淺談復(fù)變函數(shù)的特有性質(zhì)

王國(guó)欣 牛玉俊

摘要：復(fù)變函數(shù)是實(shí)變函數(shù)的推廣，在教學(xué)中可以運(yùn)用類(lèi)比和對(duì)比的方法來(lái)提高教學(xué)效率和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，同時(shí)要格外關(guān)注復(fù)變函數(shù)的特有性質(zhì)，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，進(jìn)而提升到應(yīng)用的高度，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù);實(shí)變函數(shù);特有性質(zhì)

復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生需要學(xué)習(xí)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，它的研究對(duì)象是以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)。復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于兩百多年前，在十九世紀(jì)時(shí)其理論知識(shí)得到了全面的發(fā)展，并在二十世紀(jì)初得到了進(jìn)一步的完善。復(fù)變函數(shù)不管是在數(shù)學(xué)理論方面還是在實(shí)際應(yīng)用方面，都有著很廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)方面，復(fù)變函數(shù)已經(jīng)深入到概率統(tǒng)計(jì)、微分方程、計(jì)算數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科。在實(shí)際應(yīng)用方面，可以利用復(fù)變函數(shù)來(lái)處理物理學(xué)中的穩(wěn)定平面場(chǎng)問(wèn)題;在飛機(jī)設(shè)計(jì)過(guò)程中，茹柯夫斯基在處理飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題時(shí)也利用了復(fù)變函數(shù)論，并利用了復(fù)變函數(shù)知識(shí)解決了航空力學(xué)方面和流體力學(xué)方面的問(wèn)題。

復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)是建立在數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上的，很多概念和結(jié)論在描述形式上非常相似，但二者之間的本質(zhì)意義卻不同。學(xué)生在學(xué)習(xí)這門(mén)課程時(shí)易與數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)內(nèi)容混淆，思維定勢(shì)難以扭轉(zhuǎn)，以至于難以理解甚至是錯(cuò)誤理解相關(guān)概念，從而增加了復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)難度。筆者在多年的復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，常常采用對(duì)比法，首先復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)概念，然后把相似的概念推廣的復(fù)變函數(shù)中來(lái)，這樣學(xué)生易于接受，效果比較好，而且能極大地提高學(xué)習(xí)效率。在此過(guò)程中，再由學(xué)生自己去尋找、發(fā)現(xiàn)兩者之間的不同，并多次強(qiáng)調(diào)復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的不同之處。以下對(duì)復(fù)變函數(shù)的特有性質(zhì)加以總結(jié)，并給出一些具體的教學(xué)案例，希望能給學(xué)生和任課老師一些借鑒。

1. 復(fù)初等函數(shù)的特有性質(zhì)

復(fù)初等函數(shù)[1]形式上與一元實(shí)基本初等函數(shù)[2]一樣，但它們的定義或者性質(zhì)會(huì)有很大的區(qū)別。

2. 復(fù)變函數(shù)的特有性質(zhì)

設(shè) 為一復(fù)數(shù)集合，若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 ，使得對(duì)任意的 ，都存在復(fù)數(shù) 與 相對(duì)應(yīng)，則稱(chēng) 是定義在 上的復(fù)變數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)變函數(shù)[1]。由于復(fù)變函數(shù)的定義中并未聲明 的唯一性，所以復(fù)變函數(shù)可能是單值的，也可能是多值的。如前面提到的復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)、復(fù)冪函數(shù)、復(fù)反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，究其原因，復(fù)變函數(shù)的多值性都是由復(fù)數(shù) 的輻角的多值性引起的。

復(fù)變函數(shù)的極限定義 在形式上與一元實(shí)函數(shù)的極限定義一樣，但本質(zhì)卻不同，復(fù)變函數(shù)的極限在本質(zhì)上同二元實(shí)函數(shù)的極限一致，即 等價(jià)于 。教師在講授這一內(nèi)容時(shí)一定要多加強(qiáng)調(diào)，因?yàn)楹竺娴倪B續(xù)、可導(dǎo)、解析都離不開(kāi)極限，而且這也正是復(fù)分析與實(shí)分析不同的根源。

（2） 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn) 處解析的條件是比較強(qiáng)的，要求在 的某個(gè)鄰域內(nèi)都是可微的，所以復(fù)變函數(shù)在點(diǎn) 解析，則在 處肯定可導(dǎo);反之則不一定。但是復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的可導(dǎo)性與解析性是等價(jià)的，從而由可導(dǎo)的定義可以推出可導(dǎo)與解析的判定條件。此外，解析函數(shù)的實(shí)部和虛部不是任意的，它們是可以相互確定的，即由實(shí)部（虛部）可以確定虛部（實(shí)部）。這部分內(nèi)容在講授時(shí)要用到大量關(guān)于二元實(shí)函數(shù)可微性方面的結(jié)論，建議學(xué)生提前復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)中相關(guān)的內(nèi)容。解析函數(shù)的另一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)是它的無(wú)窮可微性，即解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)仍解析，這一性質(zhì)使得解析函數(shù)很容易就可在解析點(diǎn)處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)。

