一堂“阿波羅尼斯圓”習(xí)題課

☉廣西貴港市港南中學(xué) 梁志紅

“再創(chuàng)造教學(xué)”理論最早是由荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出來的.筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入“再創(chuàng)造教學(xué)”很有必要，此舉不僅能促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)造性思維的形成，而且能培養(yǎng)其探究數(shù)學(xué)的興趣，從而感受數(shù)學(xué)的樂趣.為此，筆者以人教A版《必修2》第124頁習(xí)題4.1B組第3題：“已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程”為題根，上了一堂“阿波羅尼斯圓”習(xí)題課，實(shí)錄如下，供大家參考.

一、提出問題，引入課題

師：公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓.

如圖1，點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB，則當(dāng)λ=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng)λ≠1且λ＞0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓.師：請同學(xué)們嘗試證明這個(gè)結(jié)論.

學(xué)生自主證明，老師巡視，七分鐘過后，發(fā)現(xiàn)約九成學(xué)生已經(jīng)完成，于是讓學(xué)生1利用實(shí)物投影儀來展示自己的解答，解答如下：

證：設(shè)AB=2m（m＞0），PA=λPB.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-m，0），B（m，0）.

圖1

當(dāng)λ=1時(shí)，x=0，軌跡為線段AB的垂直平分線；

師：在證明過程中，你用的是什么方法？又體現(xiàn)了哪些基本的數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生1：這種證明方法叫作解析法，即用代數(shù)方法來解決幾何問題，在解題過程中用了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想和分類討論思想.

教學(xué)感受：把問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生自己完成，老師適當(dāng)點(diǎn)撥，體現(xiàn)了學(xué)生是課堂教學(xué)的主體和教師是課堂教學(xué)主導(dǎo)的教學(xué)原則.

二、給出例題，引導(dǎo)解決

師：下面我們來研究一個(gè)與此相關(guān)的問題.

例已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn)A，點(diǎn)B（1，1），M為圓O上動(dòng)點(diǎn)，則2|MA|+|MB|的最小值為______.

請同學(xué)們觀察并思考，在這個(gè)問題中是否隱藏著一個(gè)阿波羅尼斯圓呢？

起初，許多學(xué)生感覺此題與阿波羅尼斯圓沒有關(guān)系，突然學(xué)生2表情興奮，似乎發(fā)現(xiàn)了什么，老師請他回答.

學(xué)生2此言一出，部分學(xué)生會(huì)心一笑，也有學(xué)生一頭霧水，于是老師請大家互相交流，相互啟發(fā)，3分鐘過后，大家都弄清了本題的解題思路，于是教師請大家規(guī)范解答，解答如下：

圖2

由題意可得圓x2+y2=1是關(guān)于點(diǎn)A，C的阿波羅尼斯圓，且λ=.

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（m，n），M（x，y），

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0）.

所以2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|.

因此當(dāng)點(diǎn)M位于圖2中的M1，M2的位置時(shí)，2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，且為.

教學(xué)感受：本環(huán)節(jié)給出的例題具有一定的難度，遵循了“跳一跳摘蘋果”的教學(xué)原則，從中讓學(xué)生感受成功的喜悅.

三、聯(lián)系高考，問題再探

師：高考數(shù)學(xué)試卷中，我們經(jīng)?？梢砸姷桨⒉_尼斯圓的一般形式，阿波羅尼斯圓是一個(gè)重要的題根，在歷年高考中頻頻出現(xiàn).那么，“阿波羅尼斯圓”會(huì)涉及哪些問題呢？請同學(xué)們回顧以前做過的題目，并舉例說明.

學(xué)生查閱資料，互相討論，合作學(xué)習(xí)，十分鐘后交流.

學(xué)生3：我找到了一個(gè)與圓有關(guān)的面積問題，同時(shí)也是2008年江蘇高考題.

例1滿足條件AB=2，AC=的三角形ABC的面積的最大值是______.

