高三數學教學中培育學生研學能力的探索

袁國慶

摘 要：本文以《利用導數求函數單調性》專題復習課為例，具體闡述培育學生研學能力的做法：在學生自主梳理知識的基礎上，結合具體的數學背景提出需要研究的問題，通過教師的組織在問題解決過程中培育學生研學能力，并總結出這類課堂研學的優(yōu)化策略。

關鍵詞：高三數學;專題復習;研學能力

布魯納認為：“教師不能把學生教成一個活動的書櫥。而是教學生學習如何思維，教他們如何像歷史學家那樣研究分析史料，在求知過程中組織屬于他自己的知識?！?教育部考試中心任子朝在《從能力立意到素養(yǎng)立意》一文中指出：“高考正在實現從能力立意到素養(yǎng)導向的轉變，高考命題引導中學教學尊重學生學習的主體地位，激發(fā)學生學習的主觀能動性，養(yǎng)成學生良好的學習習慣，從而為國家培養(yǎng)全面而有個性的社會主義建設人才?！笨梢?，學生知識的獲得是建立在學生自主學習、自主探究的基礎之上，并在學習、研究的過程中自主完善認知結構，逐步提高數學思維能力、發(fā)展核心素養(yǎng)。

本文把自主學習、自主探究的能力稱為研學能力。很顯然，教與學的過程既是學生參與研學的過程，同時也是發(fā)展研學能力的過程。高三數學教學，特別是高三后半段的綜合復習教學，我們需要學生參與研學，更需要培育學生的研學能力，應當經常性嘗試研學課堂。筆者通過多年的教學實踐，對如何在高三復習教學中培育學生的研學能力方面有了些許經驗并總結成文，與同行交流、共享，旨在拋磚引玉。

1.教學實例

1.1學情分析

這是一節(jié)利用導數研究函數單調性的專題復習課，主要任務是通過引導學生梳理知識內容和參與數學問題的解決，加深對已學知識的理解，并使之結構化、系統(tǒng)化，提高學生的概括能力和分析問題、解決問題的能力。學生經歷過一輪復習，在知識水平上已經對導數的概念及具體應用有較深刻的認識。

1.2教學目標

通過學生自主整理、思考，加深對知識的理解。

通過學生對問題的自主探究，掌握利用導數處理函數單調性的一般方法。

在學生自主提出問題、分析問題、解決問題的過程中，發(fā)展數學素養(yǎng)。

2.教學實施過程

本節(jié)課以“導數的零點”為研究的主線，從知識系統(tǒng)的角度來看，要考慮到數學問題的代表性;從發(fā)展學生認知水平的角度來看，要考慮到數學問題的層次性與深刻性。在課堂教學中，通過學生自主梳理知識、并結合具體的背景提出一個簡單的數學問題的情況下，幫助學生自主構建利用導數研究函數單調性問題的知識體系、方法體系和思維體系。

2.1自主梳理，已掌握什么？

例題：已知函數，請你設置一些簡單的問題。

設計意圖：經過一輪復習后，學生對導數已有一定的學習，導數的工具性體現在處理曲線的切線、函數的單調性、極值最值等方面，筆者以開放題的形式由學生自主回顧并思考相關知識，以期幫助學生構建一個較完整的“系統(tǒng)”。

2.2問題聚焦，研究什么？

利用導數求函數單調區(qū)間是高考?？嫉膯栴}，本節(jié)課我們一起來研究函數單調性的一般問題。剛才函數是一個確定的函數，同學們來思考一下，如何對該函數作出適當的改變？你有什么建議嗎？

設計意圖：讓學生開啟對已有知識儲備的進一步搜索，作為高三學生已經歷過系統(tǒng)復習，對導數求單調性問題已有一定的解題經驗，對高考的要求也比較清楚，此時讓他們結合之前的所學、所思、所惑，積極思考如何“深化”眼前問題，具有現實意義。并讓學生經歷問題從特殊到一般的演變過程，有助于培養(yǎng)他們的探索能力，提高知識掌握的靈活性、深刻性、系統(tǒng)性。

給予學生一定時間的思考和討論，教師歸納后大致幾下幾種變式：

類型1：已知單調區(qū)間，求參數范圍

1.若函數在（a，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍。

2.若函數在（1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍。

類型2：求函數（含參）單調區(qū)間

3.討論函數的單調性。

4.討論函數的單調性。

學生提出的變式可能會有重復性、不全面性，甚至偏離主題或者根本無法求解等問題，作為教師在備課時要做好充分的準備，做到在課堂上高屋建瓴，站在系統(tǒng)的角度來審視各種變式，做到合理選擇、適當調整、必要補充。同時要以鼓勵為主，不因為提不出問題或是提出的問題沒有價值而責備學生。

