初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)折疊問題的解題思路探討

吳凡

【摘 要】本文主要探討初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)折疊問題的解題思路，以當(dāng)下初中數(shù)學(xué)折疊問題實際教學(xué)情況為依據(jù)，首先分析初中數(shù)學(xué)有關(guān)折疊問題的解決要點(diǎn)，其次從挖掘折疊中的變化特點(diǎn)、綜合使用部分基本圖形、構(gòu)建折疊問題解決思維方式、靈活處理平面直角坐標(biāo)系下的折疊問題等方面，深入探討初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)折疊問題的解題思路，意在為相關(guān)研究提供參考。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);折疊問題;解題思路

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）34-0075-02

初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣以及學(xué)習(xí)能力體現(xiàn)在解題過程中，隨著我國教育改革的深入，針對數(shù)學(xué)解題的研究成為初中階段數(shù)學(xué)教師的重點(diǎn)話題。以幾何教學(xué)中的折疊問題為視角，在折疊變化中找到特征，找到幾何運(yùn)動的原理，與諸多類型的基本圖形結(jié)合應(yīng)用，可以幫助學(xué)生有效完成圖形折疊問題的解題，逐步滲透數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法。以下為筆者針對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)折疊問題的解題，給予的相關(guān)分析與建議。

1? ?初中數(shù)學(xué)有關(guān)折疊問題的解決要點(diǎn)

所謂的折疊問題，也就是對稱問題，是最近幾年中考中的常見題型。學(xué)生總是因為沒有深入了解折疊知識，導(dǎo)致失分。不管是折疊問題的哪一種考察形式，學(xué)生都應(yīng)在抽象的圖像中找到變化規(guī)律[1]，了解折疊問題的本質(zhì)，提高解決問題的效率。

首先，折疊問題是一種軸對稱變換，前提是翻轉(zhuǎn)變化，歸屬于軸對稱的變化范疇。對稱軸作為對應(yīng)點(diǎn)連線的一條垂直平分線，折疊前后的圖形形狀以及大小不會發(fā)生變化，只是位置發(fā)生變化，且對應(yīng)邊與對應(yīng)角存在相等的關(guān)系。其次，折疊中相對繁雜的數(shù)學(xué)問題可以理解為圖形的折疊，在畫圖過程中，標(biāo)記出折疊前和折疊后的圖形，有助于準(zhǔn)確找到折疊圖形中數(shù)量以及位置之間的關(guān)系[2]。矩形就是紙片折疊問題，相互重合的部分往往是圍繞折痕這一個底邊展開的等腰三角形。最后是折疊后得到的相等邊以及相等角和直角，都可以將某一個線段的長記作x，之后結(jié)合軸對稱的性質(zhì)引進(jìn)x的代數(shù)式，表示圖形中其他線段的長度，選擇相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，最后求出方程的解。

2? ?初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)折疊問題的解題思路

2.1? 挖掘折疊中的變化特點(diǎn)，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣

數(shù)學(xué)圖形的變化能夠引起學(xué)生的好奇心，通過認(rèn)真分析與探究解決問題，得到的良好體驗會增加學(xué)生學(xué)習(xí)信心。圖形在變化期間一定會存在特殊的規(guī)律，針對規(guī)律的研究會推動學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科的殿堂，被數(shù)學(xué)學(xué)科吸引。在解決折疊問題過程中，要注重動手實踐，初中生要結(jié)合題目大意，動手畫出折疊之后的圖形，親自體驗變換，掌握圖形變化的整體特征。構(gòu)建圖形折疊的直觀結(jié)構(gòu)，對學(xué)生解決折疊問題具有促進(jìn)作用。

2.2? 綜合使用部分基本圖形，構(gòu)建折疊問題解決的思維方式

折疊相關(guān)的幾何問題，難點(diǎn)往往出現(xiàn)在幾何圖形的推理和證明上，解決這類型問題的關(guān)鍵是借助數(shù)形結(jié)合，找到數(shù)量關(guān)系，完成量化計算。折疊問題作為幾何諸多基本圖形結(jié)合的重要載體，折疊期間引起的等量關(guān)系和組合搭配，對基礎(chǔ)類型圖形的隱含條件獲得與綜合使用能提供一定參考。保證學(xué)生給予圖形整體解決感知和知覺導(dǎo)向，進(jìn)而擴(kuò)展學(xué)生解題思路。折疊的基本特征，首先是折疊變化前后的圖形為全等圖形;其次是變化之后對應(yīng)點(diǎn)連接的線段被對稱軸垂直平分;最后是對稱軸上的點(diǎn)到對應(yīng)點(diǎn)的距離相等。如圖1：點(diǎn)B沿著線段FG折疊之后和點(diǎn)E重合，連接部分線段得到圖形，那么存在BF=EF，BG=EG，△BEF和△BEG均為等腰三角形，并且△AEF，△BCG，△DEG，△EOG，△ABE，△BFO等均為直角三角形，F(xiàn)G平分∠EFB、GF平分∠EGB等，在解決相關(guān)問題時，學(xué)生可以按照設(shè)置未知、表達(dá)數(shù)量、列方程的流程解決實際問題。

2.3? 轉(zhuǎn)變思想，靈活處理平面直角坐標(biāo)系下的折疊問題

因為數(shù)學(xué)折疊問題能夠把相關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，在解決的過程中可以訓(xùn)練學(xué)生分析問題的能力。尤其是平面直角坐標(biāo)系下的折疊問題，這些問題不只是凸顯數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想，還可以彰顯函數(shù)教學(xué)思想，便于加強(qiáng)學(xué)生解決問題的靈活性。在日常的訓(xùn)練中，師生都應(yīng)關(guān)注此類型的折疊問題，積極轉(zhuǎn)變思想，構(gòu)建直角坐標(biāo)系模型，巧妙地處理數(shù)學(xué)問題。

例：矩形ABCO在平面直角坐標(biāo)系中，且OA與OC和x軸與y軸重合，連接AC兩點(diǎn)，把紙片ABCO沿著AC折疊，點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，如圖2，已知點(diǎn)B坐標(biāo)是（2，4），那么點(diǎn)D坐標(biāo)是（? ?）。

解析：可以思考點(diǎn)D的橫縱坐標(biāo)，經(jīng)過D點(diǎn)分別作兩個軸的垂線段，便可計算出線段的長度，通過等腰三角形以及直角三角形的性質(zhì)，便可得到直角三角形OH、OA、AH之間的平方關(guān)系，利用相似比得出問題的答案。因此在處理直角坐標(biāo)系的折疊問題時，學(xué)生應(yīng)時刻聯(lián)想等腰三角形以及直角三角形的關(guān)系，探索問題的最終答案。

3? ?結(jié)束語

綜上所述，初中數(shù)學(xué)的折疊問題對學(xué)生來講存在一定難度，要想有效的提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率，師生要共同分析折疊問題的本質(zhì)，學(xué)會舉一反三，掌握折疊的內(nèi)涵與變化規(guī)律，巧妙地處理好數(shù)學(xué)問題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]周紅芳.題組引領(lǐng) 借題發(fā)揮 有效復(fù)習(xí)——解與圓有關(guān)的折疊問題幾例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)）：下半月，2017（5）.

[2]徐浩.用“心”聚“折”，折出精彩——“利用勾股定理解決折疊問題”的教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（18）.