小格子大智慧

王紅芳 邵森弟

摘 要：文章根據(jù)方格圖在教學(xué)中的使用現(xiàn)狀，分析方格圖在教材體系中的編排與分布，剖析方格圖的外在特征和內(nèi)在本質(zhì)。論述了方格圖在教學(xué)中的具體運(yùn)用，數(shù)格子，自然建構(gòu)方法與思想;擺格子，無(wú)痕鏈接操作與概念;畫(huà)格子，無(wú)形融合算理與圖形;算格子，無(wú)縫對(duì)接經(jīng)典與創(chuàng)新。最后，文章列舉了格子圖在教學(xué)中的三個(gè)注意點(diǎn)，以期完美使用格子圖，提升教法學(xué)法，發(fā)展學(xué)生思維。

關(guān)鍵詞：方格圖;操作實(shí)驗(yàn);幾何直觀(guān)

在日常教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生們認(rèn)為數(shù)方格是笨方法，對(duì)這種方法不屑一顧，甚至老師們也認(rèn)為這是一種低層次的思維活動(dòng)。筆者在以往的教學(xué)中，也忽略了方格圖的編寫(xiě)意圖，忽視了方格圖的運(yùn)用。但在現(xiàn)行教材中許多內(nèi)容的編寫(xiě)都采用了方格圖，如認(rèn)識(shí)公因數(shù)和最大公因數(shù)，分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算，平移和旋轉(zhuǎn)，平面圖形的面積等。專(zhuān)家們對(duì)方格圖的編寫(xiě)不離不棄，是否意味著方格圖與課程內(nèi)容有著特殊的寓意和獨(dú)特的作用。然而，直到聽(tīng)了特級(jí)教師袁曉萍老師的“平行四邊形的面積”一課 ，一系列精心設(shè)計(jì)的數(shù)方格活動(dòng)，讓學(xué)生自然而然想到了剪、移、拼成長(zhǎng)方形的方法。讓筆者對(duì)“數(shù)方格”有了全新的認(rèn)識(shí)，也引發(fā)了筆者對(duì)方格圖在現(xiàn)行教學(xué)中運(yùn)用的分析與探究。

一、教材中方格圖的地位及作用

（一）教材中方格圖的分布與地位

縱觀(guān)我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（人教版），方格圖在“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”領(lǐng)域中經(jīng)常被采用，特別在“圖形與幾何”領(lǐng)域，格子圖的應(yīng)用幾乎涵蓋了所有平面圖形的內(nèi)容，在每個(gè)年級(jí)的教材中都有編排，并通過(guò)不同形式來(lái)呈現(xiàn)。這種呈現(xiàn)在遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，符合內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的前提下，體現(xiàn)出循序漸進(jìn)、螺旋上升的編寫(xiě)理念。

審視方格圖在不同年級(jí)以不同的形式呈現(xiàn)，對(duì)于學(xué)生理解概念、掌握方法、發(fā)展空間觀(guān)念有著不可替代的作用。從一年級(jí)的“位置”中的引用學(xué)生熟悉的座位排序等實(shí)物圖、初步感知方格圖的最初事物模型，到二年級(jí)的“圖形與變換”和“觀(guān)察物體”中學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)、平移時(shí)方格圖的運(yùn)用，為學(xué)生描述平移的運(yùn)動(dòng)，定量刻畫(huà)物體的平移，提供了重要的輔助工具;從三年級(jí)中依托方格圖感受四邊形中“平行”“相等”這些概念，體會(huì)方格圖的標(biāo)準(zhǔn)與直觀(guān)，到四年級(jí)點(diǎn)子圖（方格圖的變式）的出現(xiàn)，由于點(diǎn)子圖這種只有點(diǎn)而缺少線(xiàn)的特點(diǎn)，為學(xué)生提供了更大的想象空間;在五年級(jí)則成了測(cè)量的重要依據(jù)，讓學(xué)生在數(shù)方格中自主探究出平面圖形面積的計(jì)算方法，最后到六年級(jí)的“數(shù)對(duì)”，感受數(shù)對(duì)與位置的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，有效地發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)。

（二）教材中方格圖的剖析與作用

方格圖是由很多邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的， 正方形是由點(diǎn)、線(xiàn)構(gòu)成的面。如果說(shuō)點(diǎn)、線(xiàn)是一維的，那么面就是二維的，因此方格圖兼具了一維和二維的特性。從一維角度看，方格圖上的點(diǎn)、線(xiàn)，蘊(yùn)含許多特性，易與其它內(nèi)容相結(jié)合。從二維角度看，小方格就是一個(gè)單位面積，是整個(gè)方格圖的基礎(chǔ)，對(duì)于平面圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量都有著非常重要的作用。