（3） 復(fù)變函數(shù)的積分定義思路與一元實(shí)函數(shù)定積分的定義思路一樣，都是分割、取近似、求和、取極限。不同的是把實(shí)定積分中沿著數(shù)軸從點(diǎn) 到點(diǎn) 的積分路徑推廣到了復(fù)平面上沿著曲線(xiàn)從起點(diǎn) 到終點(diǎn) 的積分路徑，所以復(fù)積分的基本性質(zhì)與實(shí)數(shù)域中第二型曲線(xiàn)積分的性質(zhì)基本一樣。但也有些不同之處，比如復(fù)積分中的牛頓—萊布尼茲公式與一元實(shí)函數(shù)的牛頓—萊布尼茲公式形式上一樣，但適用的條件不同。對(duì)一元實(shí)函數(shù)，只要求被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，牛頓—萊布尼茲公式就成立;對(duì)復(fù)積分，被積函數(shù)連續(xù)只能保證積分存在，但不能保證牛頓—萊布尼茲公式成立，因?yàn)閺?fù)積分是曲線(xiàn)積分，牛頓—萊布尼茲公式是否成立與被積函數(shù)是否在某個(gè)單連通區(qū)域內(nèi)解析有關(guān)，即如果復(fù)積分的上下限都包含在被積函數(shù)的某個(gè)解析的單連通區(qū)域內(nèi)，則牛頓—萊布尼茲公式成立。積分路徑上無(wú)奇點(diǎn)的復(fù)積分的計(jì)算可參照下面的步驟。

（4） 解析函數(shù)的洛朗展式是一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù)，它不僅包含非負(fù)整數(shù)次冪項(xiàng)，也包含負(fù)整數(shù)次冪項(xiàng)，所以泰勒級(jí)數(shù)可以看作是洛朗級(jí)數(shù)的特殊情形。如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可以展為泰勒級(jí)數(shù)，那么它在這個(gè)區(qū)域的洛朗展式就是那個(gè)泰勒級(jí)數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)在圓盤(pán)內(nèi)解析，則能夠展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù);如果函數(shù)在一個(gè)圓環(huán)內(nèi)解析，則展開(kāi)式為洛朗級(jí)數(shù)。洛朗級(jí)數(shù)可以用來(lái)研究解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)附近的性質(zhì)。這部分內(nèi)容在數(shù)學(xué)分析中沒(méi)有相應(yīng)的討論，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)比較困難，最好是通過(guò)不同的例題來(lái)引入非孤立奇點(diǎn)與孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型。比如， 的奇點(diǎn)有 ， ，因?yàn)?，所以 不是孤立奇點(diǎn)。在討論孤立奇點(diǎn)的三種類(lèi)型時(shí)，可以借助于洛朗級(jí)數(shù)來(lái)理解，如當(dāng) 時(shí)， ，因?yàn)橛叶说募?jí)數(shù)在 處解析，所以孤立奇點(diǎn) 為 的可去奇點(diǎn)，即可以去掉的奇點(diǎn);又 ? ，右端出現(xiàn)負(fù)次冪項(xiàng)，負(fù)次冪的最高次為2，所以當(dāng)上式的左右兩端都乘以 時(shí)，則右端的級(jí)數(shù)部分解析，從而 為 的二階極點(diǎn);但是，由于 的右端洛朗級(jí)數(shù)的負(fù)次冪項(xiàng)的指數(shù)趨于無(wú)窮大，負(fù)次冪項(xiàng)是無(wú)論如何都消不掉的，所以 為 的本質(zhì)起點(diǎn)。一旦學(xué)生理解了這些定義及不同，后面關(guān)于孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)及定理理解起來(lái)就容易些了。

（5） 留數(shù)（又可稱(chēng)為殘數(shù)）是復(fù)變函數(shù)論中所獨(dú)有的又一個(gè)重要概念。留數(shù)的概念最早是在1825年由柯西提出的。由于對(duì)解析函數(shù)的洛朗展開(kāi)式進(jìn)行積分時(shí)只留下一項(xiàng) ，因此稱(chēng)它的系數(shù) 為 在 處的留數(shù)。教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)重難點(diǎn)是如何利用留數(shù)來(lái)計(jì)算實(shí)積分，特別是那些原函數(shù)不容易直接表示出來(lái)的定積分和廣義積分。利用計(jì)算這些積分時(shí)，首先要考慮的是怎么把實(shí)積分轉(zhuǎn)化成復(fù)變函數(shù)的周線(xiàn)積分。由于不同類(lèi)型的實(shí)積分計(jì)算方法不同，所以講授過(guò)程中可以先講解例題，舉一反三，讓學(xué)生歸納總結(jié)出一般形式。除了計(jì)算定積分，留數(shù)在很多問(wèn)題上都有重要應(yīng)用，如函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算，將亞純函數(shù)展開(kāi)為部分分式，將整函數(shù)展開(kāi)為無(wú)窮乘積，穩(wěn)定性理論，漸近估計(jì)等[3]。

總之，在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中要應(yīng)用類(lèi)比、對(duì)比的方法引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)中相似的概念及結(jié)論推廣到復(fù)數(shù)域來(lái)，總結(jié)出復(fù)變函數(shù)的特有性質(zhì)，再進(jìn)行深入的研究，以便加深理解，達(dá)到融會(huì)貫通的目的，進(jìn)而提升到應(yīng)用的高度，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]石麗仙. 柯西復(fù)分析思想探究[D]. 山西師范大學(xué)， 2013.

作者簡(jiǎn)介：王國(guó)欣（1984-），女，漢族，河南南陽(yáng)，南陽(yáng)理工學(xué)院，講師，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)及最優(yōu)化。

基金項(xiàng)目：河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目（19A110027）。