例談數(shù)學(xué)幾何意義的應(yīng)用

何小菊

摘 要：在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中合理巧妙地應(yīng)用數(shù)學(xué)幾何意義，拓展各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，對(duì)習(xí)題教學(xué)進(jìn)行更深層次的教學(xué)思考，讓學(xué)生熟練掌握各項(xiàng)知識(shí)點(diǎn).突出探究活動(dòng)的開(kāi)展，必將有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：幾何意義；數(shù)學(xué)思考；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

例1（2017學(xué)年衢州二中高三模擬卷）已知函數(shù) ，若存在非零實(shí)數(shù) ，使得 成立，則 的最小值為（ ）

2.思路探索

解析：由 整理得 ，

設(shè) ，由于 ，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，若 是可使 在 上至少有一個(gè)實(shí)根的實(shí)數(shù)，求 的最小值.（*）

令 ，問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為 在 上至少有一個(gè)實(shí)根，求 的最小值.

于是，可得（1）若方程 的兩個(gè)根中有且只有一個(gè)根的絕對(duì)值大于等于2，則 ，即

（2）若方程的兩個(gè)根的絕對(duì)值都大于等于2，則 ，即

注：在這里其他情形無(wú)解

作出（1）（2）的線性規(guī)劃區(qū)域，由于 的最小值即為原點(diǎn)到直線 或 距離的平方. 的最小值是 ，此時(shí) 或

以上解析過(guò)程很好地利用了所求式子 的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想成功解題.

另解：在以上（*）中，令 ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知 ，求 的最小值.即求原點(diǎn)到直線 的距離平方的最小值，即 ，而 ，則

以上求解過(guò)程雖然在形式上不同，但也是巧妙地應(yīng)用了數(shù)學(xué)幾何意義，從而讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，讓不同程度的學(xué)生都能去嘗試解決這類難題。教育家裴斯泰洛齊認(rèn)為：“教育的主要任務(wù)，不是積累，而是發(fā)展思維.”在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，理所應(yīng)當(dāng)?shù)匾选皵?shù)學(xué)思考”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要目標(biāo)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考，發(fā)展“數(shù)學(xué)思考”，真正使學(xué)生具有可持續(xù)發(fā)展與終身學(xué)習(xí)的潛能，為學(xué)生一生的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

原題背景：（2007全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧賽區(qū)初賽）若關(guān)于 的方程 有實(shí)根，則 的最小值為（ ）

3.方法推廣

例2（2018學(xué)軍中學(xué)高三數(shù)學(xué)模擬卷）已知不等式 對(duì)任意實(shí)數(shù) 恒成立，則 的最大值為（ ）

一般解法：令 ，則

（1）當(dāng) 即 時(shí)， ，則 在上單調(diào)遞增，不滿足 恒成立；

（2）當(dāng) 即 時(shí)，令 得 ，

在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，

則 ，

則 ，

令 ，則 ，

在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減， ，即 ，選項(xiàng)為A

以上求解過(guò)程雖說(shuō)完整，但學(xué)生往往會(huì)覺(jué)得運(yùn)算繁瑣、不愿耐心計(jì)算。著名心理學(xué)家皮亞杰指出：“所有智力方面的工作都要依賴興趣.”而培養(yǎng)學(xué)生思維興趣的途徑，莫過(guò)于讓學(xué)生直接體驗(yàn)到課堂思維勞動(dòng)本身的樂(lè)趣.在習(xí)題教學(xué)中，讓學(xué)生對(duì)探究活動(dòng)有著積極的態(tài)度，“對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲”，因?yàn)楹闷嫘暮颓笾前l(fā)展興趣的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，還要讓學(xué)生“體驗(yàn)成功的樂(lè)趣”，鍛煉克服困難的意志，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信.在上面恒成立的不等式當(dāng)中，經(jīng)過(guò)移項(xiàng)變形，然后和目標(biāo)式子聯(lián)系對(duì)比，又可以轉(zhuǎn)化為利用幾何意義求解的問(wèn)題，這時(shí)候?qū)W生會(huì)豁然開(kāi)朗.這一富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題必將喚起學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，激發(fā)學(xué)生思維的興趣，讓數(shù)學(xué)思考更具有積極性和主動(dòng)性.

另解：由已知 ，即曲線 始終在直線 的上方，而所求的式子 為直線在 軸上截距的相反數(shù)，結(jié)合圖形知當(dāng)曲線與直線相切時(shí)即為所求.由 ，令 得 ，所以切點(diǎn)為 ，代入直線方程得 ，

即

則 ，

在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，

則

對(duì)于幾何意義的應(yīng)用，我們?cè)诰€性規(guī)劃問(wèn)題中比較常見(jiàn)，但在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中也應(yīng)該拓展各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生熟練掌握各項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，找出解決當(dāng)前問(wèn)題的方法.如果我們?cè)诹?xí)題教學(xué)中，突出探究活動(dòng)的開(kāi)展，對(duì)習(xí)題教學(xué)進(jìn)行更深層次的教學(xué)思考，必將有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 章建躍，陳向蘭.數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)、明道、憂術(shù)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)2014，10.

[2] 林松，習(xí)題教學(xué)：學(xué)生數(shù)學(xué)思考的有效載體，上海中學(xué)數(shù)學(xué)2017年第3期