1、凸顯點(diǎn)線(xiàn)關(guān)系

方格圖上的點(diǎn)與點(diǎn)、線(xiàn)與線(xiàn)之間都有其特性。點(diǎn)點(diǎn)之間的距離都是邊長(zhǎng)的倍數(shù)，線(xiàn)線(xiàn)之間關(guān)系更是特殊，一種是互相平行，另一種是互相垂直。學(xué)生最喜歡這種橫平豎直的參照，將圖形置于方格圖中，凸顯了點(diǎn)和線(xiàn)的位置與特點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解圖形的特征?？梢哉f(shuō)，方格圖是圖形與幾何教學(xué)的重要載體。

2、提供測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)

從一維角度看，單位面積的小方格，由于邊長(zhǎng)一定，學(xué)生借助它觀(guān)察線(xiàn)段的長(zhǎng)度，很容易比較出物體或線(xiàn)段的長(zhǎng)短。從二維角度看，方格圖作為測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和歸納計(jì)算方法，更為學(xué)生理解面積單位，面積單位的個(gè)數(shù)和平面圖形面積計(jì)算方法之間的聯(lián)系起到了重要的作用。

3、積累測(cè)量方法

由于方格圖是由很多邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的，運(yùn)用于平面圖形周長(zhǎng)和面積的學(xué)習(xí)，不但可以幫助學(xué)生推導(dǎo)出計(jì)算方法，還可以讓學(xué)生掌握最基本的“測(cè)量”方法，使用“單位”累加來(lái)完成自己的研究，實(shí)現(xiàn)自己的發(fā)現(xiàn)。學(xué)習(xí)“周長(zhǎng)”，使用“長(zhǎng)度單位”進(jìn)行累加，學(xué)習(xí)“面積”，運(yùn)用“面積單位”進(jìn)行累加，面積單位的累加組成圖形的總面積，對(duì)于圖形面積本質(zhì)的理解，圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，“測(cè)量”方法的習(xí)得都是至關(guān)重要的。

4、滲透對(duì)應(yīng)思想

在六年級(jí)“用數(shù)對(duì)確定位置”這一課，教材編寫(xiě)了帶橫向、縱向數(shù)據(jù)的網(wǎng)格圖。其實(shí)，這是對(duì)初中知識(shí)的一種滲透，為今后學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系做孕伏。從整體上看，縱橫交錯(cuò)的網(wǎng)格上的點(diǎn)是縱向和橫向唯一的交點(diǎn)。在圖中，用一對(duì)有序數(shù)來(lái)表示一個(gè)點(diǎn)的位置，幫助學(xué)生感受數(shù)對(duì)與位置的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，滲透函數(shù)思想，提升空間觀(guān)念。

二、方格圖在教學(xué)中的運(yùn)用

（一）數(shù)格子，方法與思想的自然建構(gòu)

“平行四邊形的面積”這一內(nèi)容，在面積計(jì)算公式推導(dǎo)之前有一個(gè)“數(shù)方格”的活動(dòng)，許多老師在處理這一活動(dòng)往往只是輕描淡寫(xiě)地帶過(guò)，對(duì)后續(xù)的自主探究沒(méi)有起到實(shí)質(zhì)性的引領(lǐng)作用。筆者在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)展示課上觀(guān)摩了袁曉萍老師所執(zhí)教的課，教者讓一張小小的方格紙（亦稱(chēng)為單位面積卡）發(fā)揮了奇妙的作用，讓“數(shù)方格”這一活動(dòng)平淡中見(jiàn)神奇，樸實(shí)中見(jiàn)豐盈，“數(shù)”出了別樣的精彩。

【“平行四邊形的面積”教學(xué)片斷】

1.引入新課

（課伊始，老師用課件在格子圖中呈現(xiàn)一個(gè)平行四邊形）

師：認(rèn)識(shí)這個(gè)圖形碼？關(guān)于平行四邊形你已有哪些認(rèn)識(shí)？

師：關(guān)于平行四邊形，你還想學(xué)習(xí)什么？今天這節(jié)課，我們就一起來(lái)研究平行四邊形的面積計(jì)算。

2.用格子圖探究面積

（1）初次數(shù)方格

師：同學(xué)們手中都有這樣一張平行四邊形紙片，你有辦法知道它的面積嗎？

師：如果一個(gè)小方格表示1平方厘米，請(qǐng)用數(shù)格子的方法數(shù)出平行四邊形的面積。并用筆畫(huà)一畫(huà)、標(biāo)一標(biāo)，讓人一眼看出你數(shù)的方法。（生嘗試，師巡視指導(dǎo)）