2.3問題引領，展開研究

問題驅動是數學教學的一條基本原則，而問題驅動的較高層次是學生把問題視為自己的問題，基于前面工作的鋪墊，這樣的設計較好地運用了高中數學“優(yōu)效課堂”倡導的問題驅動策略，有利于提高學生的學習積極性。

教師：第1題的結果能快速解得嗎？

學生：函數是確定的，在上單調遞增，所以。

教師：非常好！下面我們動手做一下第2題。

學生1：問題等價于在區(qū)間（1，+∞）內恒成立;即a≤2x2在區(qū)間（1，+∞）內恒成立，易得a≤2。

學生2：問題等價于在區(qū)間（1，+∞）內恒成立;令g（x）=2x2-a，結合圖像可知，a≤2。

學生3：先解出的解集，考慮到定義域為（0，+∞），考慮到極值點是否存在的問題，分a≤0和a>0兩種情況考慮，當a≤0時顯然成立，當a>0函數在上單調遞增，易得，綜上可知a≤2。

老師：以上幾種方法都非常好。同學們一起來總結一下，利用導數處理函數單調性的問題的方法。

學生：在處理已知單調區(qū)間求參數a的取值范圍問題時，可以將單調性轉化為不等式恒成立問題來處理，也可以先通過求出函數單調區(qū)間，然后對應作比較。

老師：3.討論函數的單調性。這個問題有解決方案了嗎？

學生3：剛才我的解法已經給出了結果，當a≤0時，在上單調遞增;當a>0函數在上單調遞減，上單調遞增。

老師：解這個題目的關鍵是什么？

學生3：求出函數的零點。有參數的問題中往往求零點不是那么容易，必要時要分類討論，但不管怎么樣總是有辦法的！

老師：嗯，總有辦法的！我們來試一試問題4.若，該如何討論單調性？請同學們思考并解答。

學生4：定義域為，，

令。

①當時，恒成立，所以f（x）在內遞增;

②當時，有兩根，當時f（x）在內遞增;當x2>0即a>0時，f（x）在（0，x2）內遞減，在（x2，+∞）內遞增。

教師：非常棒！分類討論的關鍵是確定分類的標準，首先根據導數的零點是否存在分和兩種情況討論，當時，根據導數的零點是否在定義域內再次進行分類討論。

2.4拾級而上，深入研究

教師：經歷了剛才幾個問題的探討，對于利用導數求處理函數單調性的問題你有什么認識？

學生（眾）：關鍵是求出導數的零點。

教師：一語中的！剛才的幾個題目我們通過求出或者表示出導數的零點，順序得解，再來觀察剛才函數的導函數，發(fā)現有什么特點？

學生（眾）：是二次函數。

教師：二次函數的零點問題我們有統(tǒng)一的解法，但如果導數不是二次函數，而是超越函數呢？剛才同學們的變式都比較“文氣”，變式后的導函數都是二次函數，我們來嘗試另外的變式，比如：

5.若函數，求單調區(qū)間。

解：，得方程，即，這個方程不再是二次方程了，怎么辦？

學生5：根是1，我看出來了。

教師：觀察發(fā)現1是根，那么會不會還有其他根呢？

學生5：只有1這個根，函數是一個單調函數。

教師因勢利導，繼續(xù)深化。

6.若函數，還能求出單調區(qū)間。

得到方程之后，學生研究后發(fā)現依然存在唯一的根x0，但無法表示出來。

教師點撥：同學的認識很到位，這個題目我們無法表示出導數的零點，所以也就無法表示函數的單調區(qū)間，但是我們看到的事實是盡管無法具體表示出來，但它確實是存在的，且函數在（0，x0）單調遞減，（x0，+∞）單調遞增。所以這樣的問題我們可以換個角度來變式，比如：

7.（杭州二模）若函數，證明：

。

學生恍然大悟，原來問題就是這么演變過來的。（PPT展示解題過程）

教師：今天這節(jié)課我們一起研究了如何利用導數的零點處理函數單調性問題，同學們談談有哪些收獲？

2.5課堂總結，領悟研學

師生共同總結，一是領悟研學過程：自主梳理知識------提出研究問題------問題引領研究-----總結活動經驗。二是領悟思想方法：主要的思想方法是數形結合思想與等價轉化思想，即用圖象來解決函數單調性問題，當圖象不明確時利用導數來研究函數單調性問題。三是用導數來研究函數單調性問題的一般思路：求導-----零點-----判斷正負;當判斷正負有困難時可以轉化為關于零點的代數式問題。

3.課堂研學策略優(yōu)化

3.1基礎回顧，為研學夯實基礎

建構主義認為，學習活動不是由教師向學生傳遞知識，而是學生根據外在信息，通過自己的背景知識，建構自己知識的過程。數學教學活動必須建立在學生的認知進展水平和已有的知識經驗基礎之上，也就是說我們的教學活動首先關注學生的最近發(fā)展區(qū)。