解：以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），由

兩邊平方并化簡整理得y2=-x2+6x-1=-（x-3）2+8≤8，所以

學(xué)生4：我找到了一個(gè)與圓有關(guān)的參數(shù)范圍問題.

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2），若存在點(diǎn)P，使得，PC=PD，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

解析：設(shè)P（x，y），則，

整理得（x-5）2+y2=8，即動(dòng)點(diǎn)P在以（5，0）為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

另一方面，由PC=PD知?jiǎng)狱c(diǎn)P在線段CD的垂直平分線y=a+1上運(yùn)動(dòng)，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y=a+1與圓（x-5）2+y2=8有交點(diǎn).

學(xué)生5：我找到了一個(gè)與圓有關(guān)的探索性問題.

例3已知⊙O：x2+y2=1和點(diǎn)M（4，2）.

（1）過點(diǎn)M向⊙O引切線l，求直線l的方程；

（2）求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程；

（3）設(shè)P為（2）中⊙M上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P向⊙O引切線，切點(diǎn)為Q.試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.

（限于篇幅，本例解答略）

師：很好！同學(xué)們集思廣益，收獲不小.

教學(xué)感受：本環(huán)節(jié)的目的是啟發(fā)學(xué)生利用新知識(shí)，溫習(xí)老問題，重新認(rèn)識(shí)解題方法，從而讓思維得以螺旋式上升.

四、再創(chuàng)習(xí)題，激活思維

師：剛才同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了與阿波羅尼斯圓有關(guān)的三類典型問題，即與圓有關(guān)的面積問題、參數(shù)取值范圍問題和探索性問題.下面，請同學(xué)們利用5分鐘的時(shí)間從三類題中任選一類加以變式，無需解答，然后交流.

（老師巡視，請變式比較成功的學(xué)生交流）

學(xué)生6：我對例1進(jìn)行了修改.

例1變式1：在△ABC中，邊BC的中點(diǎn)為D，若AB=2，，則△ABC的面積的最大值是______.學(xué)生7：我也對例1進(jìn)行了修改.

例1 變式2：如圖3，在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），AC邊的中點(diǎn)為D（2，0），則點(diǎn)C的軌跡所包圍的圖形的面積等于______.

圖3

學(xué)生8：我對例2進(jìn)行了改造.

例2變式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

學(xué)生9：我對例3進(jìn)行了改造.

例3變式：已知定點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點(diǎn)，請問是否存在不同于O的定點(diǎn)A使得為常數(shù)？若存在，試求出所有滿足條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

師：剛才幾位同學(xué)的變式相當(dāng)成功，大家鼓掌?。▽W(xué)生鼓掌）

師：本節(jié)習(xí)題課，我們圍繞著阿波羅尼斯圓展開了討論，經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)阿波羅尼斯圓就隱藏在我們平時(shí)所做的習(xí)題中.當(dāng)題目中出現(xiàn)“到兩定點(diǎn)距離之比”時(shí)，我們應(yīng)該想到阿波羅尼斯圓.本節(jié)課的作業(yè)就是請大家完成剛才四位同學(xué)給出的四道變式題.

教學(xué)感受：在學(xué)生理解知識(shí)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生把例題再創(chuàng)造，可以把學(xué)生的思維推向高潮，尤其是對成功者，能充分感受到其中的樂趣，從而更加熱愛數(shù)學(xué).與此同時(shí)，讓學(xué)生出題，又讓學(xué)生完成自己出的題，進(jìn)一步體現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體性.通過本節(jié)習(xí)題課的教學(xué)，筆者深感習(xí)題課并非是知識(shí)與方法的再現(xiàn)，而是“溫故而知新”，習(xí)題課應(yīng)該為學(xué)生提供更多探究問題的渠道和空間，從而培養(yǎng)他們的探究能力，這樣的習(xí)題課才是有意義的.