（2）匯報(bào)展示

師：你是怎么數(shù)的？

生1：我是先數(shù)整格的，有20格，再把上下不到一格的兩個(gè)兩個(gè)拼起來(lái)數(shù)的，也是4格。

生2：（用箭頭符號(hào)表示拼的過(guò)程）左右兩邊的正好拼起來(lái)是一個(gè)格子，這樣兩個(gè)兩個(gè)地可以拼成8個(gè)方格，再加上占整個(gè)的有20個(gè)方格，我這樣一共數(shù)出24個(gè)方格。

生3：把左邊的三角形移到右邊（并用同一個(gè)數(shù)字表示左右相對(duì)應(yīng)的方格），拼成長(zhǎng)方形后再數(shù)一數(shù)是24個(gè)平方厘米。

（解讀：教師設(shè)計(jì)數(shù)出方格紙上的平行四邊形的環(huán)節(jié)，數(shù)的過(guò)程中，學(xué)生遇到問(wèn)題：不滿(mǎn)一格怎么辦？并促使學(xué)生思考：如何把不滿(mǎn)一格轉(zhuǎn)化成滿(mǎn)格？這時(shí)，老師適時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生用筆畫(huà)一畫(huà)，將平行四邊形的轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形這種剪拼方法呼之欲出，大部分同學(xué)已自己得出方法）

（3）再次數(shù)方格

師：誰(shuí)能用拼的方法來(lái)數(shù)出它的面積。但是要注意，拼的次數(shù)越少就越能顯示出你的水平高。

（解讀：學(xué)生思維層次不同、空間想象水平有差異，拼的次數(shù)肯定有多有少，第二次拼，教師指向明確，就是要拼的次數(shù)越少水平越高，這里的活動(dòng)具有挑戰(zhàn)性，成功激發(fā)了學(xué)生的戰(zhàn)斗力，盡顯方格魔力）

袁老師在《平行四邊形的面積》一課中，巧妙的運(yùn)用一系列的數(shù)格子活動(dòng)，讓學(xué)生自然而然的想到了剪、移、拼成長(zhǎng)方形的方法，既使學(xué)生水到渠成地得出了平行四邊形的面積等于底乘高這一方法，又潛移默化地滲透了“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)設(shè)計(jì)真是妙不可言！

（二）擺格子，概念與操作的無(wú)痕鏈接

一直以來(lái)，“公因數(shù)”教學(xué)，往往以抽象、單調(diào)、乏味困擾師生。賦予“公因數(shù)”圖形的意義，既豐富了概念，豐盈了教學(xué)，又讓學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合加深理解。在“公因數(shù)”教學(xué)中運(yùn)用格子圖，讓動(dòng)手操作與概念理解無(wú)痕鏈接。

【“公因數(shù)”教學(xué)片斷】

1.分別用邊長(zhǎng)9厘米和4厘米的正方形紙片鋪右邊的長(zhǎng)方形，能正好鋪滿(mǎn)嗎？

（1）學(xué)生操作，交流驗(yàn)證。（投影學(xué)生作品）

（2）想一想：為什么不能夠正好鋪滿(mǎn)呢？

生：9能整除18，9是18的因數(shù)。而9不是12的因數(shù)。

……

2.怎樣的正方形才能正好鋪滿(mǎn)這個(gè)長(zhǎng)方形？

師板書(shū)：6既是18的因數(shù)，又是12的因數(shù)。6是18和12的公因數(shù)。

3.邊長(zhǎng)3厘米、2厘米、1厘米的正方形呢？能否正好鋪滿(mǎn)這個(gè)長(zhǎng)方形？請(qǐng)?jiān)谀X中描繪，并用語(yǔ)言表達(dá)。同理講授。

多樣的素材，真正豐富了學(xué)生的感知;精心的設(shè)計(jì)，真正讓學(xué)生自主建構(gòu)起“公因數(shù)”的概念，并幫助學(xué)生初步理解“正好鋪滿(mǎn)”的本質(zhì)意義。設(shè)計(jì)操作格子圖活動(dòng)，組織學(xué)生展示自己的思考過(guò)程，逐步完善對(duì)概念的理解，無(wú)痕地實(shí)現(xiàn)對(duì)“公因數(shù)”概念的建構(gòu)。