3.1.1內容選擇上

作為教師，要在充分了解學情的情況下選擇恰當的素材幫助學生回顧知識，夯實基礎。內容選材上要遵循基礎性原則，一方面要為接下來的進一步學習和研究做好鋪墊，另一方面難度不宜偏大，以基礎回顧與整理為主要任務，面向全體學生。

3.1.2教學方式上

教學方式上可以多樣化，比如：“知識陳述型”——學生以口述、填表等形式回顧知識;“問題解決型”——設置若干簡單題目，通過學生解題來回顧知識;“自主開放型”——以開放題的形式幫助學生自主回顧知識。

回到本節(jié)課，設置“例題：已知函數，請你設置一些簡單的問題。”以開放題的形式幫助學生回顧導數的基本應用：求曲線的切線、函數單調性、函數極值、最值等，并具體求該函數的單調區(qū)間，為接下來的進一步學習和研究打好基礎。

3.2問題聚焦，為研學搭載平臺

要培養(yǎng)學生的研學能力，就要給學生搭載有利的平臺，需要有合適的問題，需要有具體的題目。問題從哪里來？

3.2.1問題來自于教師

波利亞說：“一個專心認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”這就要求我們教師研究學生、研究教材、研究高考，精心準備題目，最好能形成“問題串”，讓學生有一個系統(tǒng)的、連續(xù)的、遞進的研學過程。

3.2.2問題來自于學生

高三復習課的主要任務就是幫助學生夯實基礎，并在此基礎上通過進一步的學習和研究，自主完善、構建新的自己的知識體系。所以，學生作為學習的主體，他是怎么思考的？他的困難之處在哪里？這些問題也正是我們在課堂教學中需要重視的問題。我們也應當承認很多時候能提出問題比能解決問題更加重要，作為教師，在自己做到“善于提問”的同時，也應該通過教學去幫助學生學會“提出問題”，讓學生從“解自己的問題”替代了“解老師的問題”，有利于提高學生參與積極性，培養(yǎng)學生的研學意識和能力。很多時候學生很難提出問題，或者價值不高、或者偏離主題，這就需要教師站得高，看的遠，遵循教學規(guī)律適時指導、適當調整、必要補充，相信在教師有方法且長期的引導和指導下，對促進學生的研學能力會起到一定的幫助，而這些能力將為學生終生受用。

3.3問題引領，實踐中提升研學能力

不可否認，學生研學能力的提高來源于長期有效的實踐過程。新課程改革倡導自主探究、合作，以學生為主體，讓學生帶著問題思考、學習、探究，可以有效促進學生的研學能力，進而提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的理性精神和探究精神，培養(yǎng)學生的學習能力，使學生學會學習。所以，給予學生實踐的機會非常關鍵。

3.3.1堅持學生為主體

學生是參與研學的主體，要鼓勵學生主動參與研學、動手實踐、自主探索與合作交流。只有學生參與研學的過程，知識的獲得才更加自然、系統(tǒng)，同時也只有通過學生參與研學實踐，才能真正促進他們的研學能力?；氐奖竟?jié)課中，對于“問題串”的思考、研究和解答都充分給予學生時間和空間，做到學生能說的讓學生來說，學生能做的讓學生來做。

3.3.2堅持教師為主導

2巴布拉與達菲在《從實習場到實踐共同體》中指出：“教師的工作是通過向學生問他們自己問自己的問題來對學習和問題解決進行指導。這是參與性的，不是指示性的;其基礎不是要尋找正確答案，而是針對專業(yè)的問題解決者當時會向自己提出的那些問題?！眻猿謱W生為主體并不意味著降低了教師的作用，反而是對教師提出了更高的要求，需要教師在指導學生參與研學的過程中高屋建瓴：當學生有困難時，給予適當的點撥;當學生研究有誤時，給予一定的提醒;當學生考慮不全時，給予必要的補充;當學生對問題研究的深度不夠時，如何拾級而上？

結束語：日本數學家、教育學家米山國藏說：“學生在初中或高中所學到的數學知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數學，所以通常是出校門后不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地發(fā)揮作用，使他們受益終生”。所以，授人魚不如授人以漁，要把傳授知識與培養(yǎng)學生研學能力結合起來，為學生的終身發(fā)展而教學。

參考文獻

[1]任子朝：《從能力立意到素養(yǎng)導向》發(fā)表于《中學數學參考》2018年第5期上，教育部考試中心;

[2]巴布拉與達菲：《從實習場到實踐共同體》，美國學者;

[3]米山國藏：《數學的精神思想和方法》，日本數學家、教育學家;

[4]鄭毓明：《數學教育的問題導向》發(fā)表于《中學數學參考》2018年第1-2期，南京大學哲學系;