復(fù)變函數(shù)教學(xué)的探索與實踐

黃喜嬌+秦志芳

【摘 要】 復(fù)變函數(shù)是一門比較抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，它不像數(shù)學(xué)分析的有些概念有現(xiàn)實的幾何意義和幾物理意義，實際應(yīng)用也比較少，為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，結(jié)合課程本身的特點，本文主要從創(chuàng)設(shè)問題情境、運(yùn)用類比法，采用啟發(fā)式教學(xué)、增加互動環(huán)節(jié)，培養(yǎng)發(fā)散思維三方面進(jìn)行探討。

【關(guān)鍵詞】 復(fù)變函數(shù)；思維能力；實踐

【中圖分類號】 G64.30 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2016）36-0-01

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后繼課程，里面的許多概念、定理等是數(shù)學(xué)分析的概念、定理在復(fù)數(shù)域中的推廣，筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗，嘗試大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的一些方法，探討了一些基本問題，總結(jié)了一些教學(xué)手段和規(guī)律，具體如下：

第一、創(chuàng)設(shè)問題情境

在復(fù)變函數(shù)的教材中，有些章節(jié)的內(nèi)容，一開始就會給出定理，如果直接講解定理學(xué)生不容易理解更不容易接受，所以對于這樣的內(nèi)容，教師可以用一個例子或者一個實際問題引出概念或定理，激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)他們探究的習(xí)慣，逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。比如，在講柯西積分公式：

（是解析區(qū)域中的點）之前，我們可以利用函數(shù)的解析性得到，在區(qū)域內(nèi)的圓周上，的值隨圓的半徑的減小而逐漸接近于在圓心的函數(shù)值，隨之可以得到，這樣在柯西積分公式的證明中就比較容易理解為什么等式的證明轉(zhuǎn)化為證明極限了。當(dāng)然，在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)牟迦霐?shù)學(xué)概念的背景及應(yīng)用，可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)價值的認(rèn)識，構(gòu)筑數(shù)學(xué)與人文科學(xué)之間的橋梁，為課堂增加色彩，增強(qiáng)學(xué)習(xí)氣氛，避免課堂枯燥沉悶，提高課堂效率。

第二、運(yùn)用類比法，采用啟發(fā)式教學(xué)

《復(fù)變函數(shù)》是《數(shù)學(xué)分析》的后繼課程，二者在內(nèi)容上有相似之處，又有區(qū)別之分，實數(shù)域內(nèi)有些內(nèi)容可以直接推廣到復(fù)數(shù)域，但有些是不可以的，所以在上課的時候，讓他們發(fā)現(xiàn)這些內(nèi)容的區(qū)別與聯(lián)系，這樣在教學(xué)過程中在比較中回顧舊知識，同時也在比較中學(xué)習(xí)新知識，每一個環(huán)節(jié)總是在啟發(fā)學(xué)生主動思考，逐步培養(yǎng)同學(xué)們的類比思維方法。比如，在實數(shù)域內(nèi)，恒成立，但在復(fù)數(shù)域內(nèi)，也即在復(fù)數(shù)域內(nèi)不再成立，同樣不再成立；在實數(shù)域內(nèi)無周期，但在復(fù)數(shù)域內(nèi)，是為周期的周期函數(shù)，其他的性質(zhì)實數(shù)域與復(fù)數(shù)域內(nèi)一致，在復(fù)變函數(shù)中這樣的例子有很多，所以運(yùn)用類比的方法可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，減少內(nèi)容的冗余量。

第三、增加互動環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

課堂上教師可以以課堂討論、提問的方式引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行概括與總結(jié)，讓學(xué)生將知識經(jīng)過自己頭腦的分析，從不同角度進(jìn)行總結(jié)歸納。對于習(xí)題，啟發(fā)學(xué)生對于一個問題從多個角度思考，舉一反三，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維。比如，已知解析函數(shù)的實部或虛部，求解析函數(shù)的虛部或?qū)嵅?，課本上介紹了兩種方法，但第一種方法比較復(fù)雜，第二種方法利用方程相對簡單，后來又補(bǔ)充了一種方法——積分法，這種方法非常簡單，但這種方法需要把轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，對于個別學(xué)生來說可能有點困難，同學(xué)們可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)水平，選擇自己熟練的方法做題，其他方法可根據(jù)自己掌握的知識進(jìn)行研究。

第四、引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨立思考、總結(jié)和探索的能力

獨立思考是學(xué)生學(xué)好任何一門學(xué)科知識的前提，也是理解和掌握知識的必要條件。課堂上，如果只是教師講解，而學(xué)生沒有經(jīng)過獨立思考，就不可能很好地消化所學(xué)的知識，也不可能真正深入理解其中的奧妙，使這些知識成為自己真正掌握的知識。通過思考、討論、總結(jié)，學(xué)生不但加深了對知識的理解、掌握，還學(xué)會了真正的思考，體會了獨立思考的成就感，從而使他們勤于思考、樂于思考，加強(qiáng)了學(xué)習(xí)的動力。教師在上新課或講習(xí)題時，不易講解太細(xì)，要給學(xué)生留出思考和探究的余地，否則的話，學(xué)生看似聽懂了、學(xué)會了，實則難以內(nèi)化為學(xué)生自己的觀點，不利于培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力。簡單知識的推導(dǎo)、論證、實數(shù)域與復(fù)數(shù)域內(nèi)知識的對比以及區(qū)別和聯(lián)系、知識點及方法的歸納、總結(jié)等，可以留給學(xué)生去做，這樣，既鍛煉學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，又能培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣及歸納、探索的能力。

第五、注重復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

復(fù)變函數(shù)作為一種強(qiáng)有力的工具，已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于流體力學(xué)、彈性力學(xué)、理論物理及自動控制理論等研究中。在力學(xué)專業(yè)—非線性振動的學(xué)習(xí)中，對描述非線性振動系統(tǒng)的微分方程化簡等內(nèi)容都要用到復(fù)變函數(shù)的一些基本知識來處理。復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計算都是用它來解決的.在復(fù)變函數(shù)中，劉維爾定理和留數(shù)是非常重要的知識，不僅在復(fù)變函數(shù)中有很多應(yīng)用，而且在其他的課程中應(yīng)用也比較廣泛。比如在高等代數(shù)中，可以應(yīng)用復(fù)變函數(shù)中的劉維爾定理（有界整函數(shù)必為常數(shù)）證明代數(shù)學(xué)基本定理（在平面上，次多項式至少有一個零點。在數(shù)學(xué)分析中，并不是所有可積的函數(shù)其原函數(shù)都可以用初等函數(shù)表示出來，因此計算積分的值比較困難，對于有些積分可以利用復(fù)變函數(shù)的留數(shù)知識來計算。

總之，在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)盡可能的進(jìn)行背景解釋和應(yīng)用方面的舉例，有利于學(xué)生進(jìn)一步對概念的理解。運(yùn)用類比的方法、進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，有利于學(xué)生對新知識的理解與掌握，培養(yǎng)學(xué)生歸納、探索的能力；把理論背景滲透到教學(xué)中有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和實際應(yīng)用的能力。在以后的教學(xué)中，我們應(yīng)結(jié)合自身的實踐經(jīng)驗、學(xué)生的特點及課程的特點，不斷完善復(fù)變函數(shù)的教學(xué)方法及教學(xué)模式。

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