（三）畫(huà)格子，算理與圖形的無(wú)形融合

算理對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是抽象的、無(wú)形的，如何讓學(xué)生真正理解算理，數(shù)形結(jié)合不失為一種有效的方法。具有直觀(guān)形象特征的方格圖的合理使用，能將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，把無(wú)形的解題思路具體化?！斑B除應(yīng)用題”的教學(xué)一直是學(xué)生理解的難點(diǎn)，將算理與畫(huà)格子結(jié)合在一起，在直觀(guān)圖示的導(dǎo)引和教師的啟發(fā)下，學(xué)生能比較容易地理解數(shù)量之間的關(guān)系，理清解題的思路，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

【“連除應(yīng)用題”教學(xué)片斷】

例題：有30個(gè)桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個(gè)？

30÷2÷3，學(xué)生畫(huà)了下圖：

先平均分成2份，再將其中1份平均分成3小份。

②30÷3÷2，學(xué)生畫(huà)了下圖：

先平均分成3份，再將其中1份平均分成2小份。

③30÷（3×2），學(xué)生畫(huà)了下圖：

先平均分成6份，再表示出其中的1份。

教師要求學(xué)生借助長(zhǎng)方形表示思路的方法。因?yàn)殚L(zhǎng)方形是二維的，通過(guò)二維圖中的表達(dá)，讓學(xué)生很容易表達(dá)出小猴的只數(shù)、吃的天數(shù)與桃子個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。很顯然，學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)的操作，借助圖形語(yǔ)言，借助已學(xué)過(guò)的除法知識(shí)，解決了連除應(yīng)用題的問(wèn)題，從而理解了連除的意義。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓抽象的數(shù)量關(guān)系、思考路徑形象地外顯了，非常直觀(guān)，宜于學(xué)生理解。

三、方格圖在教學(xué)中的注意點(diǎn)

格子圖作為單位面積的正方形格子，得到老師和同學(xué)們的青睞，在教學(xué)、練習(xí)過(guò)程中也大量的使用。盡管方格圖有直觀(guān)，清晰，單位面積一定，便于數(shù)數(shù)比較等優(yōu)點(diǎn)，但需要注意恰當(dāng)運(yùn)用，切記不要事倍功半。

（一）注意適配內(nèi)容

雖然有些課的內(nèi)容使用格子圖能得到事半功倍的作用，這些內(nèi)容往往都與方格有緊密的聯(lián)系。面積教學(xué)有單位面積量的需求;平移旋轉(zhuǎn)有對(duì)垂直線(xiàn)段、單位刻度的需要;公因數(shù)、連除、分?jǐn)?shù)乘除法有長(zhǎng)方形面積長(zhǎng)乘寬兩個(gè)數(shù)相乘的呈現(xiàn)。但是更多的內(nèi)容很難與格子圖適配，如概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)。因此，教者要分析教材、課題內(nèi)容，選擇最適合的素材，不能為了使用而使用。

（二）注意適度操作

格子圖用于數(shù)形結(jié)合時(shí)所花的時(shí)間相對(duì)較少，但用于操作時(shí)，耗時(shí)較大，影響教學(xué)進(jìn)度。如平行四邊形的面積，大多是教師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化得出面積方法，而格子圖則需大量時(shí)間用來(lái)操作。由此，需要教者的精密設(shè)計(jì)，適度操作，才更能讓格子圖散發(fā)光彩。

（三）注意適時(shí)提升

小學(xué)生的思維正由具體形象思維過(guò)渡到抽象邏輯思維。俗話(huà)說(shuō)，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)是鍛煉思維，發(fā)展思維，提升思維。不管是數(shù)格子，擺格子，算格子還是畫(huà)格子，都應(yīng)以落實(shí)內(nèi)容，思維提升為前提。使用格子圖這種直觀(guān)的圖形，也應(yīng)注意是否優(yōu)化教法，升華學(xué)法，提升思維。

總之，正確使用格子圖，能起到事半功倍的作用，通過(guò)直觀(guān)的手段幫助學(xué)生學(xué)習(xí)幾何初步知識(shí)，乃至數(shù)與代數(shù)知識(shí)。凸顯了空間與圖形的顯現(xiàn)特征，賦予了數(shù)與代數(shù)直觀(guān)意義，滲透了中學(xué)的函數(shù)思想。但直觀(guān)呈現(xiàn)也需要提升，具體到抽象、模糊到清晰是必然的過(guò)渡，這個(gè)過(guò)程使得空間想象力得到充分有序地訓(xùn)練，空間觀(guān)念得到有效地提升。

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1浙江省杭州市蕭山區(qū)臨浦鎮(zhèn)第一小學(xué)，浙江 杭州311200

2浙江省杭州市余杭區(qū)五常中心小學(xué)，浙江 杭州311100