研究與評論（中學教育教學），2014（2）.

[3] 顧志能.教學，貼著學生的思維前行——“平行四邊形的面積”教學實踐與思考[J].小學數(shù)學教育，2012（Z